江西省“金太阳大联考”2025届高三上学期10月联考数学试题（含答案）

这是一份江西省“金太阳大联考”2025届高三上学期10月联考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U=A∪B={0,1,2,3,4,5}，A∩(∁UB)={1,3,5}，则集合B=( )
A. {1,3,5}B. {0,2,4}C. ⌀D. {0,1,2,3,4,5}
2.sin25π12−cs25π12=( )
A. 12B. 32C. −12D. − 32
3.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)−f(x−y)=2f(y)，则f(0)=( )
A. 0B. 1C. 2D. −1
4.已知x>0，y>0，且1x+2y=1，则2x+1y的最小值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.设函数f(x)=ln(x2+1)+sinx+1，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. 12B. 13C. 16D. 23
6.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ′℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后该物体的温度θ℃满足θ=θ0+(θ′−θ0)e−t4.若θ0，θ′不变，在t1min，t2min后该物体的温度分别为θ1℃，θ2℃，且θ1>θ2，则下列结论正确的是( )
A. t1>t2
B. t1C. 若θ′>θ0，则t1>t2;若θ′<θ0，则t1D. 若θ′>θ0，则t1t2
7.已知lgnm>1(m,n>0且m≠1，n≠1)，m+n=e2，则( )
A. (m−n+1)e<1B. (m−n+1)e>1
C. |m−n|e<1D. |m−n|e>1
8.在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ABC=90∘，点P在△ABC内部，且∠BPC=90∘，AP=2，记∠ABP=α，则tan2α=( )
A. 32B. 23C. 43D. 34
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知命题p:∃x∈R，x−|x|>x2;命题q:∀α∈(π2,π)，cs(π4−α)=sin(π4+α)，则( )
A. p是真命题B. ¬p是真命题C. q是真命题D. ¬q是真命题
10.已知函数f(x)=cs(x+1x)，则( )
A. f(x)为偶函数B. f(x)的最大值为cs2
C. f(x)在(1,2)上单调递减D. f(x)在(1,20)上有6个零点
11.已知函数f(x)=13x3+bx2+cx，下列结论正确的是( )
A. 若x=x0是f(x)的极小值点，则f(x)在(−∞,x0)上单调递减
B. 若x=b是f(x)的极大值点，则b<0且c<0
C. 若c=3，且f(x)的极小值大于0，则b的取值范围为(−2,− 3)
D. 若c=−3b，且f(x)在[0,3]上的值域为[0,9]，则b的取值范围为[−3,0]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ<π)的图象关于y轴对称，则φ= ．
13.已知函数fx=x2+ax,x<0−xx+1,x≥0的最小值为−1，则a= ．
14.已知函数f(x)=sin(x+φ)+1，若|f(x1)−f(x2)|=1，则|x1−x2|的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[−π4,0]上的值域．
16.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+1csA=sinB+1csB．
(1)证明：A=B．
(2)若D是BC的中点，求∠CAD的最大值．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=aex−x．
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a>0，∀x∈(0,+∞)，f(x)>e−xa−1x，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知集合A，B中的元素均为正整数，且A，B满足： ①对于任意ai，aj∈A，若ai≠aj，都有aiaj∈B; ②对于任意bm，bk∈B，若bm(1)已知集合A={1,2,4}，求B;
(2)已知集合A={2,4,8,t}(t>8)，求t;
(3)若A中有4个元素，证明：B中恰有5个元素．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+(x+a)lnx.
(1)若f(x)是增函数，求a的取值范围．
(2)若f(x)有极小值，且极小值为m，证明：m≤1.
(3)若f(x)≥0，求a的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.D
5.A
6.D
7.B
8.C
9.BC
10.AC
11.BCD
12.π2
13.2
14.π3
15.解：(1)由图可得，f(x)的最小正周期T=2×(2π3−π6)=π．
因为T=2π|ω|，且ω>0，所以ω=2，所以f(x)=sin(2x+φ)
由f(π6)=sin⁡(2×π6+φ)=0
所以π3+φ=2kπ，k∈Z，解得φ=−π3+2kπ，k∈Z.
因为|φ|<π2，所以φ=−π3．
故f(x)=sin(2x−π3).
(2)由−π4≤x≤0，得−5π6≤2x−π3≤−π3．
当2x−π3=−5π6，即x=−π4时，f(x)取得最大值，最大值为−12;
当2x−π3=−π2，即x=−π12时，f(x)取得最小值，最小值为−1．
故f(x)在[−π4,0]上的值域为[−1,−12].
16.解：(1)证明：因为sinA+1csA=sinB+1csB，所以(sinA2+csA2)2 sinA2+csA22cs2 A2−sin2 A2= sinB2+csB22cs2 B2−sin2 B2 ，
则sinA2+csA2csA2−sinA2=sinB2+csB2csB2−sinB2，
则sinA2csB2−csA2sinB2=0，即sin(A2−B2)=0．
因为A，B∈(0,π)，所以A2−B2=0，即A=B．
(2)由余弦定理可得cs∠CAD=AC2+AD2−CD22AC⋅AD=AC2+AD2−AC422AC⋅ADAC2+AD2−AC24=3AC42+AD22AC⋅AD=3AC8AD+AD2AC⩾2 3AC8AD·AD2AC= 32，
所以∠CAD≤π6，当且仅当ADAC= 32时，等号成立.
故∠CAD的最大值为π6．
17.解：(1)f′(x)=aex−1，
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)是减函数.当a>0时，y=f′(x)是增函数．
令f′(x)=0，解得x=−lna.
当x∈(−∞,−lna)时，f′(x)<0;当x∈(−lna,+∞)，f′(x)>0．
所以f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)是减函数;当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增．
(2)f(x)>e−xa−1x，即aex−e−xa>x−1x．
令函数g(x)=x−1x，则g(aex)=aex−e−xa，所以g(aex)>g(x)．
因为g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以aex>x，即a>xex．
令函数ℎ(x)=xex(x>0)，则ℎ′(x)=1−xex．
当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0;当x∈(1,+∞)，ℎ′(x)<0．
所以ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以ℎ(x)最大值=ℎ(1)=1e，a>ℎ(x)最大值=1e．
故a的取值范围为(1e,+∞).
18.解：(1)由 ①可得2，4，8都是B中的元素．
下面证明B中除2，4，8外没有其他元素：
假设B中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B中最小的元素为1，显然81不是A中的元素，不符合题意;
第二种情况，B中最小的元素为2，设B中除2，4，8外的元素为bk(bk>2)，
因为bk2是A中的元素，所以bk为4或8，而4，8也是B中的元素，所以B中除2，4，8外没有其他元素．
综上，B={2,4,8}．
(2)解：由 ①可得，8，16，32，2t，4t，8t都是B中的元素．
显然8<4t，8<2t，16<2t，
由 ②可得，4t8，2t8，2t16是A中的元素，即t2，t4，t8是A中的元素．
因为t8(3)证明：设A={a1,a2,a3,a4}，a1由 ①可得，a1a2，a2a4都是B中的元素．
显然a1a2即a4a1是A中的元素．
同理可得，a4a2，a4a3，a3a2，a3a1，a2a1，a3a4a1a2是A中的元素．
若a1=1，则a3a4a1a2=a3a4a2>a4，所以a3a4a1a2不可能是A中的元素，不符合题意．
若a1≥2，则a2a1又因为1所以A={a1,a12,a13,a14}，此时{a13,a14,a15,a16,a17}⊆B.
假设B中还有其他元素，且该元素为k，
若ka14，与A={a1,a12,a13,a14}矛盾．
若k>a13，因为ka13∈A，所以ka13=a1i，i=1，2，3，4，则k=a1i+3，i=1，2，3，4，
即k∈{a14,a15,a16,a17}，所以B中除a13，a14，a15，a16，a17外，没有其他元素.所以B={a13,a14,a15,a16,a17}，即B中恰有5个元素．
19.(1)解：f′(x)=lnx+ax+2，
令函数g(x)=lnx+ax+2，则g′(x)=x−ax2，
若a>0，则当x∈(0,a)时，g′(x)<0，当x∈(a,+∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，
g(x)min=g(a)=lna+3．
因为f(x)是增函数，所以f′(x)min≥0，即g(x)min≥0，解得a≥1e3．
若a≤0，则g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增．
因为函数y=lnx+2与函数y=−ax的图象有1个交点，
所以存在x0，使得lnx0+ax0+2=0，
即当x∈(0,x0)时，g(x)<0，当x∈(x0,+∞)时，g(x)>0，
所以f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，与题设不符．
综上，a的取值范围为[1e3,+∞).
(2)证明：由(1)可得当a≥1e3时，f(x)是增函数，不存在极小值．
当0所以f(x)在(0,a)上不存在极小值点．
因为g(1)=a+2>0，所以∃x1∈(a,1)，g(x1)=0，
所以f(x)在(a,x1)上单调递减，在(x1,+∞)上单调递增．
f(x)极小值=f(x1)当a≤0时，由(1)可得f(x)极小值=f(x0)=x0+(x0+a)lnx0，
因为a=−x0lnx0−2x0，
所以f(x)极小值=x0+(x0−x0lnx0−2x0)lnx0=−x0[lnx02+lnx0−1].
令函数ℎ(x)=−x[lnx2+lnx−1]，则ℎ′(x)=−lnx(lnx+3)，
当x∈(0,1e3)∪(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，当x∈(1e3,1)时，ℎ′(x)>0，
所以ℎ(x)在(0,1e3)，(1,+∞)上单调递减，在(1e3,1)上单调递增，
当x∈(0,1e3)时，lnx<−3，lnx2+lnx−1=lnx+122−54>0，
所以当x∈(0,1e3)时，ℎ(x)=−x[lnx2+lnx−1]<0，
因为ℎ(x)极大值=ℎ(1)=1，所以ℎ(x)≤1，
所以f(x)极小值≤1，当且仅当x0=1，a=−2时，等号成立．
综上，m≤1.
(3)解：若a>0，f(1e3)=1e3−3(1e3+a)=−2e3−3a<0，不符合题意．
若a≤0，要使得f(x)≥0，只需要f(x)极小值≥0，即−x0[lnx02+lnx0−1]≥0，
所以lnx02+lnx0−1≤0，解得−1− 52≤lnx0≤−1+ 52，
即e−1− 52≤x0≤e−1+ 52，
a=−x0lnx0−2x0，
令函数u(x)=−xlnx−2x，则u′(x)=−lnx−3，
当x∈(1e3,+∞)时，u′(x)<0，u(x)单调递减．
因为e−1− 52>1e3，
所以u(x)在[e−1− 52,e−1+ 52]上单调递减．
又u(e−1− 52)=−3+ 52e−1− 52，u(e−1+ 52)=−3+ 52e−1+ 52，
所以u(x)在[e−1− 52,e−1+ 52]上的值域为[−3+ 52e−1+ 52,−3+ 52e−1− 52].
故a的取值范围为[−3+ 52e−1+ 52,−3+ 52e−1− 52].