重庆市第十一中学校教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

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1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的名字、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
3.回答选择题时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题. 本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．设集合，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合并集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，故选：A
2．命题“”的否定是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】含量词的命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到.
【详解】命题 “”的否定是“”，
故选：B.
3．下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为( )
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】抓住题目要求，判断给定的函数既是奇函数又是定义域上的增函数，进行逐个判断即可．
【详解】解：选项中函数为非奇非偶函数，不符合题意；
选项中函数为偶函数，在定义域内有增有减，不符合题意；
选项中函数为奇函数，在定义域是增函数，符合题意；
选项中函数为奇函数，但在和上为增函数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题重点考查函数的单调性与奇偶性的及其运用，难度不大，属于基础题．
4．已知，则的最小值为( )
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【分析】利用配凑法和基本不等式即可求得.
【详解】，
当且仅当，时取等号，
即时，取得最小值7.
故选：D.
5．设， ，则是的( )条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】解二次不等式可得q：或，然后再利用充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】或，
所以，且，
所以是的充分不必要条件.
故选：B.
6．下列各组函数是同一函数的是( )
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【分析】判断每一选项中两函数的定义、对应关系、值域是否完全相同即可得答案.
【详解】对于A，第一个函数的定义域是，第二个函数定义域是，定义域不同，故不是同一函数；
对于B，第一个函数的定义域是R，第二个函数定义域是，定义域不同，故不是同一函数；
对于C，两个函数的定义域都为R，两函数的对应关系相同、值域相同，故是同一函数；
对于D，第一个函数定义域为R，第二个函数定义域为，定义域不同，故不是同一函数.
故选：C.
7．下列函数中，值域是的是( )
A．B．，
C．，D．
【答案】D
【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．
【详解】对选项A：，即函数的值域为，错误；
对选项B：，则函数在上为减函数，则，即函数的值域为，错误；
对选项C：函数的定义域为，函数的，值域不连续，错误；
对选项D：，函数的值域为.
故选：D
8．若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据含参一元不等式恒成立对分类讨论即可得a的取值集合.
【详解】当时，不等式化为对恒成立；
当，要使得不等式对恒成立，则，解得
综上，a的取值集合为.
故选：B.
二、多项选择题. 本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列选项是正确的是( )
A．若，则；B．若且，则
C．若，则；D．若且，则
【答案】BCD
【分析】利用不等式的基本性质判断.
【详解】A. 当，时，，故A错误；
B. 当时，，又，，故B正确；
C. 因为，所以，则，故C正确；
D. 因为且，所以，所以，故D正确.
故选：BCD
10．已知，都是正数，且，则下列说法正确的是( )．
A．的最大值为B．的最小值为12
C．的最小值为D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式可对A，B、D判断；利用基本不等式“1”的应用可对C判断；
【详解】对A：，当且仅当，即，时成立，故A选项正确；
对B：，由A知，所以，
仅当，即，时成立，故B选项错误；
对C：由，得，
所以，
当且仅当时成立，故C选项正确；
对D：由A知，所以，则，
当且仅当，即，时成立，故D选项正确．
故选：ACD．
11．函数的定义域为，其图象上任一点满足．则下列命题中正确的是( )：
函数可以是奇函数；
B. 函数一定是偶函数；
C. 函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；
若函数值域是，则一定是奇函数．
【答案】AD
【分析】结合的奇偶性、值域等知识确定正确答案.
【详解】由于的定义域是，
则，.
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以的图象有如下四种情况：
(1)
(2)
(3)
(4)
根据图象可知AD正确，
故答案为：AD
三、填空题. 本大题共3小题，每小题5分，其中14题第一空2分，第二空3分，共15分.
12．设，则
【答案】3
【分析】借助分段函数性质代入计算即可得.
【详解】，则.
故答案为：3.
13．某校有26个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购 张车票.
【答案】32
【分析】根据韦恩图，即可求解总人数.
【详解】由题意可得韦恩图，如图所示，
参加数理化竞赛的学生有人，
所以需预购32张车票.
10

故答案为：32
14．已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，
①当时，A=
②若，则实数的取值范围是 ．
【答案】 ；
【分析】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案.
【详解】①
②由函数，作出的图象如下：
由题得：，
当时，函数在上的最大值为，即，
要使，则，令，解得：，，，，
由图可得，要使函数在上的最大值为，且，
则，或，解得：.
当时，
由图，在上最大值，
在上单调递增，最大值，
不可能成立，
综上，实数的取值范围是，
故答案为：.
解答题. 本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)已知二次函数的图像过，且函数图像顶点的横坐标为．
(1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由点在函数图像上，可得n值，又由顶点的横坐标代入对称轴得m，求得函数的解析式；
(2)由已知函数图像的对称轴，函数在上的最小值必在顶点处取得，最大值必在端点处取得，求得值域.
【详解】(1)由点在函数图像上，且顶点的横坐标为，可得：
．
．
(2)图像的对称轴为．
故函数在上的最小值为，
又，
故函数在区间的值域为
16．(15分)已知集合 ，
(1)若， 求；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】(1)解不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得.
(2)根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解即可.
【详解】(1)解不等式，得，当时，集合，
所以
(2)由，得，则，解得，
所以的取值范围是．
17．(15分)已知函数是奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)用定义法讨论函数的单调性；
(3)设，满足，求a的取值范围.
【答案】(1)3
(2)在单调递增，在和单调递减，证明见解析
(3)
【分析】(1)根据奇函数的定义，求得的值；
(2)根据单调性定义判断并证明．
(3)利用函数的单调性解不等式
【详解】(1)由题意可得：是定义域为的奇函数
，即，解得. 故
(2)任取，令
又，
故当，即或时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增
在单调递增，在和单调递减
(3)，由(2)知：在单调递减，由可得：
，故a的取值范围为
18．(17分)重庆市第七届运动会于2024年3月至2024年10月在重庆合川举行，运动会举办前，某公司为了竟标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.
(1)据市场调查，若每件售价提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原销售收入，该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元. 公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原销售收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
【答案】(1)40元；
(2)至少应达到10.2万件，每件定价30元.
【分析】(1)设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值；
(2)问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.
【详解】(1)设每件定价为t元，依题意得，
则，解得，
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元
(2)依题意，时，不等式有解 ，
等价于时，有解，
因为(当且仅当时等号成立 )，
所以，此时该商品的每件定价为30元，
当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
19．(17分)若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“幸福函数”．
(1)下列三个函数①；②；③，哪一个是在上的“幸福函数”，并说明理由．
(2)已知函数．当时，函数G是在上的“幸福函数”，求t的值；
(3)已知函数，若函数G是在(m为整数)上的“幸福函数”，且存在整数k，使得，求a的值．
【答案】(1)①，理由见解析；
(2)或；
(3)
【分析】(1)根据“美好函数”的定义逐个分析判断即可；
(2)求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；
(3)由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出.
【详解】(1)对于①在上单调递增
当时，，当时，，
∴，符合题意；
对于②在上单调递增
当时，，当时，，
∴，不符合题意；
对于③在上单调递增
当时，，当时，，
∴，不符合题意；
故①是在上的美好函数；
(2)二次函数为，对称轴为直线，
在1,+∞上单调递增，在上单调递减，
当，，
当时，，
当时，．
若，在上单调递增，
则，解得(舍去)；
若，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得(舍去)，；
若，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得，(舍去)；
若，在上单调递减，
则，解得(舍去)．
综上所述，或；
(3)由(2)可知，二次函数对称轴为直线，
又，
，
，
当时，在上单调递增
当时取得最大值，时取得最小值，
∴
，为整数，且，
，即的值为5，
又∵，
，
．
【点睛】方法点睛：当二次函数对称轴确定但自变量取值区间变化时，需分“对称轴在区间左侧、中间、右侧”进行讨论，对称轴在区间中间时，还需继续分析自变量区间中间值和对称轴的关系，以此来确定函数的最值.