9.3　双曲线（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案）

这是一份9.3　双曲线（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案），共19页。试卷主要包含了3　双曲线，已知双曲线C，设F1,F2是双曲线C，双曲线C等内容，欢迎下载使用。
五年高考
考点1 双曲线的定义和标准方程
1.(2021北京,5,4分,易)若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为2,且过点(2,3),则双曲线的方程为( )
A.2x2-y2=1 B.x2-y23=1
C.5x2-3y2=1 D.x22−y26=1
2.(2017课标Ⅲ理,5,5分,易)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为 ( )
A.x28−y210=1 B.x24−y25=1
C.x25−y24=1 D.x24−y23=1
3.(2023天津,9,5分,中)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为24,则双曲线的方程为 ( )
A.x28−y24=1 B.x24−y28=1
C.x24−y22=1 D.x22−y24=1
4.(2022天津,7,5分,中)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=45x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A.若∠F1F2A=π4,则双曲线的方程为( )
A.x216−y24=1 B.x24−y216=1
C.x24−y2=1 D.x2−y24=1
5.(2020课标Ⅰ文,11,5分,中)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为( )
A.72 B.3
C.52 D.2
考点2 双曲线的几何性质
1.(2018课标Ⅱ理,5,5分,易)双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )
A.y=±2x B.y=±3x
C.y=±22x D.y=±32x
2.(2023全国甲理,8,5分,中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=( )
A.55 B.255
C.355 D.455
3.(2020课标Ⅲ理,11,5分,中)设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=( )
A.1 B.2
C.4 D.8
4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
5.(2023全国乙理,11,5分,中)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是( )
A.(1,1) B.(-1,2)
C.(1,3) D.(-1,-4)
6.(2019课标Ⅲ理,10,5分,中)双曲线C:x24−y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )
A.324 B.322
C.22 D.32
7.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为2,则C的方程为 .
8.(2021全国乙文,14,5分,易)双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 .
9.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为 , .
答案 y=3x;y=-3x
10.(2021全国乙理,13,5分,易)已知双曲线C:x2m-y2=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为 .
11.(2020北京,12,5分,易)已知双曲线C:x26−y23=1,则C的右焦点的坐标为 ;C的焦点到其渐近线的距离是 .
12.(2023新课标Ⅰ,16,5分,中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,F1A⊥F1B,F2A=−23F2B,则C的离心率为 .
13.(2022全国甲文,15,5分,中)记双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值: .
14.(2019课标Ⅰ,16,5分,难)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A=AB,F1B·F2B=0,则C的离心率为 .
三年模拟
综合基础练
1.(2024届四川成都阶段测,5)已知直线y=2x是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线,且点(23,23)在双曲线C上,则双曲线C的方程为( )
A.x23−y24=1 B.x23−y26=1
C.x26−y212=1 D.x212−y224=1
2.(2023广东佛山一模)已知双曲线C的中心位于坐标原点,焦点在坐标轴上,且虚轴比实轴长.若直线4x+3y-20=0与C的一条渐近线垂直,则C的离心率为( )
A.54 B.43 C.53 D.74
3.(2023山东威海一模)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,M为C上一点,M关于原点的对称点为N,若∠MF1N=60°,且|F1N|=2|F1M|,则C的渐近线方程为( )
A.y=±33x B.y=±3x
C.y=±66x D.y=±6x
4.(2024届天津四十七中期中,6)已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,抛物线C的准线与双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则Γ的离心率e=( )
A.32 B.233 C.217 D.213
5.(2024届安徽摸底大联考,4)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线为l,过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M,若|MF1|=3|MF2|,则双曲线C的离心率为( )
A.2 B.3 C.5 D.3
6.(2024届湖南长郡湘府中学开学检测,8)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,左,右焦点分别为F1,F2,F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若|PF1|=2,则△PF1F2的面积为( )
A.2 B.5 C.3 D.4
7.(2024届浙江宁波专题检测,7)过双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)内一点M(1,1)且斜率为12的直线交双曲线于A,B两点,弦AB恰好被M平分,则双曲线C的离心率为( )
A.62 B.52 C.3 D.5
8.(2024届福建漳州第一次教学质检,5)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线的离心率为( )
A.3 B.2 C.5 D.10
9.(多选)(2023湖南长沙适应性测试)已知双曲线的方程为y264−x216=1,则( )
A.渐近线方程为y=±12x
B.焦距为85
C.离心率为52
D.焦点到渐近线的距离为8
10.(2024届山东齐鲁名校第一次质检,14)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是C1上任意一点,△MF1F2的面积的最大值为3,C1的焦距为2,则双曲线C2:y2a2−x2b2=1的实轴长为 .
11.(2023江苏二模)设过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F的直线l与C交于M,N两点,若FN=3FM,且OM·FN=0(O为坐标原点),则C的离心率为 .
12.(2024届江西新高三第一次大联考,14)已知双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,焦距为8,且C的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2,则C的标准方程为 .
13.(2024届江苏南京师大附中、灌南二中联考,15)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),直线y=a与双曲线C交于M,N两点,直线y=-b与双曲线C交于P,Q两点,若|MN|=2|PQ|,则双曲线C的离心率等于 .
综合拔高练1
1.(2024届广东四校第一次联考,6)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),斜率为-3的直线l过原点O且与双曲线C交于P,Q两点,且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点,则双曲线C的离心率为( )
A.3+12 B.3+1 C.23−1 D.23-2
2.(2024届福建福州四中专题检测,7)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),F为左焦点,A1,A2分别为左、右顶点,P为C右支上的点,且|OP|=|OF|(O为坐标原点).若直线PF与以线段A1A2为直径的圆相交,则C的离心率的取值范围为( )
A.(1,3) B.(3,+∞)
C.(5,+∞) D.(1,5)
3.(2023湖北恩施4月模拟,8)已知F1,F2分别为双曲线C:x24−y2b2=1(b>0)的左、右焦点,且F1到渐近线的距离为1,过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且l⊥AF1,则下列说法正确的是( )
A.△AF1F2的面积为2
B.双曲线C的离心率为2
C.AF1·BF1=10+46
D.1AF2|+1BF2|=6+2
4.(多选)(2024届广东茂名信宜摸底,11)已知曲线C:x2sin α+y2cs α=1(0≤α0,b>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(5,3)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)如图,若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q,P,且OP·OQ=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值.
3.(2024届湖南永州一模,21)已知点A为圆C:x2+y2-210x-6=0上任意一点,点B的坐标为(-10,0),线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D.
(1)求点D的轨迹E的方程;
(2)设轨迹E与x轴分别交于A1,A2两点(A1在A2的左侧),过R(3,0)的直线l与轨迹E交于M,N两点,直线A1M与直线A2N交于P,证明:P在定直线上.
4.(2023江苏南京、盐城一模,21)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a,b>0)的离心率为2,直线l1:y=2x+43与双曲线C仅有一个公共点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设双曲线C的左顶点为A,直线l2平行于l1,且交双曲线C于M,N两点,求证:△AMN的垂心在双曲线C上.
9.3 双曲线
五年高考
考点1 双曲线的定义和标准方程
1.(2021北京,5,4分,易)若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为2,且过点(2,3),则双曲线的方程为( )
A.2x2-y2=1 B.x2-y23=1
C.5x2-3y2=1 D.x22−y26=1
答案 B
2.(2017课标Ⅲ理,5,5分,易)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为 ( )
A.x28−y210=1 B.x24−y25=1
C.x25−y24=1 D.x24−y23=1
答案 B
3.(2023天津,9,5分,中)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为24,则双曲线的方程为 ( )
A.x28−y24=1 B.x24−y28=1
C.x24−y22=1 D.x22−y24=1
答案 D
4.(2022天津,7,5分,中)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=45x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A.若∠F1F2A=π4,则双曲线的方程为( )
A.x216−y24=1 B.x24−y216=1
C.x24−y2=1 D.x2−y24=1
答案 D
5.(2020课标Ⅰ文,11,5分,中)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为( )
A.72 B.3
C.52 D.2
答案 B
考点2 双曲线的几何性质
1.(2018课标Ⅱ理,5,5分,易)双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )
A.y=±2x B.y=±3x
C.y=±22x D.y=±32x
答案 A
2.(2023全国甲理,8,5分,中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=( )
A.55 B.255
C.355 D.455
答案 D
3.(2020课标Ⅲ理,11,5分,中)设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=( )
A.1 B.2
C.4 D.8
答案 A
4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
5.(2023全国乙理,11,5分,中)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是( )
A.(1,1) B.(-1,2)
C.(1,3) D.(-1,-4)
答案 D
6.(2019课标Ⅲ理,10,5分,中)双曲线C:x24−y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )
A.324 B.322
C.22 D.32
答案 A
7.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为2,则C的方程为 .
答案 x22−y22=1
8.(2021全国乙文,14,5分,易)双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 .
答案 5
9.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为 , .
答案 y=3x;y=-3x
10.(2021全国乙理,13,5分,易)已知双曲线C:x2m-y2=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为 .
答案 4
11.(2020北京,12,5分,易)已知双曲线C:x26−y23=1,则C的右焦点的坐标为 ;C的焦点到其渐近线的距离是 .
答案 (3,0);3
12.(2023新课标Ⅰ,16,5分,中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,F1A⊥F1B,F2A=−23F2B,则C的离心率为 .
答案 355
13.(2022全国甲文,15,5分,中)记双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值: .
答案 2(答案不唯一,在(1,5]范围内取值均可)
14.(2019课标Ⅰ,16,5分,难)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A=AB,F1B·F2B=0,则C的离心率为 .
答案 2
三年模拟
综合基础练
1.(2024届四川成都阶段测,5)已知直线y=2x是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线,且点(23,23)在双曲线C上,则双曲线C的方程为( )
A.x23−y24=1 B.x23−y26=1
C.x26−y212=1 D.x212−y224=1
答案 C
2.(2023广东佛山一模)已知双曲线C的中心位于坐标原点,焦点在坐标轴上,且虚轴比实轴长.若直线4x+3y-20=0与C的一条渐近线垂直,则C的离心率为( )
A.54 B.43 C.53 D.74
答案 C
3.(2023山东威海一模)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,M为C上一点,M关于原点的对称点为N,若∠MF1N=60°,且|F1N|=2|F1M|,则C的渐近线方程为( )
A.y=±33x B.y=±3x
C.y=±66x D.y=±6x
答案 D
4.(2024届天津四十七中期中,6)已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,抛物线C的准线与双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则Γ的离心率e=( )
A.32 B.233 C.217 D.213
答案 D
5.(2024届安徽摸底大联考,4)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线为l,过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M,若|MF1|=3|MF2|,则双曲线C的离心率为( )
A.2 B.3 C.5 D.3
答案 B
6.(2024届湖南长郡湘府中学开学检测,8)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,左,右焦点分别为F1,F2,F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若|PF1|=2,则△PF1F2的面积为( )
A.2 B.5 C.3 D.4
答案 D
7.(2024届浙江宁波专题检测,7)过双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)内一点M(1,1)且斜率为12的直线交双曲线于A,B两点,弦AB恰好被M平分,则双曲线C的离心率为( )
A.62 B.52 C.3 D.5
答案 C
8.(2024届福建漳州第一次教学质检,5)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线的离心率为( )
A.3 B.2 C.5 D.10
答案 B
9.(多选)(2023湖南长沙适应性测试)已知双曲线的方程为y264−x216=1,则( )
A.渐近线方程为y=±12x
B.焦距为85
C.离心率为52
D.焦点到渐近线的距离为8
答案 BC
10.(2024届山东齐鲁名校第一次质检,14)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是C1上任意一点,△MF1F2的面积的最大值为3,C1的焦距为2,则双曲线C2:y2a2−x2b2=1的实轴长为 .
答案 4
11.(2023江苏二模)设过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F的直线l与C交于M,N两点,若FN=3FM,且OM·FN=0(O为坐标原点),则C的离心率为 .
答案 7
12.(2024届江西新高三第一次大联考,14)已知双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,焦距为8,且C的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2,则C的标准方程为 .
答案 x212−y24=1
13.(2024届江苏南京师大附中、灌南二中联考,15)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),直线y=a与双曲线C交于M,N两点,直线y=-b与双曲线C交于P,Q两点,若|MN|=2|PQ|,则双曲线C的离心率等于 .
答案 233
综合拔高练1
1.(2024届广东四校第一次联考,6)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),斜率为-3的直线l过原点O且与双曲线C交于P,Q两点,且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点,则双曲线C的离心率为( )
A.3+12 B.3+1 C.23−1 D.23-2
答案 B
2.(2024届福建福州四中专题检测,7)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),F为左焦点,A1,A2分别为左、右顶点,P为C右支上的点,且|OP|=|OF|(O为坐标原点).若直线PF与以线段A1A2为直径的圆相交,则C的离心率的取值范围为( )
A.(1,3) B.(3,+∞)
C.(5,+∞) D.(1,5)
答案 D
3.(2023湖北恩施4月模拟,8)已知F1,F2分别为双曲线C:x24−y2b2=1(b>0)的左、右焦点,且F1到渐近线的距离为1,过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且l⊥AF1,则下列说法正确的是( )
A.△AF1F2的面积为2
B.双曲线C的离心率为2
C.AF1·BF1=10+46
D.1AF2|+1BF2|=6+2
答案 D
4.(多选)(2024届广东茂名信宜摸底,11)已知曲线C:x2sin α+y2cs α=1(0≤α0,当直线l的斜率不存在时,直线l:x=2,易知点M到y轴的距离为xM=2;
当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+mk≠±12,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立x24−y2=1,y=kx+m,整理得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0,
Δ=64k2m2-16(4k2-1)(m2+1)=0,整理得4k2=m2+1.
联立x24−y2=0,y=kx+m,整理得(4k2-1)x2+8kmx+4m2=0,
则x1+x2=-8km4k2−1=−8kmm2=−8km,则xM=x1+x22=−4km>0,即km4,即xM>2,∴此时点M到y轴的距离大于2.综上所述,点M到y轴的距离的最小值为2.
综合拔高练2
1.(多选)(2024届湖北武汉硚口起点质检,11)已知双曲线C:x2-y23=1,F1,F2为双曲线的左、右焦点,若直线l过点F2,且与双曲线的右支交于M,N两点,则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的离心率为3
B.若l的斜率为2,则弦MN的中点坐标为(8,12)
C.若∠F1MF2=π3,则△MF1F2的面积为33
D.使△MNF1为等腰三角形的直线l有3条
答案 BCD
2.(2023浙江嘉兴一中期中,21)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(5,3)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)如图,若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q,P,且OP·OQ=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值.
解析 (1)由离心率e=2,点M(5,3)在双曲线上,
可得ca=2,5a2−3b2=1,结合a2+b2=c2,解得a=2,b=23,c=4,
则双曲线的方程为x24−y212=1.
(2)由OP·OQ=0,可得OP⊥OQ,
设OP的方程为y=kx,则OQ的方程为y=-1kx,
由y=kx,3x2−y2=12解得x2=123−k2,y2=12k23−k2,则|OP|2=12(1+k2)3−k2,
将k换为-1k,可得|OQ|2=12(1+k2)3k2−1,130,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=−18t3t2−2,y1y2=153t2−2.
直线A1M的方程为y=y1x1+2(x+2),即y=y1ty1+5(x+2)①,
直线A2N的方程为y=y2x2−2(x-2),即y=y2ty2+1(x-2)②,
联立①②,消y得x+2x−2=ty1y2+5y2ty1y2+y1,
则x+2x−2=15t3t2−2+5−18t3t2−2−y115t3t2−2+y1=−75t3t2−2−5y115t3t2−2+y1=-5,即x+2x−2=-5,解得x=43,
故直线A1M与直线A2N的交点P在定直线x=43上.
4.(2023江苏南京、盐城一模,21)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a,b>0)的离心率为2,直线l1:y=2x+43与双曲线C仅有一个公共点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设双曲线C的左顶点为A,直线l2平行于l1,且交双曲线C于M,N两点,求证:△AMN的垂心在双曲线C上.
解析 (1)因为双曲线C的离心率为2,
所以ca=2,即a2+b2a2=2,即a2=b2,
所以双曲线C的方程为x2-y2=a2,
联立y=2x+43,x2−y2=a2,消去y整理得3x2+163x+a2+48=0,
因为l1与双曲线C仅有一个公共点,
所以Δ=(163)2-12(a2+48)=0,解得a2=16,
故双曲线C的方程为x216−y216=1.
(2)证明:设l2:y=2x+m(m≠43),M(x1,y1),N(x2,y2),
联立y=2x+m,x2−y2=16,消去y得3x2+4mx+m2+16=0,
所以x1+x2=-43m,x1x2=m2+163.
如图所示,过A(-4,0)作MN的垂线交C于另一点H,
则AH的方程为y=-12x-2,
代入x2-y2=16得3x2-8x-80=0,解得x=-4(舍去)或x=203.所以点H的坐标为203,−163.
连接HM并延长,所以kANkMH=y2y1+163(x2+4)x1−203
=3(2x1+m)(2x2+m)+16(2x2+m)(3x1−20)(x2+4)
=12x1x2+6m(x1+x2)+32x2+3m2+16m3x1x2+12(x1+x2)−32x2−80
=4(m2+16)−8m2+3m2+16m+32x2m2+16−16m−32x2−80
=−m2+16m+32x2+64m2−16m−32x2−64=-1,所以MH⊥AN,
故H为△AMN的垂心,得证.