2024-2025学年广东省汕头市濠江区九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省汕头市濠江区九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2+y−1=0B. x2+1x+1=0C. x2=1D. x3−2x2=1
2.一元二次方程x2+x−14=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
3.用配方法解方程x2+2x−2=0，原方程应变形为( )
A. (x+1)2=3B. (x−1)2=3C. (x+1)2=1D. (x−1)2=1
4.已知：毕业典礼后，小芳学习小组内部的m名同学，每两个同学都互相交换了礼物，她们一共买了20份礼物．根据以上条件可以列出以下哪个方程( )
A. 12m(m−1)=20B. 12m(m+1)=20C. m(m−1)=20D. m(m+1)=20
5.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了( )个人．
A. 12B. 11C. 10D. 9
6.在同一坐标系中，抛物线y=4x2，y=14x2，y=−14x2的共同特点是( )
A. 关于y轴对称，开口向上B. 关于y轴对称，y随x的增大而增大
C. 关于y轴对称，y随x的增大而减小D. 关于y轴对称，顶点是原点
7.将抛物线y=x2−1向左平移2个单位长度，所得新抛物线的函数解析式为( )
A. y=(x−2)2B. y=(x+2)2−1C. y=x2+2D. y=x2−2
8.等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2−6x+k=0的两个实数根，则k的值是( )
A. 8B. 9C. 8或9D. 12
9.已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④
10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=a1(x−ℎ)2+k与x轴交于点D、点E，过该函数顶点A与x轴平行的直线交抛物线y2=a2(x−ℎ)2于点B、点C，若BC=2DE，那么a1和a2需满足关系( )
A. a1= 2a2B. a1=− 2a2C. a1=−2a2D. a1=−4a2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程3x2−5x−2=0的一个根是m.则9m2−15m+2018= ______．
12.关于x的一元二次方程(k−2)x2−4x+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
13.若x1，x2方程x2−4x−2021=0的两个实数根，则代数式x12−2x1+2x2的值等于______．
14.开口方向和开口大小与y=3x2相同，顶点在(0,3)的抛物线的关系式是______．
15.如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，点P是线段AB上的一个动点(点P可与点A重合)，过点P作PR⊥BC于点R，作∠BRP的平分线交AB于点G，在线段GR上截取GD=AP，过点D作DE⊥DP交BC于点E，过点P作PF⊥PD交AC于点F，此时四边形DEFP恰好为正方形，在点P从点A开始的运动过程中，正方形DEFP面积的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程：
(1)x2+2x=0；
(2)4x2+1=−4x．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：(a2−4a2−4a+4+1a−2)÷2a2−2a，其中a是方程x2+3x−2=0的根．
18.(本小题8分)
某地2018年投入扶贫资金2000万元，并计划投入资金逐年增加，2020年投入扶贫资金2880万元，从2018年到2020年，该地投入扶贫资金的年平均增长率为多少？
19.(本小题9分)
已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
(1)这个二次函数图形的顶点坐标为______；
(2)利用上表，在答题卡上的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当−220.(本小题9分)
已知关于x的方程3x2−(a−3)x−a=0(a>0)．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
21.(本小题9分)
成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫.某工厂生产“蓉宝”大熊猫，以30元的单价对外批发进行销售．
(1)商场购进一批“蓉宝”的大熊猫，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个.商场决定尽快减少库存，商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？
(2)商城销售总利润为w，当销售单价应定为多少元，销售总利润最大？
22.(本小题12分)
阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为(x+m)2+n的形式，然后由(x+m)2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求多项式x2−4x+5的最小值．
解：x2−4x+5=x2−4x+4+1=(x−2)2+1．
因为(x−2)2≥0所以(x−2)2+1≥1，当x=2时，(x−2)2+1=1，
因此(x−2)2+1有最小值，最小值为1，即x2−4x+5的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
(1)【理解探究】
①已知代数式A=x2+10x+20，则A的最小值为______；
②将代数式−x2+6x+15化为a(x+m)2+k的形式，并求出它的最大值．
(2)【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是(3a+2)米、(2a+5)米，乙菜地的两边长分别是米5a米、(a+5)米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由；
(3)【拓展升华】
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=10cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动.设运动的时间为t，则当t的值为多少时，四边形AMNE的面积最小，值为多少？
23.(本小题12分)
如图，已知抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，B，点A的坐标为(−1,0)，与y轴交于点C(0,2)，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴正半轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)若m=3，试证明△BQM是直角三角形；
(3)已知点F(0,12)，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.C
5.C
6.D
7.B
8.B
9.B
10.D
11.2024
12.k<4且k≠2
13.2029
14.y=3x2+3
15.15
16.解：(1)x2+2x=0，
x(x+2)=0，
x1=0，x2=−2；
(2)2x2−5x+3=0，
∴b2−4ac=1，
∴x=5± 12×2，
∴x1=32,x2=1．
17.解：原式=a2−4+a−2(a−2)2÷2a2−2a
=(a+3)(a−2)(a−2)2÷2a(a−2)
=(a+3)(a−2)(a−2)2⋅a(a−2)2
=a(a+3)2
=a2+3a2，
∵a是方程x2+3x−2=0的根，
∴a2+3a−2=0，
∴a2+3a=2，
∴原式=22=1．
18.解：设从2018年到2020年，该地投入扶贫资金的年平均增长率为x，
由题意得，2000(1+x)2=2880，
解得x=0.2=20%或x=−2.2(舍去)，
所以从2018年到2020年，该地投入扶贫资金的年平均增长率为20%．
答：从2018年到2020年，该地投入扶贫资金的年平均增长率为20%．
19.(1)(−1,−4)
(2)如图所示为所画的函数图象；
(3)−4≤y<−3．
20.(1)证明：△=−a−32−4×3×(−a)=(a+3)2，
∵a>0，
∴(a+3)2>0.即△>0．
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：3x2−(a−3)x−a=0，
(3x−a)(x+1)=0，
解得x1=−1，x2=a3．
∵方程有一个根大于2，
∴a3>2．
∴a>6．
21.解：(1)设每个“蓉宝”降价x元，则销售量为(40+8x)个．
由题意得，(60−30−x)(40+8x)=2000，
整理得：x2−25x+100=0，
解得x=20或x=5，
∵商场决定尽快减少库存，
∴x=20，
∴60−x=40，
答：销售单价应定为40元；
(2)设每个“蓉宝”降价x元，
由题意得w=(60−30−x)(40+8x)
=(30−x)(40+8x)
=1200−40x+240x−8x2
=−8x2+200x+1200
=−8(x−12.5)2+2450，
∵−8<0，
∴当x=12.5时，w有最大值，最大值为2450，
∴60−x=47.5，
∴当销售单价应定为47.5元，销售总利润最大．
22.(1)①−5；
②−x2+6x+15=−(x−3)2+24，
∵(x−3)2≥0，
∴−(x−3)2≤0，
∴−(x−3)2+24≤24，
∴当x=3时，−(x−3)2+24=24，因此−(x−3)2+24有最大值，最大值为24；
(2)S甲>S乙，理由如下：
∵S甲=（3a+2）（2a+5）=6a ​2+19a+10，S乙=5a（a+5）=5a ​2+25a，
∴S甲−S乙=a2−6x+10=(a−3)2+1，
∵(a−3)2≥0，
∴(a−3)2+1>0，
∴S甲>S乙．
(3)由题意得：AM=t cm，CN=2t cm，
∴MC=(5−t)cm，
∴S△MCN=12MC⋅CN，
=12×2t⋅(5−t)
=−(t−52)2+254，
∵(t−52)2≥0，
∴−(t−52)2≤0，
∴−(t−52)2+254≤254，
∴当t=52时，△MCN的面积最大，且最大面积为254cm2；
∵S△ABC=12AC⋅BC=12×5×10=25cm2，
∴四边形AMNE的面积+△MCN的面积=25cm2，
∴当S△MCN最大时，S四边形AMNE最小，
∴t=52时，四边形AMNE的面积最小，且最小面积为25−254=754(cm2).
23.解：(1)函数与y轴交于点C(0,2)，则抛物线表达式为：y=−12x2+bx+2，
将点A坐标代入上式得：−12−b+2=0，则b=32，
故：抛物线的表达式为：y=−12x2+32x+2，
令y=0，则x=4或−1，即点B坐标为(4,0)；
(2)m=3，则点P(3,0)，
点D与点C关于x轴对称，则点D坐标为(0,−2)，
把x=3代入抛物线表达式，则y=2，即：Q(3,2)，
把点D的坐标代入一次函数表达式y=kx+b，
则：y=kx−2，
把点B坐标代入上式，解得：k=12，
则BD所在直线表达式为：y=12x−2，
则点M坐标为(3,−12)，
则：BM2=54，BQ2=5，QM2=254，即：BM2+BQ2=QM2，
故：△BQM是直角三角形；
(3)点P的坐标为(m,0)，
则点Q坐标(m,−12m2+32m+2)、点M坐标(m,12m−2)，
当QM=EF=52时，四边形DMQF是平行四边形，
则：QM=−12m2+32m+2−12m+2=52，
解得：m=3或−1，
∵点P是x轴正半轴上的一个动点，
∴m=3
答：当m=3时，四边形DMQF是平行四边形．
x
…
−3
−2
−1
0
1
…
y
…
0
−3
−4
−3
0
…