2025成都树德中学高二上学期期中考试数学含答案

这是一份2025成都树德中学高二上学期期中考试数学含答案，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 总分：150分
命题人： 审题人：
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c .则下列向量中与B1M相等的向量是( )
A．B．
C． D．
2. 若直线经过A1,0,B(2,3)两点，则直线AB的倾斜角是( )
A. B. C. D.
3. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4. 某年1月25日至2月12日某旅游景区及其里面的特色景点累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是( )
A. 月日景区累计参观人次中特色景点占比超过了.
B. 月日至月日特色景点累计参观人次增加了人次.
C. 月日至月日特色景点的累计参观人次的增长率和月日至月日特色景点累计参观人次的增长率相等.
D. 月日至月日景区累计参观人次的增长率小于月日至月日的增长率.
5. 如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度. 甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处，从A，B到直线（水库底面与水坝的交线）的距离AC和BD分别为3m和4m，CD的长为2m，甲乙之间拉紧的绳长为41m，则水库底面与水坝所成二面角的大小为( )．
A. B. C. D.
6. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图在堑堵ABC−A1B1C1中AC⊥BC.过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F.下列说法正确的是( )
A. 四棱锥C−A1B1BA为“阳马”B. 四面体A1CC1B1为“鳖臑”
C. EF⊥A1C D. EF⊥A1B
7. 阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线l是两个平面x−2y+2=0与2x−z+1=0的交线，则（ ）是l的一个方向向量.
A. (2,1,4)B. (1,3,5)C. (1,−2,0)D. (2,0,−1)
8. 设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是假命题的是（ ）
A．当时，存在一个点与直线系M中所有直线的距离都相等.
B．当时，直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限.
C．当时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1，最小值为.
D．当时，若，则点到直线系M中所有直线的距离不小于1.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分组0,0.5,0.5,1,,⋯,3,3.5制作了频率分布直方图，
下列命题正确的有（ ）.
A. 设该市有60万居民，则全市居民中月均用水量不低于3吨的人数恰好有3万人.
B. 如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a(吨)的最低标准的估计值为2.7．
C. 该市居民月均用水量的平均数的估计值为1.875吨.
D. 在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4.
10.以下四个命题为真命题的有（ ）.
A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为.
B．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为.
C．直线x+y−1=0与直线2x+2y+1=0之间的距离是.
D．点P在直线l:x−y−1=0上运动，A(2,3),B(2,0)，则|PA|−|PB|的最大值是5.
11. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱CD的中点，N为线段BM上的动点（含端点），则下列选项正确的有（ ）
A．若直线A1M与直线AN所成角为，则的最大值为.
B．若点N到平面ABC1D1的距离为d，则d+CN的最小值为.
C. 若在该正方体内放入一个半径为的小球，则小球在正方体内不能达到的空间体积是.
D. 点T从B点出发匀速朝D1移动，点S从A点出发匀速朝A1移动. 现S、T同时出发，当S到达A1时，T恰好在BD1的中点处. 则在此过程中，S、T两点的最近距离为.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知入射光线通过点A(2,3)，经直线x+y+1=0反射，其反射光线通过点B(1,1)，则入射光线所在直线的方程为 .
13. 已知三棱锥P−ABC，如图所示，G为△ABC重心，点M，F为PG，PC中点，点D，E分别在PA，PB上，PD=mPA，PE=nPBmn≠0，若M,D,E,F四点共面，则 .
14. 甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“i的胜者”，负者称为“i的负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
则乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为 .
四、解答题:本题共5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）如图，已知平行六面体的底面是菱形，,且 .
(1)证明：；
(2)若平面，求的长．
16.（15分）班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个，黄球2个.
(1) 如下两种方案，哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由．
方案一：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案二：依次有放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品．
(2) 还剩最后一个奖品时，甲乙两位同学都想获得. 于是他们约定：轮流从纸箱中有放回地抽取一球，谁先抽到黄球，谁获得奖品；如果3轮之后都两人都没有抽到黄球，则后抽的同学获得奖品. 如果甲先抽，求甲获得奖品的概率.
17.（15分）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为G，G在上，且，，，E是BC的中点，四面体的体积为 ．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求点D到平面的距离；
(3)若F点是棱上一点，且，求的值．
18. （17分）男子10米气步枪和女子10米气步枪在1984年被列为奥运会比赛项目。根据国际射联的要求，10米气步枪靶纸为总边长80毫米的正方形，直径最大的1环，直径为45.5mm，而最高10.9环的靶心点，直径仅有0.5mm.
为了了解某校射击选手甲的训练水平，甲按照比赛要求进行了15次射击训练，命中的环数如下：
(1)如果命中10环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”.
①用以上数据估计甲每次射击“命中靶心”的概率；
②现发现一架小型无人机悬停在训练区域的上空（训练区域禁止无人机飞行），甲准备将其击落. 假设甲每次射击能击中该无人机的概率为①中所求其“命中靶心”的概率，每次射击互不影响. 则甲至少需要进行几次射击，才能有90%以上的概率能击落该无人机（该无人机被击中一次即被击落）？
(2) 经计算得甲这次训练命中环数的平均数，标准差，其中为第次射击命中的环数，，，，．
第15次射击时，由于甲受到了明显的干扰，导致结果偏差较大. 为了数据分析更加客观准确，教练剔除了这次的成绩. 求剔除数据后，甲命中环数的平均数和方差精确到．
(参考数据，)
19．（17分）如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点．
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小；
(3)设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
2024~2025学年度上期树德中学高2023级半期考试
数学参考答案
一、选择题
二、选择题
三、填空题
12. 13. 414.
四、解答题
15. 苏教版选择性必修二P51,7
解：（1）【法一】设，
∴…………（4分）
∴…………（5分）
【法二】连结和交于，∵四边形是菱形，∴，．…………（6分）
又∵，，∴， ∴，…………（7分）
∵，∴．…………（9分）
又，平面，∴平面，…………（11分）
平面，∴．…………（13分）
（2）∵四边形是菱形，∴,又
∴平面，∴…………（6分）
∴平面的充要条件是…………（7分）
∵，…………（8分）
∴
…………（11分）
∵, ∴.
所以的长为1.…………（13分）
16. 解： (1)3个红球和2个黄球分别用来表示
方案一中，设事件表示“依次无放回抽取的2个球颜色相同”，
按依次无放回地抽取2个球的所有样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个；…………（1分）
事件包含，，，，，，，，共个样本点，
…………（2分）
故；…………（3分）
注：也可按无顺序（即只看抽取结果）的方式计算.
方案二中，设事件表示“依次有放回地抽取个球颜色相同”.
根据题意，每次取到红球的概率为，取到黄球的概率为，且两次取到球的颜色的情况互不影响，…（4分）
则；…………（6分）
因为，所以选择方案二获得奖品的可能性更大．…………（7分）
（2）每次抽到黄球的概率为
①若甲在第一轮就获得奖品，则…………（9分）
②若甲在第二轮获得奖品，则第一轮甲乙均抽到红球，则…………（11分）
③若甲在第三轮获得奖品，则第一、二轮甲乙均抽到红球，则…………（13分）
因此甲获得奖品的概率 .
所以甲获得奖品的概率为. …………（15分）
注：也可算乙获得奖品的概率，
17. （1）由已知 ,∴ …………（2分）
如图所示建立空间直角坐标系，
则,故 ……（3分）
…………（5分）
∴异面直线GE与PC所成角的余弦值为…………（6分）
（2）由题意可知,平面PBG的单位法向量…………（7分）
,…………（8分）
∴点D到平面的距离为 …………（10分）
（3）设,则,…………（11分）
，
,解得 …………（13分）
在平面内过F点作，M为垂足，则
.…………（15分）
18. 解：(1)①该选手15次射击中有3次命中10环及以上的环数，
所以选手每次射击“命中靶心”的概率的估计值.…………（2分）
②设该选手至少需要射击次，才能达到有90%以上的概率能击落该无人机，
即他射击次，至少一次击中无人机的概率在以上，
则他这次射击，没能击中无人机的概率低于，即 .…………（4分）
两边取常用对数，得， …………（7分）
即该选手至少需要射击11次才能达到有90%以上的概率能击落该无人机. …………（8分）
(2) 剔除数据后，该选手命中环数的平均数…………（10分）
………（12分）
………（13分）
………（15分）
剔除数据后，该选手命中环数的方差.
综上，剔除数据后，该选手命中环数的平均数为9.5，方差约为0.14 . …………（17分）
注：方差计算还可以有以下两种方法：
①直接通过原始数据计算，方差.
②将前14个数看作一组，剔除的数看作另一组，利用分层抽样总体方差和各层方差的关系：
解得 .
19.解：（1）取中点，连接，由N为PB中点，得，
依题意，，
则，…………（1分）
于是四边形是平行四边形，，…………（2分）
而平面，平面，所以平面.…………（3分）
（2）取中点，连接，由，得，
而平面平面，平面平面平面，则平面
过作，则平面，又平面，于是，
在矩形中，，，则，…………（4分）
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，…………（5分）
设平面的法向量为，则，
令，得，…………（6分）
设直线BC与平面所成的角为，则，…………（7分）
所以直线BC与平面所成角的大小为.…………（8分）
（3）连接，由，得，而，则为的平面角，即，过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则A1,0,0，，
显然平面，平面，
则平面平面，…………（9分）
在平面内过作于点，则平面，…………（10分）
设，而，则，，，
即，，
所以，…………（11分）
于是，，
设平面PAM的法向量为n1=x1,y1,z1，则，
令，得，…………（12分）
设平面的法向量为，因为，，
则，令，得，…………（13分）
设平面和平面为，
则…………（14分）
…………（15分）
令，，则，即，…………（16分）
则当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．…………（17分）
射击序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
命中环数
9.4
9.5
10.2
9.1
9.2
8.9
10.1
9.3
9.4
9.6
9.3
9.3
10.1
9.5
5.0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
A
C
B
D
C
D
A
C
题号
9
10
11
选项
BCD
CD
ACD