甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知函数为奇函数，则，已知，为正实数，则“”是“”的，关于的不等式，其解集可能是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：湘教版必修第一册第1章～第3章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则中元素的个数为
A.1B.2C.3D.4
2.设命题，使得，则为
A.，都有B.，都有
C.，使得D.，使得
3.如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是
A.B.C.，D.
4.下列选项中的两个函数表示同一函数的是
A.与B.与
C.与D.与
5.已知关于的不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是
A.B.
C.D.
6.已知函数为奇函数，则
A.B.，C.，D.，
7.已知，为正实数，则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.已知定义在上的函数满足对，，，都有，若，则不等式的解集为
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列能够表示集合到集合的函数关系的是
A.B.C.D.
10.关于的不等式（其中），其解集可能是
A.B.C.D.
11.定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则
A.方程有且仅有3个解C.方程有且仅有3个解
C.方程有且仅有5个解D.方程有且仅有1个解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是________.
13.已知是一次函数，满足，则的解析式为________.
14.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知为实数，集合，.
（1）当时，求的取值集合；
（2）当时，求的取值集合.
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求，的值；
（2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）简述的图象可由的图象经过怎样平移得到；
（2）证明：的图象是中心对称图形，并计算的值.
18.（本小题满分17分）
如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，.
（1）求关于的函数表达式；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少？
19.（本小题满分17分）
已知函数为奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性并证明；
（3）解关于的不等式.
永昌县第一高级中学2024—2025—1期中考试卷·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1.B ，，所以.故选B.
2.A 为，都有.故选A.
3.C 若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，由图知，的单调递减区间为和.故选C.
4.D 由同一个函数的定义域相同可排除A，B；由同一函数的解析式相同可排除C.故选D.
5.A 关于的一元二次不等式的解集为，则，且，7是一元二次方程的两根，于是解得则不等式化为，即，解得，所以不等式的解集是.故选A.
6.D 由题意可知，，即，整理得，即对于恒成立，则所以，.故选D.
7.C 由，得，所以，则充分性成立；由，得，则，所以，则必要性成立.综上可知，“”是“”的充要条件.故选C.
8.B 因为，所以，不妨设，则，所以.令，则为上的增函数，因为，所以，因为，所以，所以，所以，即不等式的解集为.故选B.
9.ABD 根据函数的概念判断ABD正确，C错误.故选ABD.
10.BCD 当时，，所以解集不可能为，故A错误；当，时，不等式恒成立，即解集为，故B正确；当，时，不等式的解集为，故C正确；当，不等式的解集为，故D正确.故选BCD.
11.ABD 对于A，令，则或0或；又，，各有1个解，故方程有且仅有3个解，故A正确；对于B，令，则；又有3个解，故方程有且仅有3个解，故B正确；对于C，令，则或0或；又，，各有3个解，故方程有且仅有9个解，故C错误；对于D，令，则；又有1个解，故方程有且仅有1个解，故D正确.故选ABD.
12. ，即，解得，即函数的定义域是.
13.或 设，由题意可知，所以解得或所以或.
14. 若使在上单调递增，则；若使在上单调递增，则.若使函数在上单调递增，则解得，故实数的取值范围为.
15.解：（1）因为，
所以当时，，当时，.3分
又，所以，此时，满足.
所以当时，的取值集合为.6分
（2）当时，，不成立；8分
当时，，，成立；10分
当且时，，，由，得，所以 .12分
综上，的取值集合为.13分
16.解：（1）由题意可知，，1是方程的两根，2分
所以，，4分
解得，或，.6分
故，的值分别为，，或，.7分
（2）当时，，8分
若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点，11分
则，13分
即，解得，
故的取值范围是.15分
17.（1）解：因为，3分
所以的图象可由的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移一个长度单位得到.
6分
（2）证明：因为，
所以的图象关于中心对称.10分
注：若学生由（1）问的图象平移给出证明同样给分.
因为，，…，，12分
所以.
15分
18.解：（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，2分
，6分
整理得.8分
（2）由（1）知，即，10分
，，由基本不等式可得，12分
令，则，解得（舍去）或.14分
，当且仅当即，时等号成立，16分
海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为.17分
19.解：（1）因为函数为奇函数，定义域为，
所以，即恒成立，所以，3分
又，所以，所以.4分
（2）在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则，7分
又，，且，所以，，，
所以，即，所以在上单调递增.10分
（3）由（2）知在上单调递增，
因为为奇函数，所以在上也单调递增.12分
令，解得或，13分
因为，且，
所以，15分
所以，解得，
所以不等式的解集为.17分