2022-2023学年吉林省长春市经开区洋浦学校九年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年吉林省长春市经开区洋浦学校九年级（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移4个单位长度，则得到的抛物线表达式为（ ）
A．y＝（x+4）2B．y＝x2+4C．y＝（x﹣4）2D．y＝x2﹣4
3．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，那么DE的长是（ ）
A．2B．C．1D．
4．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝6，F分别是BD，CD的中点（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
6．（3分）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点之间的距离为35米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点（BC的长）为（ ）
A．35sinα米B．米C．35csα米D．米
7．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+1，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≤1C．x≥﹣1D．x≤﹣1
8．（3分）已知二次函数y＝x2+2x﹣4，当﹣3＜x≤0时，y的取值范围是（ ）
A．﹣4≤y≤﹣1B．﹣4≤y＜﹣1C．﹣5≤y＜﹣1D．﹣5≤y≤﹣4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）若，则＝ ．
10．（3分）已知△ABC，P是边AB上的一点，连接CP，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
11．（3分）如图，某同学利用标杆BE测量教学楼的高度，已知标杆BE高1.5m，BC＝12.8m，则教学楼CD的高度是 m．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，BE与AC交于点F．若AC＝20，则AF的长为 ．
13．（3分）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则tanB＝ ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（1，3）、（3，3）2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（4分）计算：2sin60°+3tan30°﹣2cs45°．
16．（8分）解方程：
（1）3x2﹣4x＝0；
（2）x2+8x﹣2＝0．
17．（6分）已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），且经过点（1，10），求此二次函数的表达式
18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长BC到点E，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若BO＝，sin∠CAD＝，请直接写出平行四边形ACED的周长 ．
19．（7分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表：
（1）求出抛物线的函数表达式．
（2）当y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1 y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）
20．（7分）如图，图①、图②、图③均为4×2的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上．按要求在图②、图③中各画一个顶点在格点上的三角形．
要求：
（1）所画的两个三角形都与△ABC相似但都不与△ABC全等．
（2）图②和图③中新画的三角形不全等．
21．（8分）如图，AC、BD交于点E，BC＝CD
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若BC＝12，EC＝6，AE＝4
22．（9分）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点P在BC边上，当∠APD＝90°时 （填“是”或“否”）．
探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，求证：△ABP∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，
BC＝，CE＝9，则DE的长为 ．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（点A在点B的左侧），第一象限内的点C在该抛物线上．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）若△ABC的面积为12，求点C坐标；
（3）在第（2）问的条件下，直线y＝mx+n经过点A、C，当，直接写出x的取值范围．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，动点P从点A出发沿AC方向以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR
（1）线段AP的长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点R落在BC边上时，求t的值．
（3）当C、R、Q三点共线时，求t的值．
（4）当△CPR为钝角三角形时，直接写出t的取值范围．
2022-2023学年吉林省长春市经开区洋浦学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．【分析】根据最简二次根式的定义直接判断即可．
【解答】解：A． 是最简二次根式；
B． ＝3，不符合题意；
C． ，不是最简二次根式；
D． ，不是最简二次根式．
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，解题关键是正确理解最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向上平移4单位长度，
得到的抛物线的解析式是：y＝x3+4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
3．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l4，
∴＝，
∵AB＝2，BC＝3，
∴＝，
∴DE＝，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
4．【分析】根据平行四边形的性质可得BC＝AD＝6，根据中位线的性质即可求解．
【解答】解：∵在▱ABCD中，AD＝6，
∴BC＝AD＝6，
∵点E，F分别是BD，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
5．【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵OA：AD＝1：2，
∴＝，
∵△ABC与△DEF位似，
∴AB∥DE，
∴△OBA∽△OED，
∴＝＝，即△ABC与△DEF的相似比为，
∴△ABC与△DEF的面积比＝（）2＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6．【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．
【解答】解：在Rt△ABC中，，
即，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，根据解三角函数的定义，列出方程是解题关键．
7．【分析】由抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1可知当x≤1时，根据抛物线的性质，在对称轴左侧y随x的增大而增大．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+8，
∴抛物线开口向下，对称轴为：x＝﹣，
∴二次函数y＝﹣x2+2x+2，当x≤1时．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当抛物线开口向下时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．
8．【分析】根据二次函数的性质和x的取值范围，可以得到相应的y的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣6＝（x+1）2﹣3，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，函数图象开口向上，取得最小值﹣5，
∵﹣6﹣（﹣3）＝2，6﹣（﹣1）＝1，
∴当﹣6＜x≤0时，y的取值范围是﹣5≤y＜﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．【分析】由比例的基本性质，可得4a＝3b，进而得，代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴3a＝3b，
∴，
将其代入得：
原式＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，及分式的化简计算，如何利用比例关系进行代换是解题的关键．
10．【分析】根据相似三角形的判定方法解决问题即可．
【解答】解：∵∠A＝∠A，
∴当∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝时，
故答案为：∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE＝1.5m，AB＝7.2m，
∴AC＝AB+BC＝14m，
∴，
解得，DC＝17.4，
即教学楼CD的高是17.5m，
故答案为：17.5．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，可证△AEF∽△CBF，可得，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE：AD＝2：3，
∴，
∴，
又∵AC＝20，
∴AF＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定是本题的关键．
13．【分析】先利用格点和勾股定理计算AB、AC、BC，再判断△ABC的形状，最后求出tanB．
【解答】解：连接格点A、C．
∵点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，
∴AB＝＝＝2＝，
BC＝＝．
∵AB8+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
∴tanB＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理和勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
14．【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【解答】解：∵正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1、（1、（3．
∴D（3，1），
当抛物线经过点B（8，3）时，
当抛物线经过D（3，6）时，
观察图象可知≤a≤3，
故答案为：≤a≤3．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．【分析】根据特殊角的三角函数值即可完成计算．
【解答】解：2sin60°+3tan30°﹣8cs45°
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是关键．
16．【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）3x2﹣2x＝0，
x（3x﹣8）＝0，
x＝0，5x﹣4＝0，
所以该方程的解为x5＝0，．
（2）x2+8x﹣2＝0，
Δ＝62﹣4×（﹣3）×1＝72，
，
所以该方程的解为，．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握运用公式法和因式分解法解一元二次方程成为解答本题的关键．
17．【分析】根据待定系数法求解二次函数解析式即可．
【解答】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∴y＝a（x+1）2﹣2，
∵经过点（1，10），
∴a（1+3）2﹣2＝10，
解得a＝8，
∴抛物线的表达式为y＝3（x+1）6﹣2，
∵a＝3＞2，
∴抛物线开口向上．
【点评】本题考查了运用待定系数法求解二次函数解析式，解决本题的关键是求出二次函数解析式．
18．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，等量代换得到AD＝CE，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到AC＝BD＝2OB＝5，∠ADC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CE＝BC，
∴AD＝CE，
∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2OB＝5，∠ADC＝90°，
∵sin∠CAD＝，
∴CD＝AC＝4，
∴AD＝＝3，
∴平行四边形ACED的周长＝2×（7+5）＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
19．【分析】（1）由于抛物线过（0，0）、（2，0），则可设交点式y＝ax（x﹣2），再把（1，1）代入求出a即可；
（2）根据函数图象得到抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣2），
把（1，5）代入得﹣a＝1，
解得a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为y＝﹣x7+2x；
（2）∵抛物线开口向下，在对称轴的左侧，
∵y1＞y5．
故答案为＞．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
20．【分析】将原三角形的三边分别扩大和2倍即可得．
【解答】解：如图，△A1B1C6和△A2B2C7即为所求作三角形．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．本题从∠ACB＝135°，AC：BC＝：1找到突破口．
21．【分析】（1）由BC＝CD，BD平分∠ABC，可得∠CBD＝∠DBA＝∠D，再由对顶角相等即可得出结论；
（2）由三角形相似列出比例式，根据BC＝CD即可推出结果．
【解答】（1）证明：∵BC＝CD，
∴∠D＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝∠D，
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED；
（2）解：∵△AEB∽△CED，
∴，
又∵BC＝CD，
∴，
即，
∴AB＝3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．【分析】感知：先证明∠BAP＝∠CPD，然后根据平行线的性质证明∠B＝∠C，即可证明△ABP∽△DCP；
探究：根据三角形外角的性质可得∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．由∠B＝∠APD，推出∠BAP＝∠CPD，据此即可证明△ABP∽△DCP；
拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，得到，继而求出BD＝8，再证明∠A＝90°，，AD＝AB﹣BD＝4，AE＝AC﹣CE＝3，即可利用勾股定理求出答案．
【解答】感知：解：∵∠APD＝90°，
∴∠APB+∠DPC＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠B＝90°＝∠B，
∴△ABP∽△DCP，
故答案为：是；
探究：证明：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，
∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．
∵∠B＝∠APD，
∴∠BAP＝∠CPD．
∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△PCD，
拓展：解：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，
∴，
∵点P是边BC的中点，
∴BP＝CP＝，
∵CE＝5，
∴，
∴BD＝2，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，即AC⊥AB且AC＝AB，
∴，
∴AD＝AB﹣BD＝2，AE＝AC﹣CE＝3，
在Rt△ADE中，DE＝．
故答案为：5．
【点评】此题是相似三角形综合题．主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理．解本题的关键是证明△ABP∽△PCD．
23．【分析】（1）令y＝0，然后解方程即可求得；
（2）根据△ABC的面积求得C的纵坐标，代入解析式即可求得C的坐标；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）令y＝0，则，
解得x1＝﹣5，x2＝3，
∴A（﹣3，0），0）；
（2）∵A（﹣2，0），0），
∴AB＝7，
∵，
∴，
解得yC＝6，
∴，
解得x1＝5，x2＝﹣3（不符题意，舍去），
∴C（5，7）；
（3）由图象可知，当时，x的取值范围是﹣3＜x＜5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，三角形面积，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
24．【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间即可求解；
（2）先证明△APQ∽△ABC，可得PR＝PQ＝3t，再根据△CPR∽△CAB，即可求解；
（3）利用三角函数求出，，当C、R、Q三点共线时，可证出△CPR∽△CAQ，进而得到即，即可求解；
（4）分情况进行讨论，①如图2，过C作CD⊥AB于D，当点R在CD上时∠PRC＝90°，当点R在CD左边时，∠CRP为钝角，先证出四边形PQDR为正方形，再利用三角函数求出PQ＝3t，AQ＝4t，再证出△CPR∽△PAQ，进而得到，即可求出，进而可分析出t的取值范围，②如图3，当点R在BC边上时，∠PCR＝90°，若点R在△ABC外，则∠PCR为钝角，先证出△CPR∽△PAQ，即可得到，进而求出，再根据点P最多只能运动到点C上，即可分析出t的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得：AP＝5t；
故答案为：5t；
（2）∵AC＝2，AP＝5t，
∴CP＝AC﹣AP＝4﹣8t，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，
∴，
∵PQ⊥AB，
∴∠PQA＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△APQ∽△ABC，
∴，即，
解得：PQ＝3t，
∵将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR，如图3，
∴PR＝PQ＝3t，∠QPR＝90°，
∴∠QPR＝∠AQP，
∴PR∥AB，
∴△CPR∽△CAB，
∴，即，
解得：；
（3）∵∠ACB＝90°，AC＝4，
∴，
∴，，
∴，
由旋转知PQ＝PR，
当C、R、Q三点共线时，
∵∠RPQ＝∠AQP＝90°，
∴PR∥AQ，
∴∠CPR＝∠A，∠CRP＝∠CQA，
∴△CPR∽△CAQ，
∴即，
∵AP＝2t，AC＝4，
∴CP＝4﹣3t，
∴，
∴；
（4）由（2）得PR∥AB，
∴∠CPR＝∠A，
∴∠CPR不可能是钝角，
若点R在△ABC内部，∠ACR也不可能是钝角，
①如图3，过C作CD⊥AB于D，当点R在CD左边时，
∵∠RPQ＝∠PQD＝∠CDA＝90°，
∴四边形PQDR为矩形，
∵PQ＝PR，
∴矩形PQDR为正方形，
∵AP＝6t，，
∴PQ＝2t，
∵，
∴AQ＝8t，
∴PR＝PQ＝3t，
∵PR∥AB，
∴∠CPR＝∠A，∠PRC＝∠AQP＝90°，
∴△CPR∽△PAQ，
∴，
∴，
∴15t＝16﹣20t，
∴，
∴当时，∠PRC为钝角，
②如图4，当点R在BC边上时，若点R在△ABC外，
∵PR∥AB，
∴∠CPR＝∠A，
∵∠C＝∠AQP＝90°，
∴△CPR∽△PAQ，
∴，
∴AP＝8t，PR＝PQ＝3t，
∴，
∴12t＝20﹣25t，
∴，
又∵点P最多只能运动到点C上，
∴，
∴当时，∠PCR为钝角，
∴当或时，△PCR为钝角三角形．
【点评】本题考查几何变换综合题、矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣3
0
1
0
…