2023-2024学年山东省淄博市张店区七年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市张店区七年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制），共20页。
A．B．
C．D．
2．（4分）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．16或20
3．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
B．全等三角形的对应边相等，对应角相等
C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
D．面积相等的两个图形是全等图形
4．（4分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．105°B．75°C．65°D．55°
5．（4分）如图所示的字母图案属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）如图所示，直线m∥n，直角三角形ABC（∠C＝90°），若∠β＝43°，则∠α的度数为（ ）
A．47°B．43°C．57°D．53°
7．（4分）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，∠CGF＝85°，则∠E的度数是（ ）
A．38°B．36°C．34°D．32°
8．（4分）已知AB＝AC，AD为∠BAC的角平分线，D、E、F…为∠BAC的角平分线上的若干点．如图1，图中有1对全等三角形；如图2，图中有3对全等三角形；如图3，图中有6对全等三角形；依此规律（ ）
A．24对B．28对C．36对D．72对
9．（4分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，垂足分别是点D、E．若AD＝6，则DE的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（4分）如图所示是一块面积为28的三角形纸板，其中AD＝DF，BE＝ED，则阴影部分的面积为（ ）
A．5.6B．4C．3.5D．2.8
二.填空（共5小题，每题4分，共20分）
11．（4分）三角形的三边之比是3：4：5，周长是36cm，则最长边比最短边长 ．
12．（4分）已知a、b、c为三角形三边的长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|＝ ．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD＝4，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
14．（4分）如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45° ．
15．（4分）如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有 （填序号）．
三、解答题（16-19：每题10分。20-21每题12分。22-23每题13分）
16．（10分）尺规作图：已知∠α，线段a，b
求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a
（不写作法，保留痕迹 ）
17．（10分）如图，在△ABC中，DM，交边AB于M，N两点
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
18．（10分）已知，如图，AB＝AD，∠1＝∠2＝60°．
（1）求证：△ADE≌△ABC；
（2）求证：AE＝CE．
19．（10分）在OA、OB分别有两个动点M、N，网格内有一固定点P，要使得△PMN周长最小，并说明理由．
20．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，求DF的长．
21．（12分）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，其他条件不变，那么
22．（13分）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，则∠QMC＝ 度．（直接填写度数）
23．（13分）如图1，点B是线段AD上一点，△ABC和△BDE分别是等边三角形，交于点M．
（1）求证：AE＝CD．
（2）求∠AMC的度数．
（3）如图2，点P，Q分别是AE，试判断△PBQ的形状，并说明理由．
参考答案与试题解析
一.单选（共10小题，每题4分，共40分）
1．【分析】根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当4为腰时，4+5＝8；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜3+4．
故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．
3．【分析】直接利用全等图形的性质进而分析得出答案．
【解答】解：A、如果两个图形全等，正确；
B、全等三角形的对应边相等，正确；
C、图形全等、大小有关，正确；
D、面积相等的两个图形不一定是全等图形；
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等图形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
4．【分析】根据三角形的外角性质解答即可．
【解答】解：由三角形的外角性质可知：∠α＝30°+45°＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
5．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的字母图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
D选项中的字母图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6．【分析】如图，延长AC交m于点D．由m∥n，得∠ODC＝∠β．由∠ACB＝90°，得∠BCD＝90°，故∠COD+∠CDO＝90°，即∠α+∠β＝90°．那么，∠α＝47°．
【解答】解：如图，延长AC交m于点D．
∵m∥n，
∴∠β＝∠ODC．
∵∠α与∠DOC是对顶角，
∴∠α＝∠DOC．
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OCD＝180°﹣∠ACB＝90°．
∴∠COD+∠ODC＝180°﹣∠OCD＝90°．
∴∠α+∠β＝90°．
∴∠α＝90°﹣∠β＝90°﹣43°＝47°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
7．【分析】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝28°，根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝28°，
∵∠CGF＝∠D+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝57°，
∴∠BCA＝114°，
∴∠B＝180°﹣28°﹣114°＝38°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝38°，
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
8．【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有个全等三角形即可．
【解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形；
当有8点D、E时；
当有3点D、E、F时；
当有4点时，有10对全等三角形；
…
当有n个点时，图中有．
则有8个点，即第4个图形中有全等三角形：．
故选：C．
【点评】本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．
9．【分析】根据AAS即可证明△BEC≌△CDA，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠CEB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴BE＝CD＝2，AD＝EC＝6，
∴DE＝CE﹣CD＝3﹣2＝4．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
10．【分析】连接AE，BF，CD，利用三角形中线的性质将△ABC分成7个相等的部分，中间阴影部分的面积为△ABC面积的，即得答案．
【解答】解：连接AE，BF，如图所示，
∵AD＝DF，BE＝ED，
则AE、BF、△BCE，
DE、EF、△BDF，
由三角形中线的性质可得：
S△ADC＝S△CDF，S△AED＝S△ABE，
S△BEF＝S△DEF，S△EBF＝S△BFC，
S△ABD＝S△BDF，S△AEF＝S△AFC，
∴△ABC被分为7个面积相等的三角形，中间阴影部分的面积为△ABC面积的＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中线的性质，利用这个性质得到△ABC中7个小三角形面积相等是解题的关键．
二.填空（共5小题，每题4分，共20分）
11．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：由题意，设三边分别为3xcm，5xcm，
则8x+4x+5x＝36，
解得x＝2，
三边分别为9cm，12cm．
故最长的边长比最短的边长长6cm．
故答案为：5cm．
【点评】本题考查了三角形．解题时，通过设适当的参数，由周长为36cm建立方程求解．
12．【分析】由三角形三边关系定理得到a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，由绝对值的意义，即可化简．
【解答】解：由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b，
|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|
＝|a﹣（b+c）|+|b﹣（c+a）|+|c﹣（a+b）|
＝b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c
＝a+b+c．
故答案为：a+b+c．
【点评】本题考查三角形的三边关系，绝对值，关键是掌握三角形的三边关系定理，绝对值的意义．
13．【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，则此时PC+PQ取最小值，如图所示．
∵S△ABC＝BC•AD＝，
∴BQ＝＝，
即PC+PQ的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
14．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣45°）＝67.2°，
∵∠BAE＝90°，∠B＝45°，
∵∠AEB＝∠B＝45°，∠EAC＝∠C，
∴∠EAC＝22.5°，
∴∠DAE＝∠DAE+∠EAC＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．
15．【分析】由已知条件，可直接得到三角形全等，得到结论，采用排除法，对各个选项进行验证从而确定正确的结论．
【解答】解：∵∠B+∠BAE＝90°，∠C+∠CAF＝90°
∴∠1＝∠2（①正确）
∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C
∴△ABE≌△ACF（ASA）
∴AB＝AC，BE＝CF（②正确）
∵∠CAN＝∠BAM，∠B＝∠C
∴△ACN≌△ABM（③正确）
∴CN＝BM（④不正确）．
所以正确结论有①②③．
故填①②③．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．得到三角形全等是正确解决本题的关键．
三、解答题（16-19：每题10分。20-21每题12分。22-23每题13分）
16．【分析】作∠A＝∠α，在∠B的一边上截取AB＝a，AC＝b，连接BC即可得到所求的△ABC．
【解答】解：
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是利用边角边画三角形时，应先画出所给的角，再在角的两边上分别截取其余两边．
17．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AM＝CM，BN＝CN，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠MNF+∠NMF，进而求出∠A+∠B，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3（cm）；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣5×70°＝40°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
18．【分析】（1）证得∠DAB＝∠CAB，根据ASA即可得出△ABC≌△ADE；
（2）由（1）可得AE＝AC，即可判定△AEC为等边三角形，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠5+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）证明：由（1）得△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC，
∵∠2＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．【分析】作出点P关于直线OA的对称点Q，点P关于直线OB的对称点R，连接QR分别交OA、OB于点M，点N，由轴对称及线段的垂直平分线的性质可求得PM+PN+MN＝QM+RN+MN＝QR，因为两点之间线段最短，所以此时PM+PN+MN的值最小，则点M、点N就是所求的图形．
【解答】解：取格点Q，格点R、OB于点M，
点M、点N就是所求的图形.
理由：连接PQ、PR，
∵点Q与点P关于直线OA对称，
∴OA垂直平分PQ，
∴PM＝QM，
∵点R与点P关于直线OB对称，
∴OB垂直平分PR，
∴PN＝RN，
∴PM+PN+MN＝QM+RN+MN＝QR，
∵Q、M、N、R四点在同一条直线上，
∴QM+RN+MN＝QR的值最小，
∴PM+PN+MN的值最小，
∴△PMN周长最小．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出点P关于直线OA的对称点及点P关于直线OB的对称点是解题的关键．
20．【分析】（1）由角平分线求出∠ABF的度数，再利用外角的性质即可；
（2）证出△ABD≌△CBD，得出△ABC是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝125°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝CDB＝90°，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝4，
在Rt△ADF中，
DF＝2．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和角平分线，以及全等三角形的判定和性质，证出△ABC是等边三角形是解决本题的关键，是一道中档题．
21．【分析】（1）先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，而∠B＝∠C＝45°，所以∠B＝∠DAF，再加上BE＝AF，AD＝BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，从而得出∠EDF＝90°，即△DEF是等腰直角三角形；
（2）还是证明：△BED≌△AFD，主要证∠DAF＝∠DBE（∠DBE＝180°﹣45°＝135°，∠DAF＝90°+45°＝135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AD⊥BC，BD＝AD．
∴∠B＝∠DAC＝45°，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（SAS）．
∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF．
∴∠EDF＝∠EDA+∠ADF＝∠EDA+∠BDE＝∠BDA＝90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
（2）解：△DEF为等腰直角三角形．
证明：若E，F分别是AB，如图所示：
连接AD，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC（三线合一），
∴∠DAC＝∠ABD＝45°．
∴∠DAF＝∠DBE＝135°．
又AF＝BE，
∴△DAF≌△DBE（SAS）．
∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB．
∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠FDA+∠FDB＝∠ADB＝90°．
∴△DEF仍为等腰直角三角形．
【点评】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．
22．【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°；
（3）解：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
23．【分析】（1）根据等边三角形的性质求出△ABE≌△CBD，再根据全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得答案；
（3）先根据三角形的中位线定理求出△ABP≌△CBQ，再根据等边三角形的判定定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠CBA＝60°，BA＝CB，
∵△BDE为等边三角形，
∴BE＝BD，∠EBD＝60°，
∵∠CBA＝∠EBD＝60°，
∴∠CBA+∠CBE＝∠EBD+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD（SAS）．
∴AE＝CD．
（2）解：∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD＝∠BAE，
令BC与AE交点为O，
∵∠AOB+∠BAE+∠CBA＝180°，
∠COM∠BCD+∠AMC＝180°，
∠BAE＝∠BCD，∠COM＝∠AOB，
∴∠AMC＝∠CBA＝60°．
（3）解：△PBQ为等边三角形，
∵P，Q 为 AE，AE＝CD，
∴AP＝PQ，
在△ABP和△CBQ中，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，
又∵∠PBC+∠ABP＝60°，
∴∠CBQ+∠PBC＝60°，即∠PBQ＝60°，
又∵BP＝BQ，
∴△PBQ为等边三角形．
【点评】此题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．