2024-2025学年江苏省无锡市天一中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

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这是一份2024-2025学年江苏省无锡市天一中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−23}，则A∩B=( )
A. (−2,−1)B. (−2,1)C. (1,5)D. (−1,5)
2.不等式1+x1−x≥0的解集为( )
A. {x|x≥1或≤−1}B. {x|−1≤x≤1}
C. {x|x≥1或x<−1}D. {x|−1≤x<1}
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)上为单调函数，则满足f(x)=f(x+2x+3)的所有实数x的和为( )
A. −6B. 6C. 8D. −8
4.已知函数f(x)=2xcsx，则函数f(x)的部分图象可以为( )
A. B.
C. D.
5.等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金△ABC中，BCAC= 5−12.由上面可得sin126°=( )
A. 1−2 54
B. 3+ 58
C. 1+ 54
D. 4+ 58
6.设△ABC的三边长为BC=a，CA=b，AB=c，若tanA2=ab+c，tanB2=ba+c，则△ABC是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
7.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中．AA1=1，AB=BC= 3，cs∠ABC=13，P是A1B上的一动点，则AP+PC1的最小值为( )
A. 5
B. 7
C. 1+ 3
D. 3
8.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)国家.根据规划，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD(如图)，且两切线斜率之积等于−916，则椭圆的离心率为( )
A. 34B. 74C. 916D. 32
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间四点O，A，B，C中，若{OA,OB,OC}是空间的一个基底，则下列说法正确的是( )
A. O，A，B，C四点不共线
B. O，A，B，C四点共面，但不共线
C. O，A，B，C四点不共面
D. O，A，B，C四点中任意三点不共线
10.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A1(−a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0,b)，(0,−b)，且四边形A1PA2Q的面积为2 2，四边形A1PA2Q的内切圆的周长为2 63π，则双曲线C的方程为( )
A. x22−y2=1B. x2−y22=1C. x24−y22=1D. x22−y24=1
11.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，点M是△ABC内的一点，若PM与平面PAB，PAC，PBC所成的角分别是α，β，γ，△PAB，△PAC，△PBC，△ABC的面积分别为S△PAB，S△PAC，S△PBC，S△ABC，则以下说法正确的是( )
A. sin2α+sin2β+sin2γ=1B. cs2α+cs2β+cs2γ=1
C. S△PAB +S△PAC +S△PBC >S△ABC D. △ABC是锐角三角形
12.设e1，e2为单位向量，满足|2e1−e2|≤ 2，a=e1+e2，b=3e1+e2，则a，b的夹角为θ，则cs2θ的可能取值为( )
A. 1920B. 2029C. 2829D. 1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为______．
14.若复数z满足|z−3+2i|=1，则|z−6−2i|的最小值为______．
15.已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x−，方差为s2.若3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3xn+1的平均数比方差大4，则s2−x−2的最大值为______．
16.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，O为△ABC的外心，且有AB+BC=2 33AC，sinC(csA− 3)+csCsinA=0，若AO=xAB+yAC，x，y∈R，则x−2y= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知圆C的方程：x2+y2−2x−4y+m=0．
(Ⅰ)求m的取值范围；
(Ⅱ)当圆C与圆D：(x+3)2+(y+1)2=16相外切时，求直线l：x+2y−4=0被圆C所截得的弦MN的长．
18.(本小题12分)
已知向量a=(1,−2)，|b|=2 5．
(1)若b=λa，其中λ<0，求b的坐标；
(2)若a与b的夹角为2π3，求(a−b)⋅(2a+b)的值．
19.(本小题12分)
已知等差数列{an}，a1=4，前n项和为Sn，各项为正数的等比数列{bn}满足：b1=12，2b5=b3−b4，S9b4=9．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)在空间直角坐标系中，O为坐标原点，存在一系列的点Pn(an+2n,cn,−1)，Qn(bn,−1,1)，若OPn⊥OQn，求数列{cn}的前n项和Tn．
20.(本小题12分)
“绿水青山，就是金山银山.”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同.设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元．
(Ⅰ)设第n年的投入为an万元，旅游业收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
(Ⅱ)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)
21.(本小题12分)
已知三棱锥M−ABC中，MA=MB=MC=AC=2 2，AB=BC=2，O为AC的中点，点N在校BC上，且BN=23BC．
(1)证明：BO⊥平面AMC；
(2)求二面角N−AM−C的正弦值．
22.(本小题12分)
已知圆O：x2+y2=4和定点A(1,0)，平面上一动点P满足以线段AP为直径的圆内切于圆O，动点P的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线l：y=k(x−4)(k≠0)与曲线C交于不同两点M，N，直线AM，AN分别交y轴于P，Q两点．求证：|AP|=|AQ|．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.A
5.C
6.C
7.B
8.B
9.ACD
10.AB
11.ACD
12.CD
13.1415
14.4
15.−1
16.−3
17.解：(Ⅰ)圆C的方程可化为(x−1)2+(y−2)2=5−m …(2分)
令5−m>0，得m<5.…(4分)
(Ⅱ)圆C：(x−1)2+(y−2)2=5−m，圆心C(1,2)，半径r= 5−m
圆D：(x+3)2+(y+1)2=16，圆心D(−3,−1)，半径R=4…(6分)
∵圆C与圆D相外切
∴ (1+3)2+(2+1)2= 5−m+4，解得m=4 …(8分)
圆心C(1,2)到直线l：x+2y−4=0的距离为d=|1+4−4| 1+4= 55 …(10分)
∴|MN|=2 1−15=4 55 …(12分)
18.解：(1)根据题意，若b=λa，则b=λa=(λ,−2λ)，
又由|b|=2 5，则5λ2=20，解可得λ=±2，
又由λ<0，则λ=−2，
则b=(−2,4)；
(2)根据题意，向量a=(1,−2)，则|a|= 5，
又由|b|=2 5，a与b的夹角为2π3，则a⋅b= 5×2 5×cs2π3=−5，
(a−b)⋅(2a+b)=2a2−b2−a⋅b=10−20+5=−5．
19.解：(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
∵2b5=b3−b4，∴2q2=1−q，得q=12，q=−1(舍)，又b1=12，∴bn=b1qn−1=12n．
∵S9b4=9，∴9a5×124=9，解得a5=16，
又a1=4，∴d=a5−a15−1=124=3，
∴an=4+(n−1)×3=3n+1．
(2)由(1)得an=3n+1，bn=12n．
∵OPn⊥OQn，∴anbn+2nbn−cn−1=0，∴cn=3n+12n．
∴Tn=42+722+1023+…+3n+12n，①
①式等号两边同乘以12，得Tn2=422+723+1024+…+3n+12n+1，②
①−②得Tn2=42+322+323+…+32n−3n+12n+1=12+3(12+122+123+…+12n)−3n+12n+1=12+3×12(1−12n)1−12−3n+12n+1=72−3n+72n+1．
∴Tn=7−3n+72n．
20.解：(Ⅰ)由题意知{an}，{bn}均为等比数列，
数列{an}的首项为1200，公比为1−20%=45，
所以an=1200⋅(45)n−1，
设数列{bn}的公比为q，显然q >0，q≠1.
所以三年内旅游业总收入为400(1−q3)1−q=1525，即1+q+q2=6116，
所以16q2+16q−45=0，解得q=54或q=−94(舍)
所以bn=400⋅(54)n−1．
(Ⅱ)设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入．
则经过n 年，总投入为1200[1−(45)n]1−45=6000[1−(45)n]，
经过n 年，旅游业总收入为400[1−(54)n]1−54=1600[(54)n−1]，
所以1600[(54)n−1]>6000[1−(45)n]，化简得15⋅(45)n+4⋅(54)n−19>0，
设 t=(45)n(00，
解此不等式，得t>1(舍去)或t<415，
即(45)n<415，解得n>lg45415=2lg2−(lg3+lg5)2lg2−lg5=3lg2−lg3−13lg2−1≈5.9，
由此得n≥6．
所以至少经过6年，旅游业的总收入才能超过总投入．
21.解：( 1)如图所示：
连接OM，AC，OM相交于O，
在△ABC中：AB=BC=2,AC=2 2，则∠ABC=90°,BO= 2，OB⊥AC．
在△MAC中：MA=MC=AC=2 2，O为AC的中点，则OM⊥AC，且OM= 6．
在△MOB中：BO= 2,OM= 6,MB=2 2，满足：BO2+OM2=MB2
根据勾股定理逆定理得到OB⊥OM，
故OB⊥平面AMC；
(2)因为OB，OC，OM两两垂直，建立空间直角坐标系O−xyz如图所示．
因为MA=MB=MC=AC=2 2，AB=BC=2
则A(0,− 2,0),B( 2,0,0),C(0, 2,0),M(0,0, 6)，
由BN=23BC所以，N( 23,2 23,0)
设平面MAN的法向量为m=(x,y,z)，则AN⋅n=( 23,5 23,0)⋅(x,y,z)= 23x+5 23y=0,AM⋅n=(0, 2, 6)⋅(x,y,z)= 2y+ 6z=0
令y= 3，得m=(−5 3, 3,−1)，
因为BO⊥平面AMC，所以OB=( 2,0,0)为平面AMC的法向量，
所以m=(−5 3, 3,−1)与OB=( 2,0,0)所成角的余弦为cs=−5 6 79 2=−5 3 79．
所以二面角的正弦值为|sin|= 1−(−5 3 79)2=2 79=2 7979．
22.解：(1)设以线段AP为直径的圆的圆心为C，取A′(−1,0)．
依题意，圆C内切于圆O，设切点为D，则O，C，D三点共线，
因为O为AA′的中点，C为AP中点，
所以|A′P|=2|OC|．
所以|PA′|+|PA|=2OC+2AC=2OC+2CD=2OD=4>|AA′|=2，
所以动点P的轨迹是以A，A′为焦点，长轴长为4的椭圆，
设其方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
则2a=4，2c=2，
所以a=2，c=1，
所以b2=a2−c2=3，
所以动点P的轨迹方程为x24+y23=1；
(2)证明：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由y=k(x−4)3x2+4y2=12，
得(3+4k2)x2−32k2x+64k2−12=0，
依题意△=(−32k2)2−4(3+4k2)(64k2−12)>0，即0x1+x2=32k23+4k2，x1x2=64k2−123+4k2，
为kMA+kNA=y1x1−1+y2x2−1=k(x1−4)x1−1+k(x2−4)x2−1
=k[x1x2−5(x1+x2)+8](x1−1)(x2−1)
=k[2⋅(64k2−123+4k2)−5⋅(32k23+4k2)+8](x1−1)(x2−1)=0，
所以直线MP倾斜角与直线NQ倾斜角互补，即∠OAP=∠OAQ．
因为OA⊥PQ，所以|AP|=|AQ|．