广东省广州市第八十九中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省广州市第八十九中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上.
2、答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，则（ ）
A.B.C.D.
2.对于实数下列说法正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C若，则D.若，则
3.函数的零点为1，2，则不等式的解集为（ ）
A.B.或C.D.或
4.用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ）
A.30B.36C.40D.50
5.下列函数中，既是其定义域上的单调递减函数，又是奇函数的是（ ）
A.B.C.D.
6.函数，若对，都存在，使成立，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
7.已知奇函数满足时，则的解集是（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数，有如下四个结论：
①函数在其定义域内单调递减；
②函数的值域为；
③函数的图象是中心对称图形；
④方程有且只有一个实根.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A.①②B.②③C.①③D.③④
二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.（有2个正确选项答对一个得3分，答错0分；有3个正确选项答对一个得2分，答错0分.）
9.已知集合，则下列表示方法正确的是（ ）
A.B.C.D.
10.下列说法正确的是（ ）
A.函数，且的图象过定点.
B.函数与是同一函数
C.是的充分不必要条件
D.命题p:的否定为
11.下列说法错误的是（ ）
A.
B.若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是
C.已知函数在R上是增函数，则的取值范围是
D.设正实数，满足，则的最小值为2
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共计15分
12.已知幂函数的图象过点，则_____________.
13.函数的定义域为_____________.
14.若，且，则_____________.
四、解答题：解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.共77分.
15.（13分）已知集合.
（1）时求;
（2）是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16.（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，
（1）求函数的解析式;
（2）画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间；
（3）解不等式.
17.（15分）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）;
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
18.（17分）函数是定义在上的奇函数.
（1）求的解析式;
（2）判断在上的单调性，并证明你的结论;
（3）解关于的不等式.
19.（17分）对于函数，存在实数，使成立，则称为关于参数的不动点.
（1）当时，求关于参数1的不动点;
（2）当时，函数在上存在两个关于参数的相异的不动点，试求参数的取值范围;
（3）对于任意的，总存在，使得函数有关于参数（其中的两个相异的不动点，试求的取值范围.
2024学年第一学期广州市第八十九中学
高一数学期中考
命题：刘雨审核：欧阳圣命题时间：
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上.
2、答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效.
一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
解析：选B.因为，，所以.
故选B.
2.【答案】C
【详解】若，则，故A错误;
若，则，故B错误;
因为，所以，即，故C正确;
因为，所以，所以，故D错误.
故选：C.
3.【答案】D
因为函数的零点为1，2所以
不等式等价于
所以或不等式的解集为或
4.【答案】C
【详解】：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，篱笆的长度为y）m.
由已知得.
由，可得，
所以，
当且仅当时，上式等号成立.
5.【答案】D
【详解】对于，则是偶函数，故A错误；
对于B:，则为奇函数，在单调递减，但在定义域上不单调，故B错误；
对于定义域为，在定义域上单调递增，但定义域不关于原点对称，即为非奇非偶函数，故C错误；
对于在定义域R上单调递增，且，即为奇函数，故D正确；故选：D.
6.【分析】原问题转化为，再根据二次函数的最值和指数函数的值域建立不等式，解之可得选项.
【详解】若对，都存在，使成立，则需，
又，所以，
令，因为，所以，所以，
所以，解得，则的取值范围是，
故选：B.
7.【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性得到，又在上单调递减，推出在上单调递减，故和时，满足要求，得到答案.
【解析】为奇函数，故，，
又在上单调递减，
故当时，，此时不合要求，
当时，，此时，满足要求，
由对称性可知在上单调递减，
故当时，，此时满足要求，
当时，，此时，不合要求，
综上，的解集为.
故选：B
8.【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案.
【详解】的定义域为，
所以在R上递增，①错误.
由于，
所以的值域为.
由于，
所以是奇函数，图象关于原点对称，③正确.
由得
构造函数在R上单调递增，
，
所以在R上存在唯一零点，也即方程有且只有一个实根，④正确.所以正确结论的序号是③④.
故选：D
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.（有2个正确选项答对一个得3分，答错0分；有3个正确选项答对一个得2分，答错0分.）
9.解析：选AC.因为集合，则，即正确；集合A中元素都是正整数，则，即C正确；“”只能表示元素与集合之间的关系，故B错误；“”只能表示集合之间的关系，故D错误.故选AC.
10.【答案】ABC
解：对于A，因为指数函数，且的图象过定点，所以在函数中，令，得，即函数的图象过定点，故A正确；
对于B，定义域为R，定义域与对应关系和相同，为同一函数，故B正确；
对于C，当时，显然成立，
符合却不满足且
所以是的充分不必要条件，故C正确;
对于D，因为命题p:是全称量词命题，
所以其否定为存在量词命题，即，故D错误
11.【答案】BD
对于A选项，
，A正确
对于B选项因为不等式的解集为R，
当时，，符合题意;
当时，，综上:.B错误
对于C选项由题意可知，且，即
解得.故C正确.
对于D故D错误选项D，由，当且仅当，即时等号成立，故选项D正确
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共计15分
12.解:设，则，即，
13.解:由题得且.
所以函数的定义域为或
14.【解析】，且，
，.
四、解答题：解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.共77分.
15.解：（1）因为或
时
或（2）由是的必要不充分条件得，P
①当，即时，，符合题意;
②当，即时，需得;
综上得，即实数m的取值范围为.
16.【答案】（1）
（2）答案见解析
（3）不等式的解集为或
【知识点】由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象、解不等式
【分析】（1）利用关于原点中心对称作出图象，由图象得单调区间；
（2）根据奇函数定义求解析式;
（3）用分类讨论即可解不等式求得.
【详解】（1）根据题意，
令，则，则，
又因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，
即……………………3分
所以.
（2）函数是定义在R上的奇函数，即函数的图象关于原点对称，则函数图象如图所示.
…………………………6分
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为;
（3）当时，，
则或，
当时，
综上或
17.【答案】（1）
（2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1600万元
【解析】
【分析】（1）分和两种情况下，结合投入成本的解析式求出的解析式；
（2）在第一问的基础上，分与，结合函数单调性，基本不等式，求出两种情况下的最大值，得到答案.
【小问1详解】
由该产品的年固定成本为300万元，投入成本万元，
且，
当时，，
当时，
所以利润万元关于年产量台的函数解析式为
【小问2详解】
当时，，
故当时，最大，最大值为1500；
当时，，
当且仅当时，即时等号成立，
综上可得，年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1600万元
18.【答案】（1）；
（2）在上是增函数，证明见解析;
（3）.
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质及已知函数值列方程组求解；
（2）根据单调性定义证明;
（3）由奇偶性化简不等式，再由单调性求解.
【小问1详解】
因为函数的定义为
的定义域为
又因为是奇函数，
（也可以用特殊值来求）
法二：
函数的定义域为（-2,2）
此时，满足，
（经检验为奇函数）
所以;
【小问2详解】
在（上是增函数，证明如下：
设任意的且，
，
又，则，
所以，即，
所以在上是增函数;
【小问3详解】
不等式化为，
又是奇函数，则，再由（2）得，
解得.即解集为.
19.【答案】（1）-1和3
（2）
（3）
【小问1详解】
当时，，
令，可得即，
解得或，
所以当时，关于参数1的不动点为-1和3.
【小问2详解】
由已知得在上有两个不同解，
即在上有两个不同解，
令，则在上有两个不同的零点，
所以，解得:.
【小问3详解】
由题意知，函数有关于参数的两个相异的不动点，
所以方程，即恒有两个不等实根，
则，
所以对于任意的，总存在，使成立，
即存在，
所以存在，
即:存在，
即:，
令，
对称轴为，
①当即时，，
所以，解得或，故不符合题意;
②当即时，，
所以，解得或，
所以.
综上所述.