2024-2025学年安徽省宿州市埇桥区宿城一中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省宿州市埇桥区宿城一中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. ax2+bx+c=0 B. x2=0 C. x2+1x=1 D. (x−1)2+1=x2
2.下列命题中，正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3.关于x的一元二次方程x2+bx−10=0的一个根为2，则b的值为( )
A. −3B. 2C. 3D. 7
4.如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，AC=16，BD=12，则菱形的面积为( )
A. 48
B. 96
C. 24
D. 6
5.关于x的一元二次方程2x2+3kx−1=0根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 只有一个实数根
6.如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥OB于点E，当E为OB中点时，则AC的长为( )
A. 2 3B. 4C. 4 3D. 8
7.如图，正方形OMNP的顶点O与正方形ABCD的对角线交点O重合，正方形ABCD和正方形OMNP的边长都是2，则图中重叠部分的面积是( )
A. 1
B. 2
C. 12
D. 14
8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是( )
A. 23(1−x)2=18.63B. 18.63(1+x)2=23
C. 18.63(1−x)2=23D. 23(1−2x)=18.63
9.用配方法解一元二次方程x2−4x−3=0，下列配方正确的是( )
A. (x+2)2=2B. (x−2)2=7C. (x+2)2=7D. (x−2)2=1
10.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是( )
A. 2.5
B. 5
C. 32 2
D. 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.一元二次方程(x−1)2=x−1的根为______．
12.如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，E，F为垂足，AB=6，BC=8，则PE+PF的值为______．
13.已知a，b是一元二次方程x2−4x−2=0的两个实数根，则ab+a+b的值为______．
14.如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点F运动时，△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)的变化关系图象如图2．

(1)BD= ______；
(2)a的值是______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
解方程：x2−3x−10=0．
16.(本小题8分)
已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：四边形AECF是菱形
17.(本小题8分)
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.问：当梯子的顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？
18.(本小题8分)
如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE//AC，CE//BD，连接OE．
求证：OE=BC．
19.(本小题10分)
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
20.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
(1)求证：四边形EGFH是菱形；
(2)若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．
21.(本小题12分)
社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知AD=52m，AB=28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积为640m2.求道路的宽是多少米？
22.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
(1)求证：AE=DF；
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
23.(本小题14分)
【问题情境】
(1)已知正方形ABCD，点E在CD的延长线上，以CE为一边构造正方形CEFG，如图1所示，则BE和DG的数量关系为______，位置关系为______．
【继续探究】
(2)若正方形ABCD的边长为4，点E是AD边上的一个动点，以CE为一边在CE的右侧作正方形CEFG，如图2所示．
①请判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接BG，若AE=1，求线段BG长．
参考答案
1..B
2..B
3..C
4..B
5..A
6..D
7..A
8..A
9..B
10..B
，x2=2

13..2
258cm
15..解：(x−5)(x+2)=0，
x−5=0，x+2=0，
x1=5，x2=−2．
16..证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，
∵BE=DF，
∴DO−DF=BO−BE，
∴FO=EO，且AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．
17..解：未滑动前梯子底端距墙的水平距离为 102−82=6，
设梯子顶端向下滑动x m，则梯子底端也滑动x m，
此时梯子的顶端距地面的垂直距离为(8−x)m，梯子的底端距墙面的垂直距离为(6+x)m，
可得方程：(8−x)2+(6+x)2=102，
解得x1=2，x2=0(舍去)，
∴当梯子的顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等．
18..证明：∵DE/​/AC，CE/​/BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴DE=OC，
∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，
∴BC= OB2+OC2= OD2+DE2=OE
19..解：设衬衫的单价降了x元．
根据题意，得
(20+2x)(40−x)=1250，
解得：x1=x2=15，
答：衬衫的单价降了15元．
20..(1)证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG=12CD，HE=12CD，FH=12AB，GE=12AB．
∵AB=CD，
∴FG=FH=HE=EG．
∴四边形EGFH是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，
∴GF/​/DC，HF/​/AB．
∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．
∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．
∴∠GFH=90°．
∴菱形EGFH是正方形．
∵AB=1，
∴EG=12AB=12．
∴正方形EGFH的面积=(12)2=14．
21..解：设道路的宽为x米，根据题意结合平移的性质可得：
(52−2x)(28−2x)=640，
4x2−160x+816=0，
x2−40x+204=0，
(x−34)(x−6)=0，
解得：x=34(舍去)或x=6，
答：道路的宽为6米．
22..解：(1)证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF；
(2)能；
理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE/​/DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵∠C=30°，AC=10，
∴AB=5，BC=5 3
∴AD=AC−DC=10−2t，
若使△DEF能够成为等边三角形，
则平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD，
∴t=10−2t，
∴t=103；
即当t=103时，△DEF为等边三角形；
(3)当t=25或4时，△DEF为直角三角形；
理由如下：
①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE.即10−2t=2t，
∴t=25；
②∠DEF=90°时，由(2)知EF/​/AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°．
∵∠A=90°−∠C=60°，
∴AD=AE⋅cs60°．
即10−2t=12t，
∴t=4；
③∠EFD=90°时，此种情况不存在；
综上所述，当t=25或4时，△DEF为直角三角形．
DG⊥BE