2024-2025学年广东省惠州五中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省惠州五中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.将一元二次方程3x2−x−2=0化成一般形式后，常数项是−2，则二次项系数和一次项系数分别是( )
A. 3，−2B. 3，1C. 3，−1D. 3，0
2.下列各式中是二次函数的是( )
A. y=1x2+2xB. y=(x−1)2−1
C. y=x(x+1)−x2D. y=ax2+bx+c
3.对于抛物线y=−2(x−1)2+3，下列判断正确的是( )
A. 函数最小值是3B. 抛物线的顶点坐标是(−1,3)
C. 对称轴为直线x=1D. 当x>1时，y随x的增大而增大
4.若x=m是方程x2+x−4=0的根，则m2+m+2020的值为( )
A. 2024B. 2022C. 2020D. 2016
5.下表列出了函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解在哪两个相邻的整数之间( )
A. 1与2之间B. −2与−1之间C. −1与0之间D. 0与1之间
6.等腰三角形的底和腰是方程x2−9x+18=0的两根，这个三角形的周长为( )
A. 12B. 15C. 12或15D. 不能确定
7.学校进行足球比赛，每两班比一场，计划安排15场比赛，请问共有几个班参加比赛？( )
A. 5B. 6C. 5或6D. 7
8.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )
A. (32−x)(20−x)=32×20−570
B. 32x+2×20x=32×20−570
C. (32−2x)(20−x)=570
D. 32x+2×20x−2x2=570
9.如图，抛物线L1：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1,0)，与y轴交于点B(0,2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc>0，②b2<4ac，③4a+2b+c>0，④3a+c>0，⑤当x<−1时，y随x的增大而减小.其中结论正确为( )
A. ①②④
B. ①③⑤
C. ①②③
D. ①④⑤
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.将二次函数y=3(x−1)2+2的图象先向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得到的新的二次函数解析式为______．
12.方程x2−5x+2=0的两个实数根分别是x1，x2，则x1+x2−x1x2的值是______．
13.近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感.现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是______人.
14.如图所示，已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(−2,0)和B(1,3)，则使y1≤y2成立的x的取值范围是______．
15.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么______秒后，线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
解方程：x2−4x+1=0．
17.(本小题7分)
一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度ℎ(m)与弹出的时间t(s)满足的关系式为ℎ=15t−5t2.当小球第一次距离地面10m时，小球弹出的时间是多少秒？
18.(本小题7分)
某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示).若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)．
19.(本小题9分)
如图，抛物线y=−x2+4交x轴于A、B两点，顶点为C．
(1)求△ABC的面积；
(2)在抛物线上求点P，使S△PAB=12S△ABC．
20.(本小题9分)
已知抛物线y=x2−ax+2(a−3)．
(1)若有一点(3,0)在抛物线上，求a的值；
(2)求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点．
21.(本小题13分)
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，且|x1−x2|=1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程x2−x=0的两个根是x1=0，x2=1，|0−1|=1，则方程x2−x=0是“邻近根方程”．
(1)判断方程2x2−6 3x+13=0是否是“邻近根方程”；
(2)若关于x的方程2x2+bx+c=0(b,c是常数)是“邻近根方程”，求3b2−4c2的最大值．
22.(本小题14分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，B，C两点的坐标分别为(3,0)和(0,3)．
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交x轴于点D，交BC于点N，设点M的横坐标为x，求线段MN的长度与x的函数关系；
(3)过点M作ME⊥BC交BC于点E，求ME的最大值．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.A
5.D
6.B
7.B
8.C
9.B
10.D
11.y=3(x+2)2−3
12.7
13.12
14.−2≤x≤1
15.2或4
16. x2−4x+1=0，
解：x2−4x=−1，
x2−4x+4=−1+4，
(x−2)2=3，
x−2=± 3，
∴ x1=2+ 3，x2=2− 3．
17.解：当ℎ=10时，15t−5t2=10，
解得t1=1，t2=2，
∵小球第一次距离地面10m，
∴t=1，即1秒．
18.解：设鸡场的宽为x m，则长为(33−3x)m，
由题意可知：x⋅(33−3x)=90，
解得：x1=5，x2=6，
∵当x=5时，33−3x=18，18>15，不合题意，舍去．
当x=6时，33−3x=15，符合题意，∴33−3x=33−3×6=15，
答：鸡场的长(AB)为15米，宽(BC)为6米．
19.解：(1)设y=0，则y=−x2+4=0，
∴x=±2，
设x=0，则y=4，
∴A(−2,0)，B(2,0)，C(0,4)．
∴S△ABC=12×4×4=8．
所以△ABC的面积是8．
(2)∵S△PAB=12S△ABC
∴点P的纵坐标为±2，
当y=2时，代入抛物线有：2=−x2+4，得：x=± 2．
当y=−2时，代入抛物线有：−2=−x2+4，得：x=± 6．
所以点P的坐标为：( 2,2)，(− 2,2)，( 6,−2)，(− 6,−2)．
20.(1)解：∵点(3,0)在抛物线y=x2−ax+2(a−3)上，
∴0=9−3a+2(a−3)，
解得a=3，
∴a的值为3；
(2)证明：抛物线y=x2−ax+2(a−3)，
当y=0时，x2−ax+2(a−3)=0，
Δ=(−a)2−4×1×2(a−3)=a2−8a+24=(a−4)2+8
∵(a−4)2≥0，
∴(a−4)2+8>0，
∴一元二次方程x2−ax+2(a−3)=0有两个不相等的实数根，
∴不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点．
21.解：(1)∵Δ=(−6 3)2−4×2×13=4>0，
∴x=6 3±22×2=3 3±12，
∴x1=3 3−12，x2=3 3+12，
∴|x1−x2|=|3 3−12−3 3+12|=1，
∴方程2x2−6 3x+13=0是“邻近根方程”；
(2)设一元二次方程两个实数根x1，x2，
根据根与系数的关系得x1+x2=−b2，x1x2=c2，
∵|x1−x2|=1，
∴(x1−x2)2=1，
∴(x1+x2)2−4x1x2=1，
即(−b2)2−4×c2=1，
∴b2=8c+4，
∴3b2−4c2=3(8c+4)−4c2=−4c2+24c+12=−4(c−3)2+48，
∴当c=3时，3b2−4c2有最大值，最大值为48．
22.解：(1)抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，B，C两点的坐标分别为(3,0)和(0,3).把点B，点C的坐标代入得：
0=−9+3b+c3=c，
解得：b=2c=3，
∴抛物线所对应的函数解析式为y=−x2+2x+3．
(2)设直线BC的解析式为y=mx+n，把点B，点C的坐标代入得：
0=3m+n3=n，
解得：m=−1n=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
∵点M的横坐标为x，
∴M(x,−x2+2x+3)(0∴MN=−x2+2x+3−(−x+3)=−x2+3x，
即MN=−x2+3x；
(3)∵B，C两点的坐标分别为(3,0)和(0,3)．
∴BO=CO=3，
∵∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵MN⊥OB，
∴∠MDB=90°，
∴△BND是等腰直角三角形，
∴∠DNB=∠DBN=45°
∴∠MNE=∠BND=45°
∵点M作垂直于直线BC交BC于点E，
∴∠MEN=90°，
∴△MNE是等腰直角三角形，
∴ME=NE= 22MN，
由(2)知，MN=−x2+3x，
∴ME= 22MN= 22(−x2+3x)=− 22(x−32)2+9 28，
∵− 22<0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=32时，ME的最大值为9 28．
x
−2
−1
0
1
2
y
1
2
1
−2
−7