2024-2025学年广东省深圳市罗湖区桂园中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市罗湖区桂园中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.解方程x2=4的结果为( )
A. x=2B. x=4
C. x1=−2，x2=2D. x1=−4，x2=4
2.如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形( )
A. AB=AC
B. AC⊥BD
C. AB=CD
D. AC=BD
3.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A. xy=5B. x−2x=1C. 2x2+x=−1D. πx=10
4.如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是( )
A. 测量一组对边是否平行且相等
B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量其中的三个角是否都为直角
D. 测量对角线是否相等
5.方程x2−2x−3=0配方后可化成(x+m)2=n的形式，则m+n的值为( )
A. 5B. 4C. 3D. 1
6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠BAD=35°，E是斜边BC的中点，则∠DAE的度数为( )
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
7.如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙(图中阴影部分)，另外三边用25m长的篱笆围成.为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为x m，若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是( )
A. x(26−2x)=80B. x(24−2x)=80
C. (x−1)(26−2x)=80D. (x−1)(25−2x)=80
8.如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点B(−7,5)在直线l：y=kx−2上，直线l分别交x轴，y轴于点E，F，将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上.则m的值为( )
A. 5
B. 7
C. 3
D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知x=1是方程x2−3x+c=0的一个根，则实数c的值是______．
10.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC=4，BD=2，则菱形ABCD的面积为______．
11.若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12.如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG= ______．
13.如图，正方形ABCD的边长为5 2，以AB为腰作等腰△ABF，AB=AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE.若BF=2，则EG= ______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
解方程：
(1)x2=3x；
(2)2x2−3x−4=0．
15.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE//AC，且DE=12AC，连接AE，CE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)若菱形ABCD的边长为4，∠BCD=60°，求AE的长．
16.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−(k+4)x+2k+4=0．
(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式(x1−2)(x2−2)的值．
17.(本小题8分)
如图，已知菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧分别相交于M、N两点，直线MN交CD于点F，交对角线AC于点E，连接BE、DE．
(1)求证：BE=CE；
(2)若∠ABC=72°，求∠ABE的度数．
18.(本小题8分)
解答
19.(本小题8分)
根据以下材料，完成题目．
材料一：数学家拉为了解决一元二次方程x2=−1在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i，规定i2=−1.当b≠0时，形如a+bi(a,b为实数)的数统称为虚数.比如5i，3+2i，1− 2i.当b=0时，a+bi=a+0⋅i=a为实数．
材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数a+bi，c+di(其中a，b，c，d为实数.且b≠0，d≠0)有如下运算法则：
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；
(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i；
(a+bi)⋅(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i；
材料三：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为实数)如果没有实数根，那么它有两个虚数根，求根公式为x=−b± 4ac−b2⋅i2a．
解答以下问题：
(1)填空：化简i4= ______，(1+i)2= ______；
(2)关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个根是1+i，其中m，n是实数，求m+n的值；
(3)已知关于x的一元二次方程x2−3x−k+4=0无实数根，且k为正整数，求该方程的虚数根．
20.(本小题8分)
【问题呈现】
如图1，∠MPN的顶点在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P旋转，旋转过程中，∠MPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E、F(点F与点C，D不重合).探索线段DE、DF、AD之间的数量关系．
【问题初探】
(1)爱动脑筋的艾坤发现，通过证明______≌______，可以得到结论.请直接写出线段DE、DF、AD之间的数量关系______；
【问题引申】
(2)如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，∠EPF=60°，其他条件不变，请你写出线段DE、DF、AD之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
(3)如图3，在(2)的条件下，∠MPN的两边分别与菱形ABCD的边AD和CD所在直线交于点E、F(点F与点C，D不重合)，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且∠EPF旋转至DF= 3时，请直接写出DE的长度．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.C
6.B
7.A
8.B
9.2
10.4
11.k0，
∴x=3± 414，
∴x1=3+ 414，x2=3− 414．
15.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=12AC，
∴∠DOC=90°，
∵DE//AC，DE=12AC，
∴DE=OC，DE//OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC=CD=4，OB=OD，AO=OC=12AC，
∵∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=4，
∴OD=OB=2，
∴OC= CD2−OD2= 42−22=2 3，
∴AC=2OC=4 3，
由(1)得：四边形OCED为矩形，
∴CE=OD=2，∠OCE=90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= AC2+CE2= (4 3)2+22=2 13，
即AE的长为2 13．
16.(1)证明：Δ=[−(k+4)]2−4(2k+4)
=k2+8k+16−8k−16
=k2，
∵k2≥0，
∴Δ≥0，
∴该方程总有两个实数根；
(2)解：∵该方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=k+4，x1⋅x2=2k+4，
∴(x1−2)(x2−2)
=x1⋅x2−2x1−2x2+4
=x1⋅x2−2(x1+x2)+4
=2k+4−2(k+4)+4
=2k+4−2k−8+4
=0．
17.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，∠ACB=∠ACD，
在△ECB和△ECD中，
CE=CE∠ECB=∠ECDCB=CD，
∴△ECB≌△ECD(SAS)，
∴BE=DE，
由作图可知，MN垂直平分线段CD，
∴EC=ED，
∴BE=CE．
(2)解：∵BA=BC，∠ABC=72°，
∴∠BAC=∠BCA=12(180°−72°)=54°，
∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=54°，
∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=18°．
18.解：任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：3(1+x)2=5.07，
解得：x1=0.3=30%，x2=−2.3(不符合题意，舍去)．
答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%；
任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为(y−15)万元，平均每周可售出8+25−y0.5×1=(58−2y)辆，
根据题意得：(y−15)(58−2y)=96，
整理得：y2−44y+483=0，
解得：y1=21，y2=23，
又∵要尽量让利于顾客，
∴y=21．
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
19.(1)1，2i；
(2)∵一元二次方程x2+mx+n=0有一个根是1+i，
∴2i+m+mi+n=0，
即m+n=−2i−mi，
∵m，n是实数，
∴−2−m=0，
解得：m=−2，n=2，
∴m+n=0；
(3)∵方程x2−3x−k+4=0无实数根，
∴(−3)2−4×1×(4−k)