湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附答案），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则在复平面对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 设直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知数列为等差数列，.设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 假设一水渠横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（ ）（，，）

A. 0.816mB. 1.33mC. 1.50mD. 1.63m
6. 已知圆与圆外切，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. D. 3
7. 若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确是（ ）
A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2
B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18
D. 若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15
10. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为
B. 过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或
C. 定点到圆上的点的最大距离为
D. 过定点且与圆相切的直线方程为或
11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则（ ）
A. 当时，点P到平面的距离为
B. 当时，点P到平面的距离为
C. 当时，存在点P，使得
D. 当时，存在点P，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 假设，且与相互独立，则______.
13. 斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则______．
14. 已知公差不为的等差数列an的前项和为，若，，，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知三个内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，点满足，且，求的面积；
16. 在四棱锥中，底面是正方形，若，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且.
（1）求的方程；
（2），为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围.
18. 已知是数列的前项和，若.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，数列的前项和为.
（ⅰ）求取最大值时的值；
（ⅱ）若是偶数，且，求.
19. 直线族是指具有某种共同性质直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；
（2）若点Px0,y0不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；
（3）在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点C0,1，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】BD
【11题答案】
【答案】BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】0.12
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）；（ii）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）成立，理由见解析