2024-2025学年广东省佛山市南海区九年级（上）第一次调研数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省佛山市南海区九年级（上）第一次调研数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.方程3x2−2x−6=0，一次项系数为( )
A. −2B. −2xC. −6D. 6
2.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直D. 对角线互相垂直且相等
3.下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是( )
A. ∠A=∠CB. ∠A=∠BC. AC=BDD. AB⊥BC
4.一元二次方程x2−2x−5=0的左边配成完全平方后所得方程为( )
A. (x+1)2=6B. (x−1)2=6C. (x+2)2=9D. (x−2)2=9
5.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是( )
A. 36.如图，在菱形ABCD中，连接BD，若∠A=60°，BD=2，则菱形ABCD的面积为( )
A. 4B. 6C. 2 3D. 4 3
7.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB=6，BC=9，折痕为EF，则FC的长为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 92
8.如图，在菱形ABCD中，AC=16，BD=12，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EF⊥OC于点G，连接FG，则FG的最小值为( )
A. 4 B. 4.8
C. 5 D. 6
9.等腰三角形的底和腰是方程x2−7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是( )
A. 11B. 10C. 11或10D. 不能确定
10.随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2256张照片，若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为( )
A. x(x−1)=2256B. x(x+1)=2256
C. 2x(x−1)=2256D. 12x(x−1)=2256
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程(x+1)(x−2)=−6，化成一般形式是______．
12.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB=10，则CD=______．
13.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围为______．
14.如图，正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3、A4B4C4D4的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按如图所示摆放，点A2，A3，A4分别位于正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3的对角线的交点，则重叠部分的阴影部分的面积之和是______．
15.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A的坐标为(1,3)，点B为第二象限的点，则点B的坐标为______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
解方程：
(1)2(x−3)=3x(x−3)．
(2)2x2+3x−5=0．
17.(本小题7分)
如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了)，连接EF.判断四边形ABEF的形状，并说明理由：
18.(本小题7分)
如图，在矩形ABCD中，AB>BC，AC是对角线．
(1)尺规作图：作线段AC的垂直平分线EF，分别交AC，AB，CD于点O、E、F(不写作法，2B铅笔作图，保留清晰、规范的作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，求证：BE=DF．
19.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程x2−mx−2=0
(1)若x=−1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
(2)证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．
20.(本小题9分)
2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展.某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
(2)若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？
21.(本小题13分)
综合与探究：
如图，直线l1：y=34x与直线l2交于点A(4,m)，直线l2与x轴交于点B(8,0)，点C从点O出发沿OB向终点B运动，速度为每秒1个单位，同时点D从点B出发以同样的速度沿BO向终点O运动，作CM⊥x轴，交折线OA−AB于点M，作DN⊥x轴，交折线BA−AO于点N，设运动时间为t．
(1)求直线l2的表达式；
(2)在点C，点D运动过程中．
①当点M，N分别在OA，AB上时，求证四边形CMND是矩形．
②在点C，点D的整个运动过程中，当四边形CMND是正方形时，请你直接写出t的值．
(3)点P是平面内一点，在点C的运动过程中，问是否存在以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
22.(本小题14分)
定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”.如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形
问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB、AC为边长，分别向外侧正方形ABDE和正方形ACFG，连接BF、EG、GC.求证：四边形BCGE是“中方四边形”：
性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条站论：① ______；② ______拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
(1)试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．
(2)若AB+CD的最小值是4，则BD的长度为______.(不需要解答过程)
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.B
5.C
6.C
7.A
8.B
9.C
10.A
11.x2−x+4=0
12.5
13.m>94
14.14
15.(−2,4)
16.解：(1)2(x−3)=3x(x−3)，
3x(x−3)−2(x−3)=0，
(3x−2)(x−3)=0，
3x−2=0或x−3=0，
所以x1=23，x2=3；
(2)2x2+3x−5=0，
(x−1)(2x+5)=0，
x−1=0或2x+5=0，
所以x1=1，x2=−52．
17.解：四边形ABEF为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
根据作图可知AB=AF，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴AF=BE，
∵AF//BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF为菱形．
18.(1)解：图形如图所示：

(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠FCO=∠EAO，
∵OC=OA，∠FOC=∠EOA，
∴△COF≌△AOE(ASA)，
∴CF=AE，
∴CD−CF=AB−AE，即DF=BE．
19.(1)解：设方程的另一根为t，
根据题意得−1+t=m，−1×t=−2，
解得t=2，m=1，
即m=1，方程的另一根为x=2；
(2)证明：∵Δ=b2−4ac=m2+8，
因为对于任意实数m，m2≥0，
所以m2+8>0，
所以对于任意的实数m，这个方程有两个不相等的实数根．
20.解：(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：150(1+x)2=216，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)．
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20%；
(2)设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为(y−30)元，月销售量为300−10(y−40)=(700−10y)个，
根据题意得：(y−30)(700−10y)=3960，
整理得：y2−100y+2496=0，
解得：y1=48，y2=52，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴y=48．
答：该品牌头盔的售价应定为48元/个．
21.解：(1)当x=4时，y=34x=3，
∴A(4,3)，
设直线l2的表达式为：y=kx+b，
∴4k+b=38k+b=0，
解得k=−34b=6，
∴直线l2的表达式为：y=−34x+6；
(2)①∵A(4,3)，B(8,0)，
∴OA=AB=5，
∴∠OAB=∠ABO，
∵MC⊥x轴，ND⊥x轴，
∴∠OCM=∠BDN=90°，MC//DN，
由点C，D的运动可知，OC=BD=t，
∴△OMC≌△BND(ASA)，
∴MC=DN，
∴四边形CMND是平行四边形，
∵∠MCD=90°，
∴平行四边形CMND是矩形；
②当点M，N分别在OA，AB上时，
若四边形CMND是正方形，则CD=MC，
∵OC=t，
∴C(t,34t)，
∴MC=34t，
∵CD=OB−CD−BD=8−2t，
∴34t=8−2t，解得t=3211，
当M，N分别在AB，OA上时，如图，
同理可证四边形CMND是矩形，

若四边形CMND是正方形，则CD=MC，
∵OC=t，
∴C(t,−34t+6)，
∴MC=−34t+6，
∵CD=CD+BD−OB=2t−8，
∴−34t+6=2t−8，解得t=5611，
综上，t的值为3211或5611；
(3)存在，理由如下：
若以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，则只需△OAC是等腰三角形即可．
当OA=OC=5时，C(5,0)，
∵AP//OC且AP=OC，
∴P(9,3)；
当AO=AC时，点B与点C重合，C(8,0)，
此时点P与点A关于x轴对称，
∴P(4,−3)；
当OC=AC，则t2=(4−t)2+32，
解得t=258，
∴C(258,0)，
此时AP/​/OC且AP=OC，
∴P(78,3)，
综上，点P的坐标为(9,3)或(4,−3)或(78,3)．
22.概念理解：D；
问题解决：证明：如图2，设四边形BCGE的边BC、CG、GE、BE的中点分别为M、N、R、L，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，
∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，
∴MN、NR，RL，LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，
∴MN//BG，MN=12BG，RL//BG，RL=12BG，RN//CE，RN=12CE，ML//CE，ML=12CE，
∴MN//RL，MN=RL，RN//CE//ML，RN=ML，
∴四边形MNRL是平行四边形，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
∴∠EAC=∠BAG，
∴△EAC≌△BAG(SAS)，
∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，
又∵RL=12BG，RN=12CE，
∴RL=RN，
∴平行四边形MNRL是菱形，
∵∠EAB=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°．
又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，
∴∠ABG+∠BPK=90°，
∴∠BKP=90°，
又∵MN//BG，ML//CE，
∴∠LMN=90°．
∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”；
问题解决：①AC=BD；②AC⊥BD；
拓展应用，MN= 22AC.理由如下：
如图3，记AD、BC的中点分别为E、F，连接BD，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
∴四边形ENFM是正方形，
∴FM=FN，∠MFN=90°，
∴MN= FM2+FN2= 2FN，
∵N，F分别是DC，BC的中点，
(2)如图4，连接BD交AC于O，连接OM、ON，
当点O在MN上(即M、O、N共线)时，OM+ON最小，最小值为MN的长，
∴2(OM+ON)的最小值=2MN，
由性质探究性质探究知：AC⊥BD，
又∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB=2OM，CD=2ON，
∴2(OM+ON)=AB+CD，
∴AB+CD的最小值=2MN，
由拓展应用(2)知：MN= 22BD；
∴ 22BD×2=4；
∴BD=2 2，
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
−0.06
−0.02
0.03
0.09