黑龙江省龙东地区2024-2025学年高一上学期阶段测试期中数学试卷[解析版]

这是一份黑龙江省龙东地区2024-2025学年高一上学期阶段测试期中数学试卷[解析版]，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，，则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因全集，，，
所以，
故.
故选：D.
2. 已知关于x的方程存在两个不等实根，，则“，且”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】“，且”的充要条件是“，且”，即“”.
故选：C.
3. 已知集合，集合，且，则实数的取值集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意知集合，
对于方程，解得，.
因为，则.
①当时，即时，成立；
②当时，即当时，因为，则，解得.
综上所述，的取值集合为.
故选：A.
4. 已知a>0，b>0，，则的最小值为（ ）
A. 4B. 2
C. 8D. 16
【答案】B
【解析】因为a>0，b>0，＝，所以ab＝1，所以．
当且仅当，即时等号成立．
故选：B.
5. 函数和的图象如图所示，有下列四个说法：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果时，那么.
其中正确的是（ ）
A. ①④B. ①C. ①②D. ①③④
【答案】A
【解析】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得，
所以，若，可得，所以①正确；
当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或，
所以，若，可得，所以②错误；
由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系 ，所以③错误；
当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，，
所以，若时，可得，所以④正确.
故选；A．
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对任意的，，则函数的定义域为，
又因为，故函数为奇函数，
当时，，
当且仅当时，等号成立，排除ABC选项.
故选：D.
7. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知：当时，不等式恒成立.
当时，显然成立，故符合题意；
当时，要想当时，不等式恒成立，
只需满足且成立即可，解得：，
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：D.
8. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
，
，
，
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手.
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. “，使得”的否定是“，都有”
B. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是
C. 若，则“”的充要条件是“”
D. 已知，则的最小值为9
【答案】ABD
【解析】对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确；
对于B，若命题“”为假命题，则无实根，
则，得，则实数的取值范围是，故B正确；
对于C，若，则由不能推出，故“”不是“”的充要条件，故C错误；
对于D，，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9，故D正确.
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的值域是，则函数的值域为
B. 既是奇函数又是偶函数的函数有无数个
C. 若，则
D. 函数的定义域是，则函数的定义域为
【答案】BCD
【解析】由与的值域相同知，A错误；
设，且，是关于原点对称的区间，则既是奇函数又是偶函数，
由于有无数个，故有无数个，即B正确；
由得，，从而，即C正确；
由得，即函数的定义域为，故D正确．
故选：BCD．
11. 已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（ ）
A. B.
C. 是奇函数D. 若，则
【答案】ACD
【解析】令，则，故A正确；
令，则，则，故B错误；
令，则，所以，
又令，则，
所以是奇函数，故C正确；
令，则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是R上的奇函数，且当x＜0时，则当x＞0时____．
【答案】
【解析】当x＜0时，故当时， ，此时，
故.
13. 若不等式对一切都成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为不等式对一切恒成立，
所以对一切恒成立，
令，可知成立，当，函数单调递减，
所以，所以.
14. 设是定义在上的函数，对任意的，恒有成立，若在上单调递减，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由，可得，
令，则，故在上为偶函数.
由在上单调递减，所以在上也单调递减，
由，可得，
即，所以，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若集合是集合的充分条件，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）由题意若集合是集合的充分条件，则当且仅当，即当且仅当，
解得，即的取值范围为.
（2）当时，满足题意，即满足，此时，解得；
当且时，当且仅当或，解得或；
综上所述，若，则的取值范围为.
16. 已知关于的不等式．
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）不等式可化为，
当时，不等式化为；
①时，，解不等式得，
②时，，解不等式得，
③时，，解不等式得．
综上，时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为．
（2）由题意不等式化为，
当时，，且，
所以原不等式可化为恒成立，
设，，则的最小值为，
所以的取值范围是．
17. 已知函数有如下性质；如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值．
解：（1），
令，所以单调递减，单调递增，
令，解得，
所以函数单调递减区间为，单调递增区间为，
且，所以的值域为.
（2）因为在单调递减，
所以，
因为对任意，总存在，使得成立，
所以，
所以，解得.
18. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润）
解：（1）月产量为台，则总成本为元，
从而.
（2）由（1）可知，当时，，
所以当时，；
当时，是减函数，
则，
所以当时，，
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为元．
19. 已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.
（1）判断的奇偶性；
（2）判断在0，+∞上的单调性，并证明；
（3）若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围.
解：（1）根据题意，令，得，
因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数.
（2）在0，+∞上单调递增.
证明：由题意，可知，
假设，使得，则，
而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立.
设，且，则，
因此
，
因为，且当时，，所以，
又因为，所以，即，
又因为，所以在0，+∞上单调递增.
（3）根据题意，结合（1）（2）可知，在上单调递增，
因此，，
故，，
因为，恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
令，则，恒成立，
故，解得或.