2024-2025学年上海市徐汇区位育中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市徐汇区位育中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图中的阴影部分可以表示为( )
A. (A∪C)∩(B∪C)B. (A∪B)∩(A∪C)
C. (A∪B)∩(B∪C)D. (A∪B)∩C
2.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )
A. 若a>b，c>d，则ac>bd
B. 若ab>0，bc−ad>0，则ca−db>0
C. 若a>b，c>d，则a+d>b+c
D. 若a>b，c>d>0，则ad>bc
3.对于任意实数x，用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[π]=3，[0.1]=0，[−2.1]=−3，则“[x]>[y]”是“x>y”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.对于集合A={a1,a2,…,an}(n∈Z，n≥3)，A中每个元素均为正整数，如果去掉A中任意一个元素ai(i=1,2,…,n)之后，剩余的所有元素组成集合Ai(i=1,2,…,n)，并且A都能分成两个集合B和C，满足B∩C=⌀，B∪C=Ai，且B和C的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”.以下命题中，
①{1,2,3}不是“可分集合”
②三元集{a1,a2,a3}可能是“可分集合”
③{1,2,3,4}是“可分集合”
④四元集{a1,a2,a3,a4}可能是“可分集合”
⑤五元集{a1,a2,a3,a4,a5}一定不是“可分集合”
真命题的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.用列举法写出所有小于13的素数组成的集合______．
6.已知4∈{0,2a,a2}，则实数a=______．
7.集合A={x|y= x2−1}，B={y|y=x2}，则A∪B= ______．
8.不等式2x−1x+1≥−1的解集为______．
9.已知集合A={x|2x+a>0}，若1∉A，则实数a的取值范围是______．
10.用反证法证明命题：“若x+y>2，则x>1或y>1”的第一步应该先假设______．
11.若x，y满足−112.若不等式2kx2+2kx−3<0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是______．
13.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<−1或x>2}，则不等式bx2+ax−c≤0的解集是______．
14.已知α：x<3m−1或x>−m，β：x<2或x≥4，若β的必要条件是α，则实数m的取值范围是______．
15.已知集合M={x|(x−a)(x2−ax+a−1)=0}中各元素之和为3，则实数a的值为______．
16.若关于x的不等式(2x−1)2三、解答题：本题共5小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
求关于x的不等式的解集：(m+1)x2−2mx+m−1≥0，
18.(本小题6分)
某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品A的年产销量减少10p万件，同时将商品A的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p元).若新产品开发费不少于96万元，求实数p的取值范围．
(注：工厂永不停产，新产品永在开发)
19.(本小题8分)
已知集合A={x|x2−8x+m=0,m∈R}，B={x|ax−1=0,a∈R}，且A∪B=A．
(1)若m=12，求实数a组成的集合．
(2)若全集为A，B−={3}，求m，a的值．
20.(本小题12分)
(1)已知关于x和y的方程组2x2+y2=2y=kx+1(其中k∈R).当k=1时，求该方程组的解集；
(2)记关于x和y的方程组2x2+y2=2y=kx+1(其中k∈R)的两组不同的解分别为x=x1y=y1和x=x2y=y2，判断3(y1+y2)−2y1y2是否为定值.若为定值，求出该值；若不是定值，说明理由；
(3)已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2−4kx+k+1=0的两个实根.若满足x1x2+x2x1−2∈Z，求整数k的值．
21.(本小题10分)
已知集合A={a1,a2,…,ak}(k≥2，k∈N)，其中ai∈Z(i=1,2,…,k)，且满足：对任意的x∈A，有−x∉A，则称集合A具有性质G.由A中元素可构成两个点集P和Q：和集P={(x,y)|x∈A，y∈A，x+y∈A}，差集Q={(x,y)|x∈A，y∈A，x−y∈A}，其中P中有m个元素，Q中有n个元素．
(1)已知集合J={0,1,2,3}，集合K={−1,2,3}和集合L={y|y=x2−2x+2}，判断它们是否具有性质G.若是，则直接写出其对应的集合P和集合Q；若否，请说明理由；
(2)试判断“集合A具有性质G”是“m=n”的什么条件，并证明．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.B
5.{11,7,5,3,2}
6.−2
7.{x|x≥0或x≤−1}
8.{x|x<−1或x≥0}
9.(−∞,−2]
10.x≤1且y≤1
11.(−2,0)
12.(−6,0]
13.{x|−1≤x≤2}
14.(14,+∞)
15.2或32
16.(259,4916]
17.解：不等式(m+1)x2−2mx+m−1≥0可化为[(m+1)x−(m−1)](x−1)≥0，
若m+1=0，即m=−1，则不等式为2(x−1)≥0，解得x≥1；
若m+1>0，即m>−1，则不等式可化为(x−m−1m+1)(x−1)≥0，
因为m−1m+1<1，所以解不等式得x≤m−1m+1或x≥1；
若m+1<0，即m<−1，则不等式可化为(x−m−1m+1)(x−1)≤0，
因为m−1m+1>1，所以解不等式得1≤x≤m−1m+1；
综上，m=−1时，不等式的解集为{x|x≥1}；m>−1时，不等式的解集为{x|x≤m−1m+1或x≥1}；m<−1时，不等式的解集为{x|1≤x≤m−1m+1}.
18.解：由题，商品的年销量为(800000−100000p)件，又每件售价80元，
则(800000−100000p)×80×p%≥960000，
化简得：p2−8p+12≤0，
解得：2≤p≤6，
即p的取值范围是[2,6]．
19.解：(1)m=12，A={x2−8x+12=0}={2,6}，
∵A∪B=A，∴B⊆A，
当B=⌀，则a=0；
当B={2}，则a=12；
当B={6}，则a=16，
综上可得实数a组成的集合为{0,16,12}.
(2)由全集为A，B−={3}，即∁AB={3}，得3∈A，3∉B，
∴32−8×3+m=0，解得m=15，
∴A={x|x2−8x+15=0}={3,5}，
∴5∈B，∴5a−1=0，解得a=15，
综上，m=15，a=15．
20.解：(1)当k=1时2x2+y2=2y=x+1，消去y得3x2+2x−1=0，
解得x=−1或x=13，
当x=−1时，y=0，当x=13时，y=43，
因此，方程组的解为x=−1y=0和x=13y=43．
(2)关于x和y的方程组2x2+y2=2y=kx+1(其中k∈R)的两组不同的解分别为x=x1y=y1和x=x2y=y2，
消去y整理得(k2+2)x2+2kx−1=0，
显然k2+2≠0，且Δ=8k2+8>0，其两根为x1，x2，
由韦达定理得x1+x2=−2kk2+2，x1x2=−1k2+2，
所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，
y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=−2k2+2k2+2，
所以3(y1+y2)−2y1y2=12k2+2−−4k2+4k2+2=4，
因此，3(y1+y2)−2y1y2是定值，且定值为4．
(3)因为x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2−4kx+k+1=0的两个实根，
所以k≠0(−4k)2−4×4k×(k+1)≥0，解得k<0，
x1x2=k+14k，x1+x2=−−4k4k=1，
则x1x2+x2x1−2=x12+x22x1x2−2=(x1+x2)2x1x2−4=4kk+1−4=−4k+1，
因为x1x2+x2x1−2∈Z，所以−4k+1∈Z，
因为k为整数，所以k+1=±1、±2、±4，
因为k<0，所以整数k的值为−2或−3或−5．
21.解：(1)0∈J，则−0∈J，故不满足定义，J={0,1,2,3}不具有性质G，
K={−1,2,3}，−1∈K，1∉K，2∈K，−2∉K，3∈K，−3∉K，满足要求，
故 K={−1,2,3}具有性质G，
由于−1+3=2∈K，其他均不合要求，故P={(−1,3)，(3,−1)}，
由于2−3=−1∈K，2−(−1)=3∈K，其他不合要求，故Q={(2,3)，(2,−1)}；
(2)证明：集合A具有性质G，
对于(a,b)∈P，根据定义可知：a∈A，b∈A，a+b∈A，
又因为集合A具有性质G，则(a+b,a)∈Q，
如果(a,b)，(c,d)是P中不同元素，
那么a=c，b=d中至少有一个不成立，
于是b=d，a+c=b+d中至少有一个不成立，
故(a+b,b)，(c+d,d)也是Q中不同的元素，
可见P的元素个数不多于Q的元素个数，即m≤n，
对于(a,b)∈Q，根据定义可知，a∈A，b∈A，a−b∈A，
又因为集合A具有性质G，则(a−b,a)∈P，
如果(a,b)，(c,d)是Q中不同元素，那么a=c，b=d中至少有一个不成立，
于是b=d，a−b=c−d中至少有一个不成立，
故(a−b,b)，(c−d,d)也是P中不同的元素，
可见Q的元素个数不多于p的元素个数，即n≤m，
综上，m=n，即“集合A具有性质G”是“m=n”的充分必要条件．