2024-2025学年江苏省无锡市太湖高级中学高二（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市太湖高级中学高二（上）段考数学试卷（10月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z=1+2i，则共轭复数z−的虚部为( )
A. 2iB. −1C. −2D. i
2.直线l1经过A(0,0)，B( 3,1)两点，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为( )
A. 33B. 2 33C. 1D. 3
3.若直线l的方向向量a=(1,2,−1)，平面α的一个法向量m=(−2,−4,k)，若l⊥α，则实数k=( )
A. 2B. −10C. −2D. 10
4.若异面直线l1，l2的方向向量分别是a=(0,−2,−1)，b=(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A. 25B. −25C. −2 55D. 2 55
5.如图，在三棱锥P−ABC中，点D，E，F分别是AB，PA，CD的中点，设PA=a，PB=b，PC=c，则EF=( )
A. 14a−14b−12c
B. 14a−14b+12c
C. 14a+14b−12c
D. −14a+14b+12c
6.设A(−2,3)，B(1,2)，若点P(x,y)在线段AB上，则y+1x的取值范围是( )
A. [−2,3]B. (−2,3)
C. (−∞,−2]∪[3,+∞)D. (−∞,−2)∪(3,+∞)
7.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，BC=4，E为AD中点，则三棱锥A1−CDE外接球的表面积为( )
A. 8π
B. 24π
C. 32π
D. 44π
8.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，点H在棱AA1上，且HA1=13，在侧面BCC1B1内作边长为13的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P运动时，HP的最小值是( )
A. 3 34
B. 134
C. 2 33
D. 133
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于复数z，下面是真命题的是( )
A. 若1z∈R，则z∈RB. 若z2∈R，则z∈R
C. 若z2=|z|2，则z∈RD. 若z∈R，则z−∈R
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 已知向量a=(9,4,−4),b=(1,2,2)，则a在b上的投影向量为(1,2,2)
B. 直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[π4,3π4]
C. 设{a,b,c}是空间中的一组基底，则{a−b,b+c,a+c}也是空间的一组基底
D. 已知A，B，C三点不共线对于空间任意一点O，若OP=25OA+15OB+25OC，则P，A，B，C四点共面
11.正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，P为空间中一点.下列论述正确的是( )
A. 若DP=λDC1，则△AB1P的面积为定值
B. 若BP=λBC+BB1(λ∈[0,1])，三棱锥P−A1BC的体积为定值
C. 若DP=λDD1，则平面AB1P⊥平面A1BCD1
D. 若BP=λBC+12BB1(λ∈[0,1])，有且仅有一个点P，使得A1C⊥平面AB1P
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线l的倾斜角为120°，则该直线的一个方向向量为______．
13.在一平面直角坐标系中，已知A(−1,2)，B(2,−4)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为 ．
14.正四面体ABCD棱长为6，AP=xAB+yAC+zAD，且x+y+z=1，以A为球心且半径为1的球面上有
两点M，N，MA=AN，则PM2+PN2的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知复数z满足z+z−=2，z−z−=4i．
(1)求|3+z−|；
(2)设复数zz−，z+2z−，10z在复平面内对应的点分别为A，B，C，求cs.
16.(本小题15分)
已知点A(0,1,−1)，B(2,2,1)，O为坐标原点，向量a=OA,b=OB，计算：
(1)求向量b同向的单位向量b0；
(2)若(ka+b)⊥(3a−b)，求k的值；
(3)求点O到直线AB的距离．
17.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c，
(1)用a,b,c表示BM；
(2)求cs〈AC,AC1〉．
18.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD为等边三角形，边长为2，△ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AC=1，∠DAC=90°，平面PAD⊥平面ABCD．
(1)证明：AC⊥平面PAD；
(2)求点A到平面PBC的距离；
(3)棱PD上是否存在一点E，使得AE//平面PBC？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且AB=AC=1,AD= 2．
(1)若PA=1，求直线MN与平面PBC所成角的余弦值；
(2)若直线AC与平面PBC所成角的正弦值的取值范围为(0, 23]，求平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值的取值范围．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.A
5.D
6.C
7.D
8.D
9.ACD
10.AD
11.ABC
12.(1,− 3)(答案不唯一)
13. 21
14.50
15.解：(1)复数z满足z+z−=2，z−z−=4i．
所以z=1+2i，
所以z−=1−2i，
故|3+z−|=|4−2i|= 16+4=2 5；
(2)由(1)得zz−=(1+2i)(1−2i)=1−4i2=5，
则A(5,0)，
z+2z−=1+2i+2−4i=3−2i，则B(3,−2)，
10z=101+2i=10(1−2i)5=2−4i，则C(2,−4)，
所以AB=(−2,−2)，BC=(−1,−2)，．
故cs=AB⋅BC|AB||BC|=62 2× 5=3 1010．
16.解：(1)因为b=OB=(2,2,1)，|b|= 4+4+1=3，
所以与b所同向的单位向量为b0=13(2,2,1)=(23,23,13)．
(2)因为ka+b=k(0,1,−1)+(2,2,1)=(2,k+2,1−k)，3a−b=3(0,1,−1)−(2,2,1)=(−2,1,−4)，
又(ka+b)⊥(3a−b)，所以(ka+b)⋅(3a−b)=0，
即(2,k+2,1−k)⋅(−2,1,−4)=0⇒−4+k+2−4(1−k)=0⇒k=2．
(3)因为AB=(2,2,1)−(0,1,−1)=(2,1,2)，OA=(0,1,−1)，
向量OA在AB上的射影的绝对值为：|OA⋅AB||AB|=|0+2−1| 4+4+1=13，
设点O到直线AB的距离为d，则d2=|OA|2−19=2−19=179，所以d= 173．
17.解：(1)在△A1MB中，BM=BA1+A1M=c−a+12(a+b)=−12a+12b+c；
(2)∵|a|=|b|=|c|=1，===60°，
∴a⋅b=a⋅c=b⋅c=12，
∴|AC1|2=(AC1)2=(a+b+c)2
=(a)2+(b)2+(c)2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c
=1+1+1+2×12+2×12+2×12=6，得|AC1|= 6，
|AC|2=(AC)2=(a+b)2=(a)2+(b)2+2a⋅b=3，得|AC|= 3，
AC⋅AC1=(a+b)⋅(a+b+c)=(a)2+(b)2+2a⋅b+a⋅c+b⋅c=4，
∴cs〈AC,AC1〉=AC⋅AC1|AC|⋅|AC1|=(a+b)⋅(a+b+c) 3⋅ 6=2 23．
18.解：(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，AC⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面PAD；
(2)取AD中点F，连接PF，CF，

∵△PAD为等边三角形，∴PF⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PF⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥PF，
又根据题意可知△AFC为等腰直角三角形，且AF=AC=1，
又△ABC也为等腰直角三角形，
∴∠ACF=∠CAB=∠ACB=45°，
∴FC⊥BC，且AB/​/FC，又BC⊥PF，且FC∩PF=F，
∴BC⊥平面PFC，又BC⊂平面PBC，
∴平面PFC⊥平面PBC，过F作FH⊥PC于点H，
则FH⊥平面PBC，又易知PF= 3，FC= 2，∴PC= 5，
∴FH=PF×FCPC= 3× 2 5= 305，
即点F到平面PBC的距离为 305，
分别延长DA，BC交于点Q，则易知AB为△QFC的中位线，
∴点A到平面PBC的距离为点F到平面PBC的距离的一半，
∴点A到平面PBC的距离为 3010；
(3)如图，过A作AM/​/BC交CD于M，过M作ME/​/PC交PD于E，连接AE，

∵AM/​/BC，AM⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AM/​/平面PBC，
又ME/​/PC，ME⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，
∴ME/​/平面PBC，又AM⊂平面AME，ME⊂平面AME，AM∩ME=M，
∴平面AME//平面PBC，
而AE⊂平面AME，∴AE/​/平面PBC，
此时PEPD=CMCD，
∵AM/​/BC，∴∠MAC=∠ACB=45°，又∠CAD=90°，
∴AM为∠CAD的平分线，∴CMMD=CAAD=12，
∴PEPD=CMCD=13，
∴PD上存在一点E，当PEPD=13时，AE/​/平面PBC．
19.解：(1)连接PM，AM，如图所示：

由M为BC的中点，可得AM⊥BC，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BC，
则BC⊥平面APM，而BC在平面PBC内，可得平面PBC⊥平面AMP，
所以∠PMN为直线MN与平面PBC所成角．
由AB=AC=1，AD= 2，可得AM= 1−12= 22，PM= 1+12= 62，
MN= 12+14= 32，PN=12，
由余弦定理可得cs∠PMN=64+34−142× 62× 32=2 23，
所以直线MN与平面PBC所成角的余弦值为2 23；
(2)解：因为AB=AC=1，点M分别为BC的中点，所以AM⊥BC，
又PA⊥平面ABCD，所以PM⊥BC，
所以∠PMA即为平面PBC与平面ABCD的夹角，记为φ，
又AM∩PM=M，所以BC⊥平面PAM，则平面PBC⊥平面PAM，
过点A在平面PAM内作AH⊥PM于H，则AH⊥平面PBC．
连接CH，于是∠ACH就是直线AC与平面PBC所成的角α．
在Rt△AHM中，AH= 22sin∠AMH，
又在Rt△AHC中，AH=sinα，
所以 22sin∠AMH=sinα，
由直线AC与平面PBC所成角的正弦值的取值范围为(0, 23)，可得0