7.2　等差数列（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案）

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五年高考
考点1 等差数列及其前n项和
1.(2019课标Ⅰ理,9,5分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=12n2-2n
2.(2023全国甲文,5,5分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=( )
A.25 B.22 C.20 D.15
3.(2022新高考Ⅱ,3,5分,中)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=( )
B.0.8
D.0.9
4.(2021北京,6,4分,中)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长a1,a2,a3,a4,a5 (单位:cm)成等差数列,对应的宽为b1,b2,b3,b4,b5 (单位:cm),且长与宽之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,则b3=( )
A.64 B.96 C.128 D.160
5.(2022全国乙文,13,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d= .
6.(2020课标Ⅱ文,14,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10= .
7.(2019课标Ⅲ,14,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10= .
8.(2019北京理,10,5分,中)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小值为 .
9.(2019课标Ⅰ文,18,12分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
10.(2023全国乙文,18,12分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
11.(2021全国乙理,19,12分,中)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知2Sn+1bn=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
12.(2023新课标Ⅰ,20,12分,中)设等差数列{an}的公差为d,且d>1,令bn=n2+nan,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
考点2 等差数列的性质
1.(2020浙江,7,4分,中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且a1d≤1.记b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能成立的是( )
A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6
C.a42=a2a8 D.b42=b2b8
2.(2020新高考Ⅰ,14,5分,中)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为 .
3.(2022浙江,20,15分,中)已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*).
(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;
(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.
4.(2021新高考Ⅱ,17,10分,中)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2·a4=S4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求使得Sn>an的n的最小值.
三年模拟
综合基础练
1.(2024届云南师大附中高考适应性考试,3)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则a9=( )
A.4 B.24
C.30 D.32
2.(2024届湖北六校联考,5)若数列{an}为等差数列,且a1=π6,a3=π2,则sin a2 023=( )
A.12 B.32 C.−12 D.−32
3.(2024届福建华安一中开学模拟,7)Sn是数列{an}的前n项和,则“数列{an}为常数列”是“数列{Sn}为等差数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选)(2024届江苏、广东、福建大联考,9)设不全为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+2a8=a6,则下列结论正确的是( )
A.a7=0 B.S7最大
C.S5=S9 D.S13=0
5.(2023江苏七市三模,14)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1≠0,a1+a5=3a2,则S10a20= .
6.(2024届江苏淮阴联考,13)设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=3n−1n+3,则a8b5+b11= .
7.(2023广东广州二模,15)在数列{an}中,a1=2,am+n=am+an,若akak+1=440,则正整数k= .
8.(2024届福建厦门外国语学校适应性考试,14)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6S9,则符合题意的等差数列{an}的一个通项公式为an= .
9.(2024届湖南长沙一中月考,18)设各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且对于任意n∈N*,满足2Sn=an·an+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=1an+an+1,求数列{bn}的前99项和.
综合拔高练1
1.(2023湖南长沙市明德中学检测,4)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4 045>0,S4 0441,∴S3=a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=6a1,
又∵bn=n2+nan,∴b1=2a1,b2=6a2=6a1+d=3a1,b3=12a3=12a1+2d=4a1,∴T3=b1+b2+b3=9a1,
∴S3+T3=6a1+9a1=21,解得a1=3或a1=12(舍),∴an=3n.
(2)∵{bn}为等差数列,∴2b2=b1+b3,即12a2=2a1+12a3,
即6a1+d=1a1+6a1+2d,即a12-3a1d+2d2=0,
∴a1=2d或a1=d.
当a1=2d时,an=(n+1)d,bn=nd,
∴S99=(2d+100d)×992=99×51d,
T99=1d·(1+99)×992=99×50d,
又∵S99-T99=99,∴99×51d-99×50·1d=99,
∴51d-50d=1,解得d=1或d=-5051,
又∵d>1,∴a1≠2d.
当a1=d时,an=nd,bn=n+1d,∴S99=(1+99)×99d2=50×99d,
T99=1d·(2+100)×992=51×99d,
又∵S99-T99=99,∴50×99d-51×99d=99,
∴50d-51d=1,解得d=5150或d=-1,又∵d>1,∴d=5150.
综上,d=5150.
考点2 等差数列的性质
1.(2020浙江,7,4分,中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且a1d≤1.记b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能成立的是( )
A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6
C.a42=a2a8 D.b42=b2b8
答案 D
2.(2020新高考Ⅰ,14,5分,中)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为 .
答案 3n2-2n
3.(2022浙江,20,15分,中)已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*).
(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;
(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.
解析 (1)易得an=(n-1)d-1,n∈N*,S4=a1+a2+a3+a4=4a1+6d=6d-4.
又S4-2a2a3+6=0,∴6d-4-2(d-1)(2d-1)+6=0,
∴d=3或d=0(舍),则an=3n-4,n∈N*,
故Sn=3(1+2+…+n)-4n=3n(n+1)−8n2=3n2−5n2,n∈N*.
(2)由(1)知an=(n-1)d-1,n∈N*,依题意得[cn+(n-1)d-1][15cn+(n+1)d-1]=(4cn+nd-1)2,
即15cn2+[(16n-14)d-16]cn+(n2-1)d2-2nd+1=16cn2+8(nd-1)cn+n2d2-2nd+1,故cn2+[(14-8n)d+8]cn+d2=0,
故[(14-8n)d+8]2-4d2=[(12-8n)d+8][(16-8n)d+8]≥0,故[(3-2n)d+2][(2-n)d+1]≥0对任意正整数n恒成立,n=1时,显然成立;n=2时,-d+2≥0,则d≤2;
n≥3时,[(2n-3)d-2][(n-2)d-1]>(2n-5)(n-3)≥0.
综上所述,1an的n的最小值.
解析 (1)解法一:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则a3=S5⇒a1+2d=5a1+10d⇒4a1+8d=0⇒a1+2d=0⇒a1=-2d,①
a2·a4=S4⇒(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,②
将①代入②得-d2=-2d⇒d=0(舍)或d=2,∴a1=-2d=-4,∴an=-4+(n-1)×2=2n-6.
解法二:由等差数列的性质可得S5=5a3,则a3=5a3,∴a3=0,
设等差数列的公差为d,
从而有a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,
S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,
从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,
所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-6.
(2)由(1)知an=2n-6,a1=2×1-6=-4.
Sn=na1+n(n−1)2d=-4n+n(n-1)=n2-5n.
Sn>an⇔n2-5n>2n-6⇔n2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0,
解得n6,又n∈N*,∴n的最小值为7.
三年模拟
综合基础练
1.(2024届云南师大附中高考适应性考试,3)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则a9=( )
A.4 B.24
C.30 D.32
答案 C
2.(2024届湖北六校联考,5)若数列{an}为等差数列,且a1=π6,a3=π2,则sin a2 023=( )
A.12 B.32 C.−12 D.−32
答案 C
3.(2024届福建华安一中开学模拟,7)Sn是数列{an}的前n项和,则“数列{an}为常数列”是“数列{Sn}为等差数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
4.(多选)(2024届江苏、广东、福建大联考,9)设不全为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+2a8=a6,则下列结论正确的是( )
A.a7=0 B.S7最大
C.S5=S9 D.S13=0
答案 AD
5.(2023江苏七市三模,14)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1≠0,a1+a5=3a2,则S10a20= .
答案 114
6.(2024届江苏淮阴联考,13)设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=3n−1n+3,则a8b5+b11= .
答案 119
7.(2023广东广州二模,15)在数列{an}中,a1=2,am+n=am+an,若akak+1=440,则正整数k= .
答案 10
8.(2024届福建厦门外国语学校适应性考试,14)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6S9,则符合题意的等差数列{an}的一个通项公式为an= .
答案 8-n(答案不唯一)
9.(2024届湖南长沙一中月考,18)设各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且对于任意n∈N*,满足2Sn=an·an+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=1an+an+1,求数列{bn}的前99项和.
解析 (1)由题知an≠0.当n=1时,a1=S1=a1a22,则a2=2.
当n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1=anan+12−an−1an2=an2(an+1-an-1),所以an+1-an-1=2,
所以数列{a2n-1}是首项为1,公差为2的等差数列,
数列{a2n}是首项为2,公差也为2的等差数列,
则a2n-1=a1+2(n-1)=2n-1,a2n=a2+2(n-1)=2n,
所以an=n,n∈N*.
(2)由(1)得,bn=1n+n+1=n+1−n,
所以b1+b2+b3+…+b99=2−1+3−2+…+100−99=10-1=9.
综合拔高练1
1.(2023湖南长沙市明德中学检测,4)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4 045>0,S4 044S6,S7>S8,得a7>0,a80,a1−14