2024-2025学年福建省福州八中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州八中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2015年以来，我国的年度GDP数据如表：
设时间为n，与其对应的年度GDP为f(n)，那么f(2018)=( )
A. 68.5506B. 74.4127C. 82.7121D. 91.9281
2.“|x|=1”是“x2=1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数y=f(x)定义域是[−2,3]，则y=f(2x−1)的定义域是( )
A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5]
4.若函数f(x)=x3−x2−a,x>0x2+2x−a,x≤0恰有2个零点，则a的取值范围为( )
A. (−427,0) B. (−1,−427]∪(0，+∞) C. (−1,−427) D. (−1,−427)∪(0,+∞)
5.已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=lgx，设a=f(3)，b=f(14)，c=f(−2)，则( )
A. a>c>bB. a>b>cC. c>a>bD. b>a>c
6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0,2]时，f(x)=4(1−|x−1|).对于任意不小于2的正整数n，当x∈[2n−2,2n+1−2]时，都满足f(x)=12f(x2−1)，给出以下命题：
①f(x)的值域为[−4,4]；
②当x∈[26−2,27−2]时，f(x)∈[0,18]；
③当2以上三个命题中，所有真命题的序号是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(−x−1)=f(x−1)，当x∈[−1,0]时，f(x)=−x3，则关于x的方程f(x)=|csπx|在[−52,12]上的所有实数解之和为( )
A. −7B. −6C. −3D. −1
8.设集合A={a|∃x∈R,ax=lgax(a>1)}，B={y|∀x≥0,xy≥ln( 2x+ 2x2+1)}，下列说法正确的是( )
A. A⊆BB. B⊆AC. B∩A=⌀D. B∩A≠⌀
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若aA. 1a>1bB. ab>b2C. a+b>2 abD. ba+ab>2
10.已知a>0，b>0，a+b=1，则下列不等式一定成立的是( )
A. ab≤14B. 1a+1b≤4C. a2+b2≥12D. 1a2+1b2≥8
11.设f(x)是定义在R上的函数，对∀x，y∈R，有f(x+y)−f(x−y)=f(x+2)f(y+2)，且f(0)≠0，则( )
A. f(x)−f(−x)=0
B. f(x+4)−f(x)=0
C. f(0)+f(2)+f(4)+⋯+f(2024)=−2
D. f2(1)+f2(2)+f2(3)+⋯+f2(2024)=4048
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用列举法将方程lg3x+lg3(x+2)=1的解集表示为______．
13.如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=4，AD=3，那么当BM= 时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为 ．
14.已知定义域为R的函数f(x)=x2−2x+2,02,且满足f(−x)=−f(x)，函数g(x)=kx，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)有7个零点，则k的取值范围为______；若方程f(x)=m(m>0)的解为x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x+ax(a>0)．
(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(Ⅱ)若a=4，证明：函数f(x)在区间(2,+∞)上是增函数．
16.(本小题14分)
现定义：设a是非零实常数，若对任意的x∈D，都有f(a−x)=f(a+x)，则称函数y=f(x)为“关于a的偶型函数”．
(1)请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明；
(2)设定义域为R的“关于a的偶型函数”y=f(x)在区间(−∞,a)上单调递增，求证：y=f(x)在区间(a,+∞)上单调递减；
(3)设定义域为R的“关于12的偶型函数”y=f(x)是奇函数，若n∈N∗，请猜测f(n)的值，并用数学归纳法证明你的结论．
17.(本小题15分)
解不等式lga(1−1x)>1．
18.(本小题19分)
已知二次函数g(x)=ax2+c(a,c∈R)，g(1)=1且不等式g(x)≤x2−x+1对一切实数x恒成立．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，设函数ℎ(x)=2g(x)−2，关于x的不等式ℎ(x−1)+4ℎ(m)≤ℎ(xm)−4m2ℎ(x)在x∈[32,+∞)有解，求实数m的取值范围．
19.(本小题19分)
已知函数f(x)=lnx−ax−1(a∈R)．
(1)若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若方程f(x)+2=0有两个实根x1，x2，且x2>2x1，求证：x1x22>32e3．
参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.D
5.A
6.A
7.A
8.D
9.ABD
10.ACD
11.ACD
12.{1}
13.4
48

14.(2 2−2,1) (−2,7)
15.解：(Ⅰ)因为函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，
又f(−x)=−x+a−x=−(x+ax)=−f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(Ⅱ)当a=4时，f(x)=x+4x，
设x1，x2是区间(2,+∞)上的任意两个变量，且2则f(x1)−f(x2)=x1+4x1−x2−4x2=(x1−x2)(x1x2−4)x1x2，
因为2所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在区间(2,+∞)上是增函数．
16.解：(1)函数f(x)=cs(x−2)为“关于2的偶型函数”．
理由：由f(2−x)=cs(2−x−2)=cs(−x)=csx，f(2+x)=cs(2+x−2)=csx，
可得对任意的x∈R，都有f(2−x)=f(2+x)，故f(x)=cs(x−2)为“关于2的偶型函数”；
(2)证明：设a−x1>−x2，即有a>2a−x1>2a−x2，
由对任意的x∈R，都有f(a−x)=f(a+x)，即为f(x)=f(2a−x)，
y=f(x)在区间(−∞,a)上单调递增，可得f(2a−x1)>f(2a−x2)，
即有f(x1)>f(x2)，可得y=f(x)在区间(a,+∞)上单调递减；
(3)设定义域为R的“关于12的偶型函数”，
可得对任意的x∈R，都有f(12−x)=f(12+x)，即为f(−x)=f(1+x)，
又f(x)为奇函数，可得f(−x)=−f(x)，
即有f(x+1)=−f(x)，则f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，可得f(x)为最小正周期为2的函数，
由f(0)=0，可得f(1)=f(0)=0，f(2)=f(0)=0，猜想f(n)=0，n∈N∗；
证明：当n=1时，f(1)=f(0)=0成立，
假设n=k，k∈N∗时，f(k)=0，
当n=k+1时，f(k+1)=f−(k)=−f(k)=0，
可得n=k+1时，f(k+1)=0，
综上可得f(n)=0，n∈N∗．
17.解：①当a>1时，原不等式等价于不等式组：1−1x>01−1x>a.
由此得1−a>1x．
因为1−a<0，所以x<0，
∴11−a②当01−1x>01−1x解得：1综上，当a>1时，不等式的解集为{x|11−a当018.解：(1)∵二次函数g(x)=ax2+c(a,c∈R)，g(1)=1；∴a+c=1①，
又不等式g(x)≤x2−x+1对一切实数x恒成立，
可得(a−1)x2+x+c−1≤0对一切实数x恒成立，
当a−1=0时，x+c−1≤0不恒成立，所以a=1不合题意，舍去，
当a−1≠0时，要使得(a−1)x2+x+c−1≤0对一切实数x恒成立，
需要满足a−1<01−4(a−1)(c−1)≤0，②
由①②解得a=12，c=12，
故函数g(x)的解析式为：g(x)=12x2+12；
(2)把g(x)=12x2+12代入函数ℎ(x)=2g(x)−2，得ℎ(x)=x2−1，
则关于x的不等式ℎ(x−1)+4ℎ(m)≤ℎ(xm)−4m2ℎ(x)在x∈[32,+∞)有解，
即为4(m2−1)+(x−1)2−1≤x2m2−1+4m2(x2−1)，
即x2m2−4m2x2≥(x−1)2−4，
可得1m2−4m2≥−3x2−2x+1在x∈[32,+∞)上有解，
由y=−3x2−2x+1=−3(1x+13)2+43，
由 x∈[32,+∞)，可得0<1x≤23，
则y=−3x2−2x+1的最小值为−3(23+13)2+43=−53，
即1m2−4m2≥−53，即(3m2+1)(4m2−3)≤0，
解得− 32≤m<0或019.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，由题意，f′(x)=1x−a=1−axx，
当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意；
当a>0时，由f′(x)>0得0又函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递减，所以，1a≤1，即a≥1，
因此，实数a的取值范围是[1,+∞)；
证明：(2)由题意f(x)+2=lnx−ax+1=0，
于是lnx1+1=ax1lnx2+1=ax2，令x2x1=t，则由x2>2x1可得，t>2，
于是t=x2x1=lnx2+1lnx1+1=lnt+lnx1+1lnx1+1，即lnx1=lntt−1−1.从而lnx2=lnt+lnx1=tlntt−1−1，
另一方面，对x1x22>32e3两端分别取自然对数，则有lnx1+2lnx2>5ln2−3，
于是，即证lntt−1+2tlntt−1−3>5ln2−3，即(1+2t)lntt−1>5ln2，其中t>2，
设g(t)=(1+2t)lntt−1，t>2.则g′(t)=(2lnt+1+2tt)(t−1)−(1+2t)lnt(t−1)2=−3lnt+2t−1−1t(t−1)2，
设φ(t)=−3lnt+2t−1−1t，t>2，
则φ′(t)=−3t+2+1t2=2t2−3t+1t2=(2t−1)(t−1)t2>0在(2,+∞)上恒成立，
于是，φ(t)在(2,+∞)上单调递增，从而φ(t)>φ(2)=−3ln2+4−12−1=52−3ln2>0，
所以，g′(t)>0，即函数g(t)在(2,+∞)上单调递增，于是g(t)>g(2)=5ln2，
因此，x1x22>32e3，即原不等式成立． 时间(年)
2015
2016
2017
2018
2019
GDP(万亿元)
68.5506
74.4127
82.7121
91.9281
99.0865