2024-2025学年北京市顺义区仁和中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市顺义区仁和中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的各组线段中，是成比例线段的是( )
A. 1cm，2cm，3cm，4cmB. 1cm，2cm，3cm，6cm
C. 2cm，4cm，8cm，8cmD. 3cm，4cm，5cm，10cm
3.如图，直线l1//l2//l3，直线l4，l5被直线l1，l2，l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB=3，BC=4.5，DE=2，则EF的长是( )
A. 2.5
B. 3
C. 3.5
D. 4
4.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE//BC，EF//AB.若AD=2BD，则CFBF的值为( )
A. 12B. 13C. 14D. 23
5.如图，点D是△ABC的边AB上的一点，连接DC，则下列条件中不能判定△ABC∽△ACD的是( )
A. ∠B=∠ACD
B. ∠ADC=∠ACB
C. ACCD=ABBC
D. ACAD=ABAC
6.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为( )
A. 2：5B. 3：5C. 9：25D. 4：25
7.下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是( )
A. B. C. D.
8.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是( )cm．
A. 92B. 6C. 163D. 8
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.已知2x=3y，那么xy= ______．
10.已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为______．
11.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，若线段AB的长10cm，则线段AC的长为______．
12.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条边DE=0.4m，EF=0.3m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为______．
13.如图，在△ABC中，AB=6，CA=4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为______时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
14.图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB/​/CD，根据图2中的数据可得x的值为______．
15.如图，小明借助太阳光线测量树高.在早上8时小明测得树的影长为2m，下午3时
又测得该树的影长为8m，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为 m.
16.如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE=13AD，CE的延长线交AB于点F，
若AF=1.2，则AB=______．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO=∠C．
求证：△AOB∽△DOC．
18.(本小题5分)
线段a、b、c，且a2=b3=c4．
(1)求a+bb的值；
(2)如果线段a、b、c满足a+b+c=27，求a+b−c的值．
19.(本小题5分)
如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有△ABC和△DEF，求证：△ABC∽△DEF．
20.(本小题5分)
如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B，AC=6，AD=4.求AB的长．
21.(本小题5分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高．
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)若AD=3，BD=2，求CD的长．
22.(本小题5分)
为了测量水平地面上一栋建筑物AB的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：先在水平地面上放置一面平面镜，并在镜面上做标记点C，后退至点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜面上的标记点C重合，法线是FC，小军的眼睛与地面距离DE是1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求建筑物AB的高度．
23.(本小题6分)
如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB=8，BM=6，求AE的长．
24.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=8.在BC的延长线上取一点B，使CE=13BC，连接AE，AE与CD交于点F．
(1)求证：△ADF∽△ECF；
(2)求DF的长．
25.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，CA=CD，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E．
(1)求证：△ABC∽△DBE；
(2)如果BC=5，BE=3，求AC的长．
26.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB=∠A．
(1)求证：△BDF∽△BCD；
(2)如果BD=3 5，BC=9，求BF的值．
27.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6cm，OB=8cm.点P从点B开始沿BA边向终点A以1cm/s的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1cm/s的速度移动.有一点到达终点，另一点也停止运动.若P，Q同时出发，运动时间为t(s)．
(1)用含t的代数式分别表示线段AQ和AP的长；
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
28.(本小题7分)
如图，在等边△ABC中，作∠ACD=∠ABD=45°，边CD、BD交于点D，连接AD．
(1)请直接写出∠CDB的度数；
(2)求∠ADC的度数；
(3)用等式表示线段AD、BD、CD三者之间的数量关系，并证明．
参考答案
1..B
2..B
3..B
4..A
5..C
6..C
7..D
8..C


11..(5 5−5)cm

13..3或43

15..4
16..6
17..证明：∵AC，BD相交于的点O，
∴∠AOB=∠DOC，
又∵∠ABO=∠C，
∴△AOB∽△DOC．
18..解：(1)设a2=b3=c4=t．
∴a=2t，b=3t，
∴a+bb=2t+3t3t=53．
(2)设a2=b3=c4=t，
∴a=2t，b=3t，c=4t．
∵a+b+c=27，
∴2t+3t+4t=27，解得t=3，
∴a+b−c=2t+3t−4t=t=3．
19..解：根据网格可知：
△ABC三边的长分别为：AB= 12+12= 2，BC=2，AC= 32+12= 10，
△DEF三边的长分别为：DF= 22+22=2 2，DE=4，EF= 22+62=2 10，
∵ABDF=BCDE= 102 10=12，
∴△ABC∽△DEF．
20..解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ACAB=ADAC，
∵AC=6，AD=4，
∴6AB=46，
∴AB=9．
21..(1)证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD．
(2)解：∵△ACD∽△CBD，
∴ADCD=CDBD，
∴CD2=AD⋅BD，
∵AD=3，BD=2，
∴CD2=6，
∵CD>0，
∴CD= 6．
22..解：根据题意，易得∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，
则△ABC∽△EDC，
所以ABED=BCDC，即AB1.65=603，
解得：AB=33，
答：建筑物AB的高度为33m．
23..(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD//BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
(2)解：∵四边形ABCD是正方形，AB=8，BM=6，
∴∠B=90°，AD=AB=8，
∴AM= AB2+BM2=10，
∵F是AM的中点，
∴AF=12AM=5，
∵△ABM∽△EFA，
∴BMFA=MAAE，
即65=10AE，
∴AE=253．
24..(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，即AD//BE，
∴∠DAF=∠CEF，∠ADF=∠ECF，
∴△ADF∽△ECF；
(2)解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD=8，
∴CE=13AD，即ADCE=3．
∵△ADF∽△ECF，
∴ADCE=DFCF，即DFCF=3．
∵CD=DF+CF，
∴DF=34CD=6．
25..(1)证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CD，
∴∠ACB=∠E=90，
∴CA=CD，
∵∠A=∠CDA，
∵∠BDE=∠CDA，
∴∠A=∠BDE，
∴△ABC∽△DBE．
(2)解：∠E=90°，BC=5，BE=3，
∴CE= BC2−BE2= 52−32=4，
∴DE=4−CD=4−AC，
∵△ABC∽△DBE，
∴=，
∴=，
∴AC=，
∴AC的长是．
26..(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠EDB=∠A，
∴∠C=∠EDB，
又∵∠DBC=∠FBD，
∴△BDF∽△BCD；
(2)解：∵△BDF∽△BCD，
∴BDBC=BFBD，
∵BD=3 5，BC=9，
∴BF=BD2BC=(3 5)29=5．
27..解：(1)∵OA=6cm，OB=8cm，
∴AB= AO2+BO2= 62+82=10(cm)，
∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
∴AQ=t cm，AP=(10−t)cm；
(2)①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，
∴APAO=AQAB，
即10−t6=t10，
解得t=254>6，舍去；
②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，
∴AQAO=APAB，
即t6=10−t10，
解得t=154，
综上所述，t=154时，△APQ与△AOB相似．
28..解：(1)如图1，设AB交CD于点O．

∵∠DBO=∠ACO，∠BOD=∠AOC，
∴∠BDO=∠OAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠CDB=60°．
(2)∵∠DOB=∠AOC，∠DBO=∠ACO，
∴△DBO∽△ACO，
∴DOAO=OBOC，
∴DOOB=AOOC，
∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△COB，
∴∠ADO=∠ABC=60°．
即∠ADC=60°．
(3)结论：CD=BD+AD.理由如下：
在DC上截取DE=DB，连接BE，如图2，

∵DB=DE，∠BDE=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠DBE=60°，BD=BE，
∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
∵BD=BE，BA=BC，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴AD=EC，
∴CD=DE+EC=BD+AD．