上海市六校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷[解析版]

这是一份上海市六校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷[解析版]，共10页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1. 已知全集为R，集合，则__________.
【答案】
【解析】因为全集为R，集合，所以.
2. 集合，则集合_________.
【答案】
【解析】因为集合，由题意可知.
3. 若，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，则，当且仅当时，等号成立.
4. 若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为．
5. 已知，，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】因，，所以，，
所以的范围是.
6. 若集合有且仅有一个元素，则实数______．
【答案】0或
【解析】当时，，符合题意；
当时，，即，
综上所述，或.
7. 用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是______________．
【答案】且
【解析】用反证法证明命题“若，则或”，应假设且.
8. 一元二次不等式的解集是，则_____________.
【答案】0
【解析】由题意可知的两个根分别是，且，
故，所以.
9. 关于的不等式的解集有下列结论，其中正确的是______．
①可以是；②可以是；③可以是；④可以是．
【答案】②④
【解析】对于①：假设结论成立，则，解得，则不等式为，
解得，与解集是矛盾，故①错误；
对于②：当，时，不等式恒成立，则解集是，故②正确；
对于③：当时，不等式，则解集不可能为，故③错误；
对于④：假设结论成立，则，解得，此时不等式为，
即，解得，符合题意，故④正确．
10. 已知关于的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数_______.
【答案】
【解析】因为一元二次方程的两个实根分别为和，
所以，解得或，所以，
又因为，所以，即，
解得或（舍去）.
11. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意可知，不等式对任意的恒成立，
由绝对值三角不等式可得，
则，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
12. 不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出的图像，然后求解，请类比求解以下问题：设，若对任意，都有，则的取值范围是___________.
【答案】.
【解析】类比图像法解不等式，画出和，
若对任意都有，则应为增函数，
所以两个函数图像应如下图所示：
由图像得，解得其中，
所以，当且仅当时等号成立，
故的范围为.
二、选择题
13. “”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】因为“”可以推出“”，而“”不能推出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
14. 不等式的解集不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当a>0时，，则，不等式解集为；
当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为空集；
当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为；
当时，，则，不等式解集；
故不等式解集不可能为.
故选：C.
15. 已知集合，则满足集合S共有（ ）个.
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】D
【解析】因为，，
所以，，
所以满足条件的集合为：，，，，，，，，共8个.
故选：D.
16. 设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ）
A. 对任意，是的子集，对任意，不是的子集
B. 对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C. 对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集
D. 对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集
【答案】B
【解析】解对于集合，，
可得当即可得，
即有，可得对任意，是的子集；
当时，，，
可得是的子集；
当时，，，
可得不是的子集；
综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集.
故选：B.
三、解答题
17. 求下列不等式解集．
（1）
（2）
解：（1）由，
所以，不等式解集为.
（2）由，则或，
所以或，故不等式解集为.
18. 已知集合，全集．
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，，
因为，所以，.
（2）因为，所以，
当时，满足，此时，得，
当时，因为，所以，解得，
综上，或，
即实数a的取值范围为.
19. 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
解：（1）当时，
可得；
当时，
可得；
所以.
（2）若，则，
所以当时，万元；
若，则，
当且仅当，即台时，等号成立，万元；
因为，
所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
20. 已知二次函数.
（1）若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值；
（2）若对任意都有成立，求实数取值范围；
（3）若关于的方程在区间[0，2]上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围.
解：（1）由题意得，即或，
因为，所以，
解得或4（舍去），所以.
（2）由题意得对恒成立，
则对恒成立，
即对恒成立，
令，则.
当且仅当即时等号成立，所以即.
（3）当即时，经检验满足题意；
当即或时，
由得即，经检验不合题意；
综上的取值范围为.
21. 在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为．如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为．
（1）动点在直线上，点，若，求点的横坐标的取值范围；
（2）动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值；
（3）动点在函数的图象上，点，的最大值记为．如，当点的坐标为时，．求的最小值，并求此时点的坐标．
解：（1）由已知，则根据“曼哈顿距离”定义得，
，，
当时，成立，解得；
当时，，解得；
当时，，解得，
综上所述点的横坐标的取值范围是.
（2）设出动点，则，
又，所以，
当时，，
此时，
当时，，
此时，
当时，，
此时，
又，
所以，
综合得，当时取等号.
即的最小值为.
（3）设点，则，
若存在实数使得，则对任意成立，
取，有，
取,有，
得，
所以，
取，是上是偶函数，
当时，若，，
若，，当且仅当时取等，
所以存在实数且，使得最小值为，点.