2024-2025学年山东省济南市市中区八年级（上）期中数学试卷 含详解

这是一份2024-2025学年山东省济南市市中区八年级（上）期中数学试卷 含详解，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列各数为无理数的是（ ）
A．3B．3.14C．D．
2．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（4分）9的算术平方根是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．
4．（4分）下列哪对x，y的值是二元一次方程x+2y＝6的解（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，A，B两处灯笼的位置关于y轴对称，若点A的坐标为（﹣2，4），则点B的坐标为（ ）
A．（4，2）B．（2，4）C．（﹣2，4）D．（﹣2，﹣4）
6．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（4分）已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝2x+k的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
8．（4分）两条直线y1＝ax+b与y2＝bx+a（a≠0，b≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝ah+P0，其图象如图2所示，其中P0为湖水面大气压强，a为常数且a＞0，点M的坐标为（34.5，342），根据图中信息分析，下列结论正确的是（ ）
A．湖水面大气压强为76.0cmHg
B．函数解析式P＝ah+P0中P的取值范围是P＜342
C．湖水深20m处的压强为256cmHg
D．P与h的函数解析式为P＝8h+66（0≤h≤34.5）
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（a，﹣5），B（a+3，﹣5），且a＞0，P为y轴上一动点．连接AB，将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段CD，则下列结论：①CD＝3；②∠OBA+∠OCD＝∠BOC+180°：③若△PCD的面积为6，则P点的坐标为（0，1）或（0，﹣7）；④若P点不在直线AB、CD上，△PCD面积为x，△PAB面积为y，四边形ABDC面积为z，则．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.直接填写答案。
11．（4分）电影票上“10排3号”，记作（10，3），则“5排16号”记作 ．
12．（4分）若点P（2a+6，3a﹣3）在x轴上，则点P的坐标为 ．
13．（4分）比较大小： 4．（填“＞”、“＜”或“＝”）
14．（4分）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程2x＝kx+b的解是 ．
15．（4分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝5，则k的值为 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点C在y轴上运动，将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，连接BA，形成等腰直角△ABC，其中CA＝CB，∠ACB＝90°．连接BO，则BO+BA的最小值为 ．
三、解答题：本题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）解下列方程：
（1）（x+5）2＝16；
（2）（x﹣1）2﹣8＝0．
19．（6分）解方程组：．
20．（8分）已知平面直角坐标系中有一点M（m﹣1，2m+3）．
（1）已知点N（5，4），当MN∥x轴时，求点M的坐标和线段MN的长；
（2）当点M到y轴的距离为1时，求点M的坐标．
21．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（﹣2，3），B（5，5），C（3，7）．
（1）在方格纸中建立坐标系，并标出点C；
（2）依次连接点A、B、C，在图中作△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（3）△ABC的面积是 ．
22．（8分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（﹣1，3），P（x，y）是一次函数图象上一点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求出一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交点A和B的坐标；
（3）当△OAP的面积为5时，求点P的坐标．
23．（10分）根据表中素材，探索完成以下任务：
24．（10分）综合运用：细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：
＝（）2+1＝2，S1＝（S1是Rt△A1A2O的面积）；
＝（）2+1＝3，S2＝（S2是Rt△A2A3O的面积）；
＝（）2+1＝4，S3＝（S3是Rt△A1A1O的面积）；…
（1）请用含有n（n为正整数）的式子填空：＝ ，Sn＝ ；
（2）在线段OA1，OA2，OA3，…，OA2024中，长度为正整数的线段共有 条；
（3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了2，请仿照这种方法求的值．
25．（12分）阅读理解：
材料一：对于线段MN和点Q，定义：若QM＝QN，则称点Q为线段MN的“等距点”；
特别地，若QM＝QN，且∠MQN＝90°，则称点Q是线段MN的“完美等距点”．
材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果P1（x1+y1），P2（x2，y2），那么．
解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点P（m，n）是直线上一动点．
（1）已知3个点：B（2，﹣3）、C（2，﹣2）、D（﹣2，2），则这三点中，线段OA的“等距点”是 ，线段OA的“完美等距点”是 ；
（2）若点H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标；
（3）当m＞0，是否存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”，也是线段OP的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过点C（﹣4，0）作直线CE交AB于点D，交y轴于点E，且△COE≌△BOA，点D坐标．
（1）B的坐标为 ，线段OA的长为 ；
（2）求直线CE的解析式及点D的坐标；
（3）如图（2），点M是线段CD上一动点（不与点C，D重合），ON⊥OM，ON交AB于点N，连结MN．
①在点M移动过程中，线段OM与ON满足怎样的数量关系？并证明；
②求点M移动过程中△DMN面积的最大值．
2024-2025学年山东省济南市市中区八年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。
1．【解答】解：3是整数，3.14，是分数，它们都不是无理数；
2是无限不循环小数，它是无理数；
故选：C．
2．【解答】解：∵P（﹣3，2）的横坐标为负，纵坐标为正，
∴P在第二象限．
故选：B．
3．【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：A．
4．【解答】解：A．当x＝﹣2，y＝﹣2，得x+2y＝﹣6，那么x＝﹣2，y＝﹣2不是x+2y＝6的解，故A不符合题意．
B．当x＝0，y＝2，得x+2y＝4，那么x＝0，y＝2不是x+2y＝6的解，故B不符合题意．
C．当x＝2，y＝2，得x+2y＝2+4＝6，那么x＝2，y＝2是x+2y＝6的解，故C符合题意．
D．当x＝3，y＝1，得x+2y＝3+2＝5，那么x＝3，y＝1不是x+2y＝6的解，故D不符合题意．
故选：C．
5．【解答】解：∵A，B两处灯笼的位置关于y轴对称，若点A的坐标为（﹣2，4），
∴点B的坐标为（2，4）．
故选：B．
6．【解答】选项A：和不是同类二次根式，不能合并，不合题意；
选项B：，正确，符合题意；
选项C：＝≠1，所以C错误，不合题意；
选项D：∵≥0（a≥0），
∴＝5，故D错误，不合题意．
故选：B．
7．【解答】解：∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝2x+k的图象上的两个点，且﹣3＜2，
∴y1＜y2．
故选：B．
8．【解答】解：A、由y1＝ax+b知：a＞0，b＜0，所以y2＝bx+a过二、四象限，交y轴正半轴，符合y2＝bx+a的图象，故此选项正确；
B、由y1＝ax+b知：a＞0，b＞0，所以y2＝bx+a过一、三象限，交y轴正半轴，不符合y2＝bx+a的图象，故此选项错误；
C、由y1＝ax+b知：a＞0，b＜0，所以y2＝bx+a过二、四象限，交y轴正半轴，不符合y2＝bx+a的图象，故此选项错误；
D、由y1＝ax+b知：a＞0，b＞0，所以y2＝bx+a过一、三象限，交y轴正半轴，不符合y2＝bx+a的图象，故此选项错误；
故选：A．
9．【解答】解：由图象可知，直线P＝kh+P0过点（0，66）和（34.5，342）．
∴，
解得，
∴直线解析式为：P＝8h+66．故D正确，符合题意；
∴青海湖水面大气压强为66.0cmHg，故A错误，不符合题意；
根据实际意义，函数解析式P＝ah+P0中P的取值范围是66≤P≤342，故B错误，不符合题意；
将h＝20代入解析式P＝8h+66，
∴P＝8×20+66＝226，即青海湖水深20m处的压强为226cmHg，故C错误，不符合题意．
故选：D．
10．【解答】解：∵A（a，﹣5），B（a+3，﹣5），
∴AB＝a+3﹣a＝3，
∵CD＝AB，
∴CD＝3，故①正确，
如图，延长DC交OB于点F．
∵CD∥AB，
∴∠OBA＝∠CFB，
∵∠OCD＝∠BOC+∠CFO，
∴∠OCD＝∠BOC+180°﹣∠OBA，
∴∠OBA+∠OCD＝∠BOC+180°，故②正确，
设P（0，m），则有×3×|m+3|＝6，
解得m＝1或﹣7，
∴P（0，1）或（0，﹣7），故③正确，
结论④错误，理由：当点P在CD的上方或AB的下方时，结论成立，
当点P在AB与CD之间时，则有|x+y|＝z．
故正确的有：①②③，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.直接填写答案。
11．【解答】解：∵电影票上“10排3号”，记作（10，3），
∴“5排16号”记作（5，16），
故答案为：（5，16）．
12．【解答】解：∵点P（2a+6，3a﹣3）在x轴上，
∴3a﹣3＝0，
解得a＝1，
∴2a+6＝2×1+6＝2+6＝8，
∴点P的坐标为（8，0）．
故答案为：（8，0）．
13．【解答】解：∵＝4，
∴＜＝4，
∴＜4．
故答案为：＜．
14．【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P（1，2），
∴关于x的方程kx+b＝2x的解是x＝1，
故答案为：x＝1．
15．【解答】解：，
②﹣①，得x﹣y＝k+2，
∵x﹣y＝5，
∴k+2＝5，
∴k＝3，
故答案为：3．
16．【解答】解：如图，过点B作BM⊥y轴，垂足为点M，
∴∠BMC＝90°，
∴∠MCB+∠B＝90°，
∵线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，
∴∠BAC＝90°，CB＝CA，
∴∠MCB+∠ACO＝90°，
∴∠B＝∠ACO，
∵∠AOC＝90°，
∴△AOC≌△CMB（AAS），
∴MC＝OA，MB＝OC，
设点C（0，m），而点A（1，0），
∴点B的坐标为（m，m+1），
则点B所在的直线为：y＝x+1，
作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣1，0），
则：BO+BA＝+，
相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小，
∴求BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，
易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，
故：BO+BA的最小值为，M′N＝＝，
故答案为：．
三、解答题：本题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解答】解：（1）
＝4﹣2+
＝3；
（2）
＝+3﹣2
＝+3﹣2
＝+1．
18．【解答】解：（1）（x+5）2＝16，
∴x+5＝±4，
∴x1＝﹣9，x2＝﹣1．
（2）（x﹣1）2﹣8＝0，
（x﹣1）2＝8，
∴x﹣1＝，
∴x1＝1+2，x2＝1﹣2．
19．【解答】解：，
①+②得，3x＝12，
解得x＝4，
把x＝4代入①得，8+y＝7，
解得y＝﹣1，
所以方程组的解为．
20．【解答】解：（1）因为点N坐标为（5，4），且MN∥x轴，
所以2m+3＝4，
解得m＝，
所以m﹣1＝，
故点M的坐标为（），
则5﹣（﹣）＝，
所以线段MN的长为．
（2）因为点M到y轴的距离为1，
所以|m﹣1|＝1，
解得m＝0或2．
当m＝0时，
m﹣1＝﹣1，2m+3＝3，
则点M的坐标为（﹣1，3）．
当m＝2时，
m﹣1＝1，2m+3＝7，
则点M的坐标为（1，7），
所以点M的坐标为（﹣1，3）或（1，7）．
21．【解答】解：（1）建立平面直角坐标系、标出点C如图所示．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
（3）△ABC的面积是＝21﹣2﹣10＝9．
故答案为：9．
22．【解答】解：（1）因为一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，
所以k＝2．
将点（﹣1，3）的坐标代入y＝2x+b得，
﹣2+b＝3，
解得b＝5，
所以一次函数的解析式为y＝2x+5．
（2）将x＝0代入y＝2x+5得，
y＝5，
所以点B的坐标为（0，5）．
将y＝0代入y＝2x+5得，
x＝，
所以点A的坐标为（）．
（3）因为△OAP的面积为5，
所以，
解得y＝±4．
当y＝4时，
2x+5＝4，
解得x＝，
所以点P的坐标为（）．
当y＝﹣4时，
2x+5＝﹣4，
解得x＝，
所以点P的坐标为（），
综上所述，点P的坐标为（）或（）．
23．【解答】解：问题一：由从甲仓库运往A村x吨，则从甲仓库运往B村40﹣x（吨），乙仓库运往B村的运费为24（x+12）（元）；
故答案为：①40﹣x；②24（x+12）；
问题二：y＝20x+15（48﹣x）+25（40﹣x）+24（12+x），
化简，得y＝4x+2008（0≤x≤40）；
问题三：由题意得，设新的总运费为W，则W＝（4﹣a）x+2008（0≤x≤40），
∵4＜a＜8，
∴4﹣a＜0，
∴W随着x的增大而减小，
∴当x＝40时，则ymin＝﹣40a+2168．
答：甲仓库运往A村的水泥40吨时总运费最少，最少费用为（﹣40a+2168）元．
24．【解答】（1）由题知，
因为+1＝2，，，…，
所以．
因为，…，
所以．
故答案为：n，．
（2）由（1）知，
，
则．
因为442＝1936，452＝2025，且1936＜2024＜2025，
所以所给线段中长度为正整数的线段共有44条．
故答案为：44．
（3）由题知，
原式＝+…+
＝
＝++…+
＝+…+
＝
＝
＝．
25．【解答】解：（1）∵OB＝＝，同理可得：AB＝＝OB，
∴B为等距点．
同理可得：CO＝2＝AC，
∴OC＝AC，
∴C为等距点．
∵OD＝＝2，同理可得：AD＝2≠AD，
∴D不为等距点．
∵OA＝4，
∴OB2+AB2≠OA2，OC2+AC2＝OA2，OD2+AD2≠OA2，OE2+AE2≠OA2，
∴C为完美等距点，
故答案为：B和C；C；
（2）∵P（m，n）在y＝x上，则n＝﹣m，
∴OP＝＝＝，
∴m＝±2，
∴n＝±1，
∴P（2，﹣1）或P（﹣2，1），
设H的坐标为（0，t），
∴PH＝或，
∵AH＝，AH＝HP，
∴＝或＝，
解得：t＝±，
∴H的坐标为（0，）或（0，﹣）；
（3）存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”，也是线段OP的“完美等距点”；理由如下：
设N点的坐标为（2，b），
∵P（m，m），
则ON＝，PN＝，
∵点N是线段OP的“等距点”，
∴ON＝PN，
则＝，
解得：b＝4﹣m，
∵N为线段OP的“完美等距点”，
∴ON⊥PN，
∴△OPN为等腰直角三角形，
∴OP＝ON，
∵OP＝，ON＝，
则＝，
解得：m＝8或，
∴P点的坐标为（8，﹣4）或（，﹣）．
26．【解答】解：（1）∵△COE≌△BOA，
则OC＝BO＝4，OE＝OA，
则点B（0，4），则直线AB的表达式为：y＝﹣x+4，
令y＝0，则x＝8，
即OA＝8＝OE，
故答案为：（0，4）、8；
（2）∵OE＝8，
设直线CE的表达式为：y＝kx+8，
将点C的坐标代入上式得：0＝﹣4k+8，则k＝2，
即直线CE的表达式为：y＝2x+8，
当x＝﹣时，y＝2x+8＝，
即点D（﹣，）；
（3）①线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变，
证明：∵△COE≌△BOA，
∴OE＝OA，∠OEM＝∠OAN，
∵∠BOA＝90°，ON⊥OM，
∴∠MON＝∠BOA＝90°，
∴∠MOE+∠EON＝∠EON+∠NOA，
∴∠MOE＝∠NOA，
在△MOE和△NOA中，∠MOE＝∠NOA，OE＝OA，∠OEM＝∠OAN，
∴△MOE≌△NOA（ASA），
∴OM＝ON，
即线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变；
②由①知OM＝ON，
∵OM⊥ON，
∴△OMN面积是：OM×ON＝OM2，
∴当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值，
∵OC＝4，OE＝8，∠COE＝90°，
∴CE＝4，
∵当OM⊥CE时，OM取得最小值，
∴OM•CE＝OC•OE，即OM×4＝4×8，
解得：OM＝，
∴△OMN面积取得最小值是：（）2＝，
当△OMN取得最小值时，设此时点M的坐标为（a，2a+8），
∴a2+（2a+8）2＝（）2，
解得：a＝﹣，
则点M（﹣，），
由上可得，当△OMN面积最小时，点M的坐标是（﹣，）和△OMN面积是．
建设“美丽乡村”，落实“乡村振兴”
问题情境
素材1
已知甲、乙两仓库分别有水泥40吨和60吨．
素材2
现在A村需要水泥48吨，B村需要水泥52吨．
素材3
从甲仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；
从乙仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨．
问题解决
问题1
分析素材
设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格：
运量（吨）
运费（元）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A村
x
48﹣x
20x
15（48﹣x）
B村
①
x+12
25（40﹣x）
②
问题2
设总运费为y元，请写出y与x的函数关系式及x的取值范围．
问题3
为了更好地支援乡村建设，甲仓库运往A村的运费每吨减少a（4＜a＜8）元，这时甲仓库运往A村的水泥多少吨时总运费最少？最少费用为多少元？（最少费用用含a的代数式表示）