2024-2025学年福建省厦门一中高一（上）适应性月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省厦门一中高一（上）适应性月考数学试卷（10月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∈Z|−1≤x≤1}，B={−1,0,2}，则A∪B=( )
A. {−1,0}B. {−1,0,1,2}C. {0,1,2}D. {0}
2.命题“∃x≥0，x2−3x+1<0”的否定是( )
A. ∀x≥0，x2−3x+1≥0B. ∃x≥0，x2−3x−1≥0
C. ∀x<0，x2−3x+1≥0D. ∃x<0，x2−3x+1<0
3.给出下列等式，其中因式分解错误的是( )
A. 49x2−0.01=(23x−0.1)(23x+0.1) B. 27a3+1=(3a+1)(9a2−3a+1)
C. 64−8b3=(4−2b)(16−8b+4b2) D. a2−(b+c)2=(a−b−c)(a+b+c)
4.“x≠−1”是“x2−1≠0”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若x1，x2是关于x的方程x2+ax+a=0的解，且满足−2A. −2C. −124D. −126.已知存在0≤x≤3使mx2−2mx+3m−2≥0成立，则实数m的取值范围是( )
A. m≥−13B. m≥13C. m≥23D. m≥1
7.已知a>2，b>1，且1a−2+2b−1=1，则a+2b的最小值为( )
A. 9B. 212C. 13D. 14
8.对于非空正数集A={a1,a2,a3,…,an}(n∈N∗)，其所有元素的几何平均数记为G(A)，即G(A)=na1a2⋯an，若非空正数集B满足下列两个条件：(1)B⊆A；(2)G(B)=G(A).则称B为A的一个“稳定子集”.根据以上信息，集合{1,2,4,8,16}的“稳定子集”有( )
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设全集为U，C是非空集合，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有( )
A. A∪B=BB. B∩(∁UA)=⌀
C. (∁UA)⊆(∁UB)D. (B∩C)⊆(A∩C)
10.设a为实数，则下列集合可能是不等式(ax−1)3x+2>0的解集的是( )
A. {x|x<−2}B. {x|x<1a或x>−2}
C. {x|1a11.已知实数a，b，c满足a+b+c=0且a>b>c，则( )
A. bc>acB. a2>c2
C. 2ac−2bc三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知x1，x2是方程x2−2x−2024=0的两个不等实根，则1x1+1x2= ______．
13.已知命题p：“∀2≤x≤3，∃m≤y≤m+3，使得x>y”是假命题，则实数m的取值范围是______．
14.已知集合A={x|x2+2024x+2025=0}，B={x|(x2+ax)(x2+4ax+4)=0}，记非空集合S中元素的个数为|S|，已知||A|−|B||=1，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则|T|= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x||x−1|≤2}，集合B={x|m−1≤x≤2m}(m∈R)．
(1)当m=3时，求A∩B；
(2)若A∪(∁RB)=R，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知正实数a，b满足ab=a+4b+5．
(1)求ab的最小值，并指出此时a，b的值；
(2)若a，b∈N∗，求所有满足条件的a，b的值．
17.(本小题15分)
某公司计划在办公大厅建一面长为a米的玻璃幕墙，先等距安装x根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃．一根立柱的造价为6400元，一块长为m米的玻璃造价为(50m+100m2)元，假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y元(总造价=立柱造价+玻璃造价)．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当a=56时，怎样设计能使总造价最低？
18.(本小题17分)
回答下列问题：
(1)已知不等式a≤34x2−3x+4≤b的解集是{x|a≤x≤b}(a≠b)，求a，b的值；
(2)对于二次函数y=34x2−3x+4，当a≤x≤b时，y的最小值是a，最大值是b(a≠b)，求a，b的值．
19.(本小题17分)
已知A是非空数集，如果对任意x，y∈A，都有x+y∈A，xy∈A，则称A是封闭集．
(1)判断集合S={−1,0,1}，T={x|x=2k,k∈Z}，是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断命题“若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集”的真假，并说明理由；
(3)若非空集合A是封闭集合，且A⫋R，求证：∁RA不是封闭集．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.B
5.D
6.B
7.C
8.C
9.BC
10.ACD
11.ACD
12.−11012
13.{m|m≥2}
14.3
15.解：(1)A={x|−1≤x≤3}，m=3时，B={x|2≤x≤6}，
∴A∩B={x|2≤x≤3}；
(2)m−1>2m，即m<−1时，B=⌀，∁RB=R，满足A∪(∁RB)=R；
m≥−1时，∁RB={x|x2m}，且A∪(∁RB)=R，
∴m−1≥−12m≤3，解得0≤m≤32，
∴m的取值范围为：{m|m<−1或0≤m≤32}．
16.解：(1)正实数a，b满足ab=a+4b+5，
令t= ab，则t2=ab，原不等式可化简为：t2≥4t+5，解得t≤−1(舍)或t≥5，
即ab≥25，当且仅当a=4b，即a=10，b=52取等号，
∴ab的最小值为25；
(2)由ab=a+4b+5得a(b−1)=4b+5，即a=4b+5b−1=4+9b−1，
因为a，b∈N∗，
所以b=2，a=13；b=4，a=7；b=10，a=5．
17.解：(1)由题意得am=x−1，则m=ax−1，
则y=6400x+[50ax−1+100(ax−1)2](x−1)
=6400x+50a+100a2x−1，(x∈N⋅且x≥2)．
(2)y=6400x+50a+100a2x−1=100[64(x−1)+a2x−1]+50a+6400，
∵x∈N⋅且x≥2，∴x−1>0，
∴y≥200 64(x−1)⋅a2x−1+50a+6400=1650a+6400，
当且仅当64(x−1)=a2x−1，即x−1=a8，即x=a8+1时取等号，
∵a=56，∴x=a8+1=7+1=8时，取得最小值，
即等距安装8立柱时，总造价最低．
18.解：(1)令f(x)=34x2−3x+4=34(x−2)2+1，作出函数f(x)的图象，如图：
因为f(x)min=1，a≤34x2−3x+4≤b的解集为{x|a≤x≤b}(a≠b)，
若a>1，则不等式a≤34x2−3x+4≤b的解集是两段区域，不合题意，
若a≤1，由 f(x)min=1，a≤34x2−3x+4恒成立，
又因为不等式a≤34x2−3x+4≤b的解集为{x|a≤x≤b}(a≠b)，
所以a，b是方程34x2−3x+4=b 的两根，即3x2−12x+16−4b=0的两根，
则a+b=4ab=16−4b3，得a=0b=4或a=83b=43(舍去)，
综上a=0，b=4．
(2)令y=f(x)=34x2−3x+4=34(x−2)2+1，
因为当a≤x≤b时，y的最小值是a，最大值为b，
若f(x)在[a,b]上单调递减，则有a=f(b)=34b2−3b+4b=f(a)=34a2−3a+4，
两式相减，得a−b=34(b2−a2)−3(b−a)，由于a整理得b=83−a，则83−a=34a2−3a+4，得a=43，则b=43，不合题意，
若f(x)在[a,b]上单调递增，则f(a)=34a2−3b+4=af(b)=34b2−3b+4=b，且a≥2，
又a若f(x)在[a,b]上不单调，则由(1)中图象可知2∈[a,b]，
又f(x)min=1，从而可知a=1，b≥2，
所以满足f(b)=b，即34b2−3b+4=b，得b=4或b=43(舍去)；
综上，a=1，b=4．
19.解：(1)根据题意，对于集合S={−1,0,1}，
因为x=1，y=1，x+y=2不属于C，
所以集合S={−1,0,1}不是封闭集，
对于集合T={x|x=2k,k∈Z}，设x，y∈A，则x=2k1，y=2k2，k1，k2∈Z，
∴x+y=2(k1+k2)∈A，xy=4k1k2∈A，
∴集合T为封闭集；
(2)根据题意，该命题错误，
理由如下：
举出反例：令A1={x|x=2k,k∈Z}，A2={x|x=3k,k∈Z}，则集合A1，A2是封闭集，
而A1∪A2={x|x=2k或x=3k，k∈Z}，
有2∈A1∪A2，3∈A1∪A2，但2+3∉A1∪A2，
故A 1∪A2不是封闭集；
(3)证明：用反证法证明：
假设CRA也是封闭集，
设0∈A，在CRA中任取一个x，x≠0，此时可证得−x∈A，
否则，−x∈CRA，此时x+(−x)=0∈CRA，与0∈A矛盾，故−x∈A，
由于A是封闭集，CRA也是封闭集，
所以(−x)2∈A，x2∈CRA，
而(−x)2=x2，这与A∩CRA=⌀矛盾，故C RA不是封闭集，
同理可证：当0∉A，即0∈CRA时，CRA不是封闭集，
综合可得：CRA不是封闭集，