2024-2025学年上海交大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

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这是一份2024-2025学年上海交大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中至多有一个是偶数”的正确假设为( )
A. 自然数a，b，c中至少有一个偶数B. 自然数a，b，c中至少有两个偶数
C. 自然数a，b，c都是奇数D. 自然数a，b，c都是偶数
2.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[−3.5]=−4，[3.1]=3，则关于x的方程[|x−1|−1]=2的解集为( )
A. {x|4≤x≤5}B. {x|−3≤x≤−2，或4≤x≤5}
C. {x|4≤x<5}D. {x|−33.设a，b∈R，若不等式 x>ax+32的解集是(4,b)，则ab的值为( )
A. 9B. 92C. 3D. 94
4.设正实数x、y、z满足x2−3xy+4y2−z=0，则当xyz取得最大值时，2x+3y−2z的最大值为( )
A. 9B. 1C. 94D. 4
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知集合A={x|ax2−x+3=0}至多有一个元素，则a的取值范围是______．
6.用列举法表示集合M={m|15m+1∈Z,m∈Z}= ______．
7.已知集合A={−2,0,2,4}，B={x||x−72|≤m}，若A∩B=A，则m的最小值为______．
8.不等式(x−2) x2−2x−3≥0的解集是______．
9.已知−1≤a+b≤4，2≤a−b≤3，则3a−2b的取值范围为______．
10.设a为实数，若关于x的一元一次不等式组2x+a>03x−6a<0的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是．
11.已知集合A={x|7x+3≥1},B={x|x2−3mx+2m2+m−1<0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要非充分条件，则实数m的取值范围为______．
12.已知集合A={x|(ax−1)(a−x)>0}，且3∈A，4∉A，则实数a的取值范围是______．
13.若集合M⫋{1,2,3,4,5,6,7,8}，且M中至少含有两个奇数，则满足条件的集合M的个数是______．
14.已知x2+(2−a)x+4−2a≥0对任意x∈(−2,+∞)恒成立，则实数a的取值范围为______．
15.设x>−1，y>0且x+3y=1，则1x+1+1y的最小值为______．
16.设x，y，z，w是正实数，则xy+2yz+3zwx2+y2+z2+w2的最大值为______．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}．
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈R时，若A∩B=⌀，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
求下列关于x的不等式的解集(a为实数)．
(1)|3x+2|≤4−|x−1|；
(2)x2+2x+a<0；
(3)ax−1x−2>0．
19.(本小题12分)
已知集合A={a1,a2,a3,⋯,an}中的元素均为正整数，其中n∈N且n≥3.若对任意x，y∈A(x≠y)，都有|x−y|≥xyk，则称集合A具有性质Mk．
(1)集合A={1,2,a}具有性质M3，求a的最小值；
(2)若集合A具有性质M24，且A中最小元素和最大元素分别为a、b，求证：1a−1b≥n−124；
(3)已知集合A具有性质M24，求A中元素个数的最大值，并说明理由．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.D
5.{a|a≥112或a=0}
6.{−16,−6,−4,−2,0,2,4,14}
7.112
8.{x|x≥3或x=−1}
9.[92,192]
10.(32,2]
11.[−1,52]
12.[14,13)∪(3,4]
13.175
14.{a|a≤2}
15.2+ 3
16. 5+ 22
17.解：集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}．
(1)当B=⌀时，则m+1>2m−1，可得m<2时，满足B⊆A．
当B≠⌀时，m+1≤2m−1，即m≥2时，要使B⊆A成立，
需m+1≥−22m−1≤5，
可得2≤m≤3，
综上，m的取值范围是(−∞,3)．
18.解：(1)|3x+2|+|x−1|≤4，
当x≥1时，3x+2+x−1≤4，得x≤34，解集为⌀，
当x≤−23时，−(3x+2)−(x−1)≤4，得x≥−54，得−54≤x≤−23，
当−23综上可知：不等式的解集为{x|−54≤x≤12}；
(2)Δ=4−4a，
当a<1时，Δ>0，方程x2+2x+a=0的根为x=−2± 4−4a2=−1± 1−a，
所以不等式的解集为{x|−1− 1−a当a>1时，Δ<0，不等式的解集为⌀，
当a=1时，Δ=0，不等式的解集为⌀，
综上可知，a≥1时，不等式的解集为⌀，a<1时，不等式的解集为{x|−1− 1−a(3)当a=0时，−1x−2>0，得x<2，
当a<0时，ax−1x−2>0⇔(ax−1)(x−2)>0⇔(x−1a)(x−2)<0，
因为1a<2，所以不等式的解集为{x|1a当a>0时，ax−1x−2>0⇔(ax−1)(x−2)>0⇔(x−1a)(x−2)>0，
当02时，不等式的解集为{x|x>1a或x<2}，
当a=12时，ax−1x−2>0⇔(x−2)2>0，不等式的解集为{x|x≠2}，
当a>12时，1a<2时，不等式的解集为{x|x>2或x<1a}．
综上可知，当a=0时，不等式的解集为{x|x<2}，
当a<0时，所以不等式的解集为{x|1a当01a或x<2}，
当a=12时，不等式的解集为{x|x≠2}，
当a>12时，不等式的解集为{x|x>2或x<1a}．
19.解：(1)由性质M3定义知a−1≥13aa−2≥2a3，a∈N∗，
所以a≥32a≥6，a∈N∗，
解得a≥6，且a∈N∗，
所以a的最小值为6．
证明：(2)由|ai−ai+1|≥aiai+124,(i=1,2,3,…,n−1)，且a1<……所以ai+1−ai≥aiai+124⇒1ai−1ai+1≥124,(i=1,2,3,…,n−1)，
所以1a1−1a2+1a2−1a3+...+1an−1−1an=1a1−1an≥n−124，得证．
解：(3)由(2)知1a1>n−124a1≥1，即n−124<1，解得n<25，
因为1ai−1an≥n−i24，
利用累加法可得，1ai>n−i24，又ai≥i，
所以1i>n−i24⇒i(n−i)<24恒成立，
当n≥10，取i=5，则5(n−5)=5n−25>24，n∈N，
故n<10，
当n≤9，则i(n−i)≤(i+n−i)24=n24<24，当且仅当i=n−i时取等号，
则n< 96，即n≤9．
综上，集合A中元素个数的最大值为9．