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所属成套资源：【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案）
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- 10.1 计数原理、排列与组合（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案） 试卷 0 次下载
- 11.1 随机事件及概率（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案） 试卷 0 次下载
- 11.3 二项分布、超几何分布和正态分布（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案） 试卷 0 次下载
- 11.4 抽样方法与总体分布的估计（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案） 试卷 0 次下载
- 11.5 成对数据的统计分析（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案） 试卷 0 次下载
11.2 离散型随机变量及其分布列、均值、方差（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案）
展开这是一份11.2 离散型随机变量及其分布列、均值、方差（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案），共12页。试卷主要包含了1,p2=p3=0，80,9等内容，欢迎下载使用。
五年高考
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.(2020课标Ⅲ理,3,5分,易)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且i=14pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( )
A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4
B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3
D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
2.(2019浙江,7,4分,中)设0
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
3.(2017浙江,8,4分,中)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)
4.(2021浙江,15,6分,中)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n= ,E(ξ)= .
5.(2022北京,18,13分,中)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望E(X);
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)
6.(2021新高考Ⅱ,21,12分,难)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).
(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.
7.(2023新课标Ⅰ,21,12分,难)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则Ei=1nXi=i=1nqi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
三年模拟
综合拔高练
1.(2024届山东烟台蓬莱两校联考,5)在某次考试中,多项选择题的给分标准如下:在每题给出的四个选项中,正确选项为其中的两项或三项,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有错选的得0分.甲、乙、丙三人在完全不会做某个多项选择题的情况下,分别选了A,AB,ABC,则三人该题得分的数学期望分别为( )
A.1,0.8,0.5 B.1.2,0.8,0.6
C.1,0.9,0.6 D.1.2,0.9,0.5
2.(2023广东汕头二模,15)某单位有10 000名职工,想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者,假设携带病毒的人占5%,如果对每个人的血样逐一化验,就需要化验10 000次.统计专家提出了一种化验方法:随机地按5人一组分组,然后将各组5个人的血样混合再化验,如果混合血样呈阴性,说明这5个人全部阴性;如果混合血样呈阳性,说明其中至少有一人的血样呈阳性,就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法,平均每个人需要化验 次.(结果保留四位有效数字)(0.955≈0.773 8,0.956≈0.735,0.957≈0.698 3).
3.(2023湖北十堰四调,19)现有4个红球和4个黄球,将其分配到甲、乙两个盒子中,每个盒子中4个球.
(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率;
(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球,若同时从甲、乙两个盒子中取出i(i=1,2,3)个球进行交换,记交换后甲盒子中的红球个数为X,X的数学期望为Ei(X).证明:E1(X)+E3(X)=4.
4.(2024届广东佛山顺德质检(一),20)在十一黄金周期间,某商场规定单次消费超过500元的顾客可参与如下的游戏.活动规则如下:现有甲,乙,丙三个游戏,每位参与者从中随机选择一个游戏,若不通过,则游戏结束,若通过,则从剩下的两个游戏中随机选择一个游戏,若不通过,则游戏结束,若通过,则进行最后一个游戏,最后一个游戏无论是否通过都结束游戏.每通过一个游戏都可获得对应的奖金,且参与游戏的顺序由顾客确定,顾客是否通过每个游戏相互独立,已知通过游戏的概率以及获得相应的奖金如表所示.
(1)求参与游戏的顾客没有获得奖金的概率;
(2)现有王先生、李先生两名顾客分别以甲→乙→丙、丙→乙→甲的顺序进行游戏,请问哪位顾客获得奖金的期望值较大?
11.2 离散型随机变量及其分布列、均值、方差
五年高考
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.(2020课标Ⅲ理,3,5分,易)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且i=14pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( )
A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4
B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3
D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
答案 B
2.(2019浙江,7,4分,中)设0
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
答案 D
3.(2017浙江,8,4分,中)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)
答案 A
4.(2021浙江,15,6分,中)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n= ,E(ξ)= .
答案 1;89
5.(2022北京,18,13分,中)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望E(X);
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)
解析 (1)甲以往参加的10次比赛中,有4次比赛成绩达到获得优秀奖的标准.
设A为事件“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”,则P(A)=410=25.
(2)X所有可能的取值为0,1,2,3,
设B为事件“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”,C为事件“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”,
则P(B)=36=12,P(C)=24=12,由(1)知P(A)=25,
则P(X=0)=P(A)P(B)P(C)
=1−25×1−12×1−12=320,
P(X=1)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)·P(C)=25×12×12+35×12×12+35×12×12=25,
P(X=2)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)·P(C)=25×12×12+25×12×12+35×12×12=720,
P(X=3)=P(A)P(B)P(C)=25×12×12=110,
∴E(X)=0×320+1×25+2×720+3×110=75.
(3)丙获得冠军的可能性最大.(依据:在收集的以往的比赛成绩中,丙的最高成绩为9.85 m,是三人中最高的)
6.(2021新高考Ⅱ,21,12分,难)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).
(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.
解析 (1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.
(2)证明:设f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,
由题易知p3+p2+p1+p0=1,
故f(x)=p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0,
f '(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3),
E(X)=0·p0+1·p1+2·p2+3·p3=p1+2p2+3p3,
若E(X)≤1,则p1+2p2+3p3≤1,故p2+2p3≤p0,
因为f '(0)=-(p2+p0+p3)<0,
f '(1)=p2+2p3-p0≤0,
所以f '(x)有两个不同零点x1,x2,且x1<0<1≤x2,
当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时, f '(x)>0,
当x∈(x1,x2)时, f '(x)<0,
故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上为增函数,
在(x1,x2)上为减函数,
若x2=1,因为f(x)在(x2,+∞)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,且f(1)=0,
所以f(x)>f(x2)=f(1)=0,
故1为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,即p=1,故当E(x)≤1时,p=1.
若x2>1,因为f(1)=0且f(x)在(0,x2)上为减函数,
故1为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根.
综上,若E(X)≤1,则p=1.
若E(X)>1,则p1+2p2+3p3>1,则p2+2p3>p0,
此时f '(0)=-(p2+p0+p3)<0, f '(1)=p2+2p3-p0>0,
故f '(x)有两个不同零点x3,x4且x3<0
而f(1)=0,故f(x4)<0,
又f(0)=p0>0,所以f(x)在(0,x4)上存在一个零点x0,且x0<1,
所以x0为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正根,即p<1,
故当E(X)>1时,p<1.
(3)意义:若一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后会临近灭绝,若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后还有继续繁殖的可能.
7.(2023新课标Ⅰ,21,12分,难)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则Ei=1nXi=i=1nqi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
解析 记Ai=“第i次投篮的人是甲”,Bi=“第i次投篮的人是乙”.
(1)因为P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6,
所以第2次投篮的人是乙的概率为0.6.
(2)设P(Ai)=pi,则P(Bi)=1-pi,所以P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi),
即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2.
设pi+1+λ=25(pi+λ),解得λ=-13,则pi+1-13=25pi−13,
因为p1=12,p1-13=16,所以pi−13是首项为16,公比为25的等比数列,所以pi-13=16×25i−1,即pi=16×25i−1+13.
所以第i次投篮的人是甲的概率为16×25i−1+13.
(3)因为pi=16×25i−1+13,i=1,2,…,n,
所以当n∈N*时,E(Y)=p1+p2+…+pn=16×1−25n1−25+n3=5181−25n+n3,
故E(Y)=5181−25n+n3.
三年模拟
综合拔高练
1.(2024届山东烟台蓬莱两校联考,5)在某次考试中,多项选择题的给分标准如下:在每题给出的四个选项中,正确选项为其中的两项或三项,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有错选的得0分.甲、乙、丙三人在完全不会做某个多项选择题的情况下,分别选了A,AB,ABC,则三人该题得分的数学期望分别为( )
A.1,0.8,0.5 B.1.2,0.8,0.6
C.1,0.9,0.6 D.1.2,0.9,0.5
答案 D
2.(2023广东汕头二模,15)某单位有10 000名职工,想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者,假设携带病毒的人占5%,如果对每个人的血样逐一化验,就需要化验10 000次.统计专家提出了一种化验方法:随机地按5人一组分组,然后将各组5个人的血样混合再化验,如果混合血样呈阴性,说明这5个人全部阴性;如果混合血样呈阳性,说明其中至少有一人的血样呈阳性,就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法,平均每个人需要化验 次.(结果保留四位有效数字)(0.955≈0.773 8,0.956≈0.735,0.957≈0.698 3).
答案 0.426 2
3.(2023湖北十堰四调,19)现有4个红球和4个黄球,将其分配到甲、乙两个盒子中,每个盒子中4个球.
(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率;
(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球,若同时从甲、乙两个盒子中取出i(i=1,2,3)个球进行交换,记交换后甲盒子中的红球个数为X,X的数学期望为Ei(X).证明:E1(X)+E3(X)=4.
解析 (1)由题意可知,甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率P=C42C42C84=1835.
(2)证明:当i=1时,X的可能取值是2,3,4,
P(X=2)=C31C31C41C41=916,P(X=3)=2C31C11C41C41=38,P(X=4)=C11C11C41C41=116,则E1(X)=2×916+3×38+4×116=52.
当i=3时,X的取值可能是0,1,2,
P(X=0)=C33C33C43C43=116,P(X=1)=2C32C33C43C43=38,
P(X=2)=C32C32C43C43=916,
则E3(X)=0×116+1×38+2×916=32.
故E1(X)+E3(X)=4.
4.(2024届广东佛山顺德质检(一),20)在十一黄金周期间,某商场规定单次消费超过500元的顾客可参与如下的游戏.活动规则如下:现有甲,乙,丙三个游戏,每位参与者从中随机选择一个游戏,若不通过,则游戏结束,若通过,则从剩下的两个游戏中随机选择一个游戏,若不通过,则游戏结束,若通过,则进行最后一个游戏,最后一个游戏无论是否通过都结束游戏.每通过一个游戏都可获得对应的奖金,且参与游戏的顺序由顾客确定,顾客是否通过每个游戏相互独立,已知通过游戏的概率以及获得相应的奖金如表所示.
(1)求参与游戏的顾客没有获得奖金的概率;
(2)现有王先生、李先生两名顾客分别以甲→乙→丙、丙→乙→甲的顺序进行游戏,请问哪位顾客获得奖金的期望值较大?
解析 (1)设顾客选择甲,乙,丙作为第一个游戏分别为事件A1,B1,C1,顾客通过游戏甲,乙,丙分别为事件A,B,C.
顾客没有获得奖金等价于顾客一个游戏也没有通过,设此事件为事件M,
由已知得P(A1)=P(B1)=P(C1)=13,P(A|A1)=0.8,P(B|B1)=0.6,P(C|C1)=0.4,
由全概率公式得:
P(M)=P(A1)P(A|A1)+P(B1)P(B|B1)+P(C1)P(C|C1)
=13×(1-0.8)+13×(1-0.6)+13×(1-0.4)=0.4.
(2)设王先生获得奖金总额为X(单位:元),按甲→乙→丙的顺序进行,
则X的可能取值为0,100,300,600,
P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=100)=0.8×(1-0.6)=0.32,
P(X=300)=0.8×0.6×(1-0.4)=0.288,P(X=600)=0.8×0.6×0.4=0.192,
X的分布列为
E(X)=0×0.2+100×0.32+300×0.288+600×0.192=233.6元,
同理,设李先生获得奖金总额为Y(单位:元),按丙→乙→甲的顺序进行,则Y的可能取值为0,300,500,600,
P(Y=0)=1-0.4=0.6,P(Y=300)=0.4×(1-0.6)=0.16,
P(Y=500)=0.4×0.6×(1-0.8)=0.048,P(Y=600)=0.4×0.6×0.8=0.192,
Y的分布列为
E(Y)=0×0.6+300×0.16+500×0.048+600×0.192=187.2元.
综上,可知王先生获得奖金的期望值较大.
X
0
a
1
P
13
13
13
游戏
甲
乙
丙
通过的概率
0.8
0.6
0.4
获得的奖金金额/元
100
200
300
X
0
a
1
P
13
13
13
游戏
甲
乙
丙
通过的概率
0.8
0.6
0.4
获得的奖金金额/元
100
200
300
X
0
100
300
600
P
0.2
0.32
0.288
0.192
Y
0
300
500
600
P
0.6
0.16
0.048
0.192
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