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2025绵阳盐亭中学高二上学期10月月考数学试题含解析
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这是一份2025绵阳盐亭中学高二上学期10月月考数学试题含解析，文件包含四川省绵阳市盐亭中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含解析docx、四川省绵阳市盐亭中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知事件A，B互斥，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由互斥事件的概率加法公式求出，然后求解即可.
【详解】因为事件A，B互斥，所以，
又，所以，故，
故选：D
2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用古典概率公式，即可求出结果.
【详解】依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：，，共个，
所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率.
故选：A.
3. 为保证中小学生享有充足睡眠时间，促进学生身心健康发展，教育部办公厅发布《关于进一步加强中小学睡眠管理工作的通知》，明确学生睡眠时间要求．已知某地区有小学生1200人，初中生900人，高中生900人，教育部门为了了解该地区中小学生每天睡眠时间，现用样本量比例分配的分层抽样从该地区抽取样本，经计算样本中小学生、初中生、高中生每天的平均睡眠时间分别为9.5小时、8小时、7小时，则估计该地区中小学生每天的平均睡眠时间为（ ）小时．
A. 7.5B. 8C. 8.3D. 8.5
【答案】C
【解析】
【分析】利用加权平均数的计算公式可求平均数.
【详解】由题意可设小学生、初中生、高中生中分别抽取4a人，3a人，3a人，
则.
故选：C.
4. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分第一次甲先投篮与第一次乙先投篮，然后由独立事件的概率的乘法公式求解即可.
【详解】若第一次甲先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为：，
若第一次乙先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为：
故前4次中甲恰好投篮3次的概率为：.
故选：D
5. 装有红球、白球和黑球各2个口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A. ①B. ①②C. ②③D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义判断即可.
【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝，
则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，
事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }；
事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}，
事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}，
事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝，
由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件.
故选：B
6. 某同学在一次数学测试中的成绩是班级第十名（假设测试的成绩两两不同），且该同学的成绩恰好是该班级成绩的第80百分位数，则该班级的人数可能为（ ）
A. 36B. 41C. 46D. 51
【答案】C
【解析】
【分析】根据第十名成绩为该班级成绩的第80百分位数，列出不等式组求解即可.
【详解】设班级的人数为，
由题意，解得，又.
故选：C.
7. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果.
【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为2，则.
所以，又
所以.
故选：C.
8. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ）
A. 3B. 1C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.
【详解】若不能构成空间的一个基底，
共面，
存在，使，
即，
解得，
故选：.
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 设为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
A. 若与对立，则
B. 若与互斥，，则
C. 若，且，则与相互独立
D. 若与相互独立，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据互斥（或对立）事件概率的性质可判断AB的正误，根据独立事件的定义和性质可判断CD的正误.
【详解】对于A，若与对立，则，故A错误；
对于B，与互斥，则，故B正确；
对于C，因为，故，
故，故与不相互独立，故C错误；
对于D，因为，所以，
而与相互独立，故与相互独立，故，故D正确.
故选：BD.
10. 已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为5，则（ ）
A.
B. 这组数据的众数和中位数均为4
C. 这组数据方差为3.8
D. 若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的方差不变
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据平均数求得原始数据，再利用众数、中位数，方差的公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，因为数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为5，
可得，解得，所以A正确；
对于B中，将数据从小到大排列，可得3，3，4，4，4，5，5，6，6，10，
可得数据的众数为4，中位数为，所以B不正确；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，若将这组数据每一个都加上0.3，此时平均数变为，
，
则所有新数据方差不变，所以D正确.
故选：ACD.
11. 已知空间中三点，，，则（ ）
A. 向量与互相垂直
B. 与方向相反的单位向量的坐标是
C. 与夹角的余弦值是
D. 在上的投影向量的模为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义、空间向量夹角公式逐一判断即可.
【详解】由已知可得，，.因为，所以与互相垂直，故A正确；，
所以与方向相反的单位向量的坐标是，故B正确；，，，所以，故C正确；在上的投影向量的模为，故D错误.
故选：ABC
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用列表法求解，列出抛掷两个质地均匀的骰子出现的所有情况，再找出抛掷的两个骰子的点数之和是6的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】抛掷两个质地均匀的骰子出现的所有情况有：
共36种情况，
其中“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的有5种，所以所求概率为.
故答案为：
13. 某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为，则该校高一学生的平均身高的估计值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，，且根据样本平均数，求解即可.
【详解】由题意可知，，且
所以样本平均数，
故该校高一学生的平均身高的估计值为．
故答案为：.
14. 如图，二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的加法，转化为，直接求模长即可.
【详解】因为.
所以
所以.
故答案为：.
四、解答题
15. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果?
（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.
【答案】（1）kg
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值.
（2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在90,100，再利用公式计算即可．
（3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，由古典概型求解.
【小问1详解】
由直方图可得，样本落在50,60，60,70，…，90,100的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得．
则样本落在50,60，60,70，…，90,100频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以，该苹果日销售量的平均值为:
.
【小问2详解】
为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在90,100，
所以日销售量的分位数为．
所以，每天应该进苹果．
【小问3详解】
由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.
16. 在正四棱柱中，，是棱 上的中点．
（1）求证：；
（2）异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；
（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值．
小问1详解】
证明：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
，
，
所以；
【小问2详解】
，
设异面直线与所成角的大小为，
则，
故异面直线AM与BC所成角的余弦值为．
17. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.
（1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
（2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案；
（2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案.
【小问1详解】
甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为.
【小问2详解】
乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
.
【小问3详解】
丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：
.
18. 已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个.
（1）从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率；
（2）从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用列举法结合古典概型的概率的计算公式可求概率；
（2）考虑“取到至少一个红球”的对立事件，利用例举法结合古典概型的概率公式可求概率.
【小问1详解】
设甲袋中的红球为，白球为，篮球为，
乙袋中的红球为，白球，篮球为，
则从两袋中各取一球，所有基本事件如下：
，，
，，
故基本事件的总数为.
设为“取到的两球颜色相同”，则含有的基本事件如下：
共5个基本事件，则.
【小问2详解】
如（1）中所设，从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，总的基本事件如下：
，，
，，
，，
基本事件的总数为，
设为“取到至少一个红球”，其对立事件设为，则为“没有取到红球”，
含有的基本事件如下：，共有3个，
故，故.
19. 如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，.
（1）用，，表示，；
（2）求异面直线，所成角的余弦值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；
（2）利用转化法求向量数量积及夹角.
【小问1详解】
因为点，分别在棱，上，且，，
所以，，
所以，
；
【小问2详解】
因为，，，，
所以，，
所以，
，
，
所以，
即异面直线，所成角的余弦值为.
1
2
3
4
5
6
1
╳
╳
╳
╳
√
╳
2
╳
╳
╳
√
╳
╳
3
╳
╳
√
╳
╳
╳
4
╳
√
╳
╳
╳
╳
5
√
╳
╳
╳
╳
╳
6
╳
╳
╳
╳
╳
╳
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知事件A，B互斥，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由互斥事件的概率加法公式求出，然后求解即可.
【详解】因为事件A，B互斥，所以，
又，所以，故，
故选：D
2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用古典概率公式，即可求出结果.
【详解】依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：，，共个，
所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率.
故选：A.
3. 为保证中小学生享有充足睡眠时间，促进学生身心健康发展，教育部办公厅发布《关于进一步加强中小学睡眠管理工作的通知》，明确学生睡眠时间要求．已知某地区有小学生1200人，初中生900人，高中生900人，教育部门为了了解该地区中小学生每天睡眠时间，现用样本量比例分配的分层抽样从该地区抽取样本，经计算样本中小学生、初中生、高中生每天的平均睡眠时间分别为9.5小时、8小时、7小时，则估计该地区中小学生每天的平均睡眠时间为（ ）小时．
A. 7.5B. 8C. 8.3D. 8.5
【答案】C
【解析】
【分析】利用加权平均数的计算公式可求平均数.
【详解】由题意可设小学生、初中生、高中生中分别抽取4a人，3a人，3a人，
则.
故选：C.
4. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分第一次甲先投篮与第一次乙先投篮，然后由独立事件的概率的乘法公式求解即可.
【详解】若第一次甲先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为：，
若第一次乙先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为：
故前4次中甲恰好投篮3次的概率为：.
故选：D
5. 装有红球、白球和黑球各2个口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A. ①B. ①②C. ②③D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义判断即可.
【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝，
则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，
事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }；
事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}，
事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}，
事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝，
由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件.
故选：B
6. 某同学在一次数学测试中的成绩是班级第十名（假设测试的成绩两两不同），且该同学的成绩恰好是该班级成绩的第80百分位数，则该班级的人数可能为（ ）
A. 36B. 41C. 46D. 51
【答案】C
【解析】
【分析】根据第十名成绩为该班级成绩的第80百分位数，列出不等式组求解即可.
【详解】设班级的人数为，
由题意，解得，又.
故选：C.
7. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果.
【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为2，则.
所以，又
所以.
故选：C.
8. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ）
A. 3B. 1C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.
【详解】若不能构成空间的一个基底，
共面，
存在，使，
即，
解得，
故选：.
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 设为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
A. 若与对立，则
B. 若与互斥，，则
C. 若，且，则与相互独立
D. 若与相互独立，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据互斥（或对立）事件概率的性质可判断AB的正误，根据独立事件的定义和性质可判断CD的正误.
【详解】对于A，若与对立，则，故A错误；
对于B，与互斥，则，故B正确；
对于C，因为，故，
故，故与不相互独立，故C错误；
对于D，因为，所以，
而与相互独立，故与相互独立，故，故D正确.
故选：BD.
10. 已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为5，则（ ）
A.
B. 这组数据的众数和中位数均为4
C. 这组数据方差为3.8
D. 若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的方差不变
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据平均数求得原始数据，再利用众数、中位数，方差的公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，因为数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为5，
可得，解得，所以A正确；
对于B中，将数据从小到大排列，可得3，3，4，4，4，5，5，6，6，10，
可得数据的众数为4，中位数为，所以B不正确；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，若将这组数据每一个都加上0.3，此时平均数变为，
，
则所有新数据方差不变，所以D正确.
故选：ACD.
11. 已知空间中三点，，，则（ ）
A. 向量与互相垂直
B. 与方向相反的单位向量的坐标是
C. 与夹角的余弦值是
D. 在上的投影向量的模为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义、空间向量夹角公式逐一判断即可.
【详解】由已知可得，，.因为，所以与互相垂直，故A正确；，
所以与方向相反的单位向量的坐标是，故B正确；，，，所以，故C正确；在上的投影向量的模为，故D错误.
故选：ABC
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用列表法求解，列出抛掷两个质地均匀的骰子出现的所有情况，再找出抛掷的两个骰子的点数之和是6的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】抛掷两个质地均匀的骰子出现的所有情况有：
共36种情况，
其中“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的有5种，所以所求概率为.
故答案为：
13. 某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为，则该校高一学生的平均身高的估计值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，，且根据样本平均数，求解即可.
【详解】由题意可知，，且
所以样本平均数，
故该校高一学生的平均身高的估计值为．
故答案为：.
14. 如图，二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的加法，转化为，直接求模长即可.
【详解】因为.
所以
所以.
故答案为：.
四、解答题
15. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果?
（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.
【答案】（1）kg
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值.
（2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在90,100，再利用公式计算即可．
（3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，由古典概型求解.
【小问1详解】
由直方图可得，样本落在50,60，60,70，…，90,100的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得．
则样本落在50,60，60,70，…，90,100频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以，该苹果日销售量的平均值为:
.
【小问2详解】
为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在90,100，
所以日销售量的分位数为．
所以，每天应该进苹果．
【小问3详解】
由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.
16. 在正四棱柱中，，是棱 上的中点．
（1）求证：；
（2）异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；
（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值．
小问1详解】
证明：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
，
，
所以；
【小问2详解】
，
设异面直线与所成角的大小为，
则，
故异面直线AM与BC所成角的余弦值为．
17. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.
（1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
（2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案；
（2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案.
【小问1详解】
甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为.
【小问2详解】
乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
.
【小问3详解】
丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：
.
18. 已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个.
（1）从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率；
（2）从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用列举法结合古典概型的概率的计算公式可求概率；
（2）考虑“取到至少一个红球”的对立事件，利用例举法结合古典概型的概率公式可求概率.
【小问1详解】
设甲袋中的红球为，白球为，篮球为，
乙袋中的红球为，白球，篮球为，
则从两袋中各取一球，所有基本事件如下：
，，
，，
故基本事件的总数为.
设为“取到的两球颜色相同”，则含有的基本事件如下：
共5个基本事件，则.
【小问2详解】
如（1）中所设，从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，总的基本事件如下：
，，
，，
，，
基本事件的总数为，
设为“取到至少一个红球”，其对立事件设为，则为“没有取到红球”，
含有的基本事件如下：，共有3个，
故，故.
19. 如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，.
（1）用，，表示，；
（2）求异面直线，所成角的余弦值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；
（2）利用转化法求向量数量积及夹角.
【小问1详解】
因为点，分别在棱，上，且，，
所以，，
所以，
；
【小问2详解】
因为，，，，
所以，，
所以，
，
，
所以，
即异面直线，所成角的余弦值为.
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