2024-2025学年江苏省南京市江宁区竹山中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市江宁区竹山中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，四个图标分别是剑桥大学、北京理工大学、浙江大学和北京大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知图中的两个三角形全等，则∠1等于( )
A. 72°
B. 60°
C. 58°
D. 50°
3.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一个锐角对应相等
C. 斜边和一条直角边对应相等D. 一条直角边和一个锐角分别相等
4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=9，DE=2，AB=5，则AC长为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
5.如图，直线l，m相交于点O.P为这两直线外一点，且OP=2.8.若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
6.如图，在△AOB中，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是( )
A. ∠OBD=120°
B. OA/​/BD
C. CB+BD=AB
D. AB平分∠CAD
7.如图，△AOB≌△ADC，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，
当BC//OA时，α与β之间的数量关系为( )
A. α=βB. α=2β
C. α+β=90°D. α+2β=180°
8.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM=PN恒成立；(2)OM+ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为( )
A. 4B. 3
C. 2D. 1
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.等腰三角形的一个外角的度数是80°，则它底角的度数为______°.
10.如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D.请添加一个条件______，
使△ABF≌△DCE．
11.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是______．
12.如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE=AD，∠CED=25°，则∠BAE=______°.
13.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED/​/BC，AB=9，AD=6，则△AED的周长为______．
14.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P+∠Q= ______度.
15.在等腰△ABC中，AB=AC=8，点D，E分别是BC，AC边上的中点，那么DE= ______．
16.如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=11，AC=5，则BE=______．
17.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为______．
18.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
如图，在由长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，分别按下列要求在网格中作图：
(1)画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
(2)在直线l上找出一点P，使得|PA−PC|的值最大；(保留作图痕迹，并标上字母P)
(3)在直线l上找出一点Q，使得QA+QC1的值最小．(保留作图痕迹，并标上字母Q)
20.(本小题6分)
如图，已知DE//AB，∠DAE=∠B，DE=2，AE=4，C为AE的中点．
求证：△ABC≌△EAD．
21.(本小题8分)
如图，E在AB上，∠A=∠B，AD=BE，AE=BC，F是CD的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)∠CEA=80°，∠B=60°，求∠ECD的度数．
22.(本小题8分)
已知：如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AF=BE，AC=BD.请问BC和AD有怎样的关系？说明理由．
23.(本小题8分)
(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，直线l经过点A，且与BC平行，请在直线l上作出所有的点Q，使得∠AQC=12∠ACB；(要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹.)
(2)如图2，已知四边形ABCD，请用直尺和圆规在边BC上求作一点P，使∠APB=∠CPD.(要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹.)
24.(本小题8分)
如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
(1)说明：DC=BE；
(2)若∠AEC=72°，求∠BCE的度数．
25.(本小题10分)
已知命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，它的逆命题是个真命题．
(1)请写出逆命题和已知、求证：
逆命题：______；
已知：______；
求证：______．
(2)用两种方法证明逆命题是真命题．
26.(本小题10分)
已知在△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A．
(1)如图1，试说明CD=CB的理由；
(2)如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD=2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.B
5.A
6.D
7.B
8.B
9.40
10.∠B=∠C(答案不唯一)
11.在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
12.50
13.15
14.45
15.4
16.3
17.12.5
18.485
19.解：(1)如图，△A1B1C1为所求；
(2)如图，点P即为所求；
∵点C1点C关于直线l对称，
∴|PA−PC|=AC1，
∴连接AC1并延长，交直线l于点P，点P即为所求．
(3)如图，Q即为所求．
∵点C1点C关于直线l对称，
∴QA+QC1=QA+QC=AC，
∴直线AC与直线l的交点Q，
即点Q为所求．
20.证明：∵C为AE的中点，AE=4，DE=2，
∴AC=12AE=2=DE，
又∵DE//AB，
∴∠BAC=∠E，
在△ABC和△EAD中，∠B=∠DAE∠BAC=∠EAC=DE，
∴△ABC≌△EAD(AAS)．
21.(1)证明：在△AED和△BCE中，
AD=BE∠A=∠BAE=BC，
∴△AED≌△BCE(SAS)，
∴DE=EC，
∵F是CD的中点，
∴EF⊥CD．
(2)解：∵∠CEA=80°，∠B=60°，
∴∠BCE=∠CEA−∠B=80°−60°=20°，
∵△AED≌△BCE，
∴∠AED=∠BCE=20，
∴∠CED=∠CEA+∠AED=80°+20°=100°，
∵DE=EC，
∴∠ECD=∠EDC=180°−100°2=40°，
∴∠ECD的度数是40°．
22.解：BC=AD，理由如下：
∵AC⊥CE，BD⊥DF，
∴∠ACE=∠BDF=90°，
∵AF=BE，
∴AE=BF，
在Rt△ACE和Rt△BDF中，
AC=BDAE=BF，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)，
∴CE=DF，∠AEC=∠BFD(全等三角形的对应边相等，对应角相等)，
∴∠CEB=∠AFD，
在△CEB和△DFA中，
CE=DF∠CEB=∠DFABE=AF，
∴△CEB≌△DFA(SAS)，
∴BC=AD(全等三角形的对应边相等)．
23.解：(1)如图所示，以A为圆心，AC的长度为半径作弧，交l于点Q1，以C为圆心CQ1的长度为半径作弧，交l于点Q2，则Q1，Q2即为所求；

(2)如图所示，作A关于BC的对称点A′，连接A′D交BC于点P，连接AP，则点P即为所求．

∵A，A′关于BC对称，
∴∠APB=∠A′PB，
又∵∠DPC=∠A′PB，
∴∠APB=∠CPD．
24.解：(1)如图，∵G是CE的中点，DG⊥CE，
∴DG是CE的垂直平分线，
∴DE=DC，
∵AD是高，CE是中线，
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，
∴DE=BE=12AB，
∴DC=BE；
(2)∵DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，
∵DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∴∠B=2∠BCE，
∴∠AEC=3∠BCE=72°，
则∠BCE=24°．
25.如果三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形 如图，△ABC中，D是AB边的中点，且CD=12AB， △ABC是直角三角形．
26.解：(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ACD，
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A，
∴∠BDC=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC，
∴CD=CB；
(2)①∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠ACB=90°，
设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，
∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
∴∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−(90°−α)−(90°−α)=2α，
∴∠BCD=2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α，
分三种情况：
当BD=BF时，
∴∠BDC=∠BFD=3α，
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
∴90°−α=3α，
∴α=22.5°，
∴∠A=∠BCD=2α=45°；
当DB=DF时，
∴∠DBE=∠BFD=3α，
∵∠DBE=∠ABC−∠CBE=90°−α−α=90°−2α，
∴90°−2α=3α，
∴α=18°，
∴∠A=∠BCD=2α=36°；
当FB=FD时，
∴∠DBE=∠BDF，
∵∠BDF=∠ABC>∠DBF，
∴不存在FB=FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．