广东省揭阳市普宁市2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试题

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一. 选择题: 本大题10小题，每小题3分，共30分.
1-10 : D C D B D C A B C B
二．填空题:本大题５小题，每小题3分，共１５分.
11. ±12 12. -13 13. 160
14. 5.75或534 15. 2,503
三. 解答题（一）:本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16. 解：1x-yx2÷1-2xy-y2x2×1x-1y
=x-yx2÷x2-2xy+y2x2×y-xxy
=x-yx2⋅x2x-y2⋅-x-yxy
=-1xy，……………………………………5分
当x=3-1，y=3+1时，
原式=-13-13+1=-12．…………………7分
17.（1）解：设每头发病生猪平均每天传染x头生猪，
依题意，得：1+x+1+xx=196，
解得：x1=13，x2=-15（不合题意，舍去）．
答：每头发病生猪平均每天传染13头生猪．………………5分
（2）解：3天后生猪发病头数为：196×1+13=2744（头），
2744>2500，
答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头．………………7分
18.（1）解：∵a=1，b=-k+4，c=k+3，
∴Δ=b2-4ac=k+42-4×1×k+3=k2+4k+4=k+22，
∵方程总有两个不相等的实数根，
∴k+22>0，
∴k+2≠0，
∴k≠-2，
∴当k≠-2时，这个方程总有两个不相等的实数根； ………………3分
（2）解：∵x2-k+4x+k+3=0，即x-1x-k+3=0，
∴x-1=0或x-k+3=0，
∴x1=1，x2=k+3，
∴无论k为何值，方程总有一个不变的根为x=1． …………7分
四．解答题（二）: 本大题共3小题，每小题９分，共２７分.
19.（1）40；（2）54，…………各1分
补充图形如图：
………………3分
（3）330；………………4分
（4）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种可能，
∴P（A）=612=12． ………………9分
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，
∵OE=OB，
∴OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，
∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，
∴DE⊥BE； ………………4分
（2）∵OE⊥CD
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠CEO=∠CDE，
∵OB=OE，
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠BED，
∴△BDE∽△DCE，
∴BDCD＝DECE，
∴BD•CE=CD•DE． ………………9分
21.（1）解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份x元，则第二次的进价为x-5元，根据题意，得
15000x=12000x-5
解得：x=25 ………………3分
经检验，x=25是原方程的解；
答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份25元………………4分
（2）解：设降价m元，依题意得，
40-m480+2m=15000
解得：m=10或m=-210（舍去）
∴降价后每份毛肚的实际售价为40-10=30（元）
答：降价后每份毛肚的实际售价为30元 ………………9分
五．解答题（三）:第22题13分，第23题14分.
22. 解（1）菱形，………………1分
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
由折叠的性质得：AF=CF，∠AFE=∠CFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AF=AE，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AF=CF，
∴平行四边形AECF为菱形 ………………4分
（2）PC'与PB的数量关系为：PC'=PB，……………5分
理由如下：
如图2，连接PF，
∵F为BC的中点，
∴BF=CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
由折叠的性质得：CF=C'F，∠C=∠D'C'F=90°，
∴∠PC'F=90°，C'F=BF，
在Rt△PC'F和Rt△PBF中，
PF=PFC'F=BF，
∴Rt△PC'F≌Rt△PBFHL，
∴PC'=PB；……………………………………………9分
（3）EFC'E的值为105或32613 ………………………………13分（每个结果各2分）
分两种情况：
①如图3，若点E为AD的三等分点，且AE=2DE，
∵AD=6，
∴AE=4，DE=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，∠A=∠B=∠D=90°，
过点E作EM⊥BC于M，
则四边形ABME为矩形，
∴BM=AE=4，EM=AB=3，∠EMF=90°，
∴FM=BM-BF=4-1=3，
在Rt△EMF中，由勾股定理得：EF=FM2+EM2=32+32=32，
由折叠的性质得：DE=D'E=2，C'D'=CD=3，∠D=∠D'=90°，
在Rt△C'D'E中，由勾股定理得：CE=C'D'2+D'E2=22+32=13，
∴EFC'E=3213=32613；
②如图4，若点E为AD的三等分点，且DE=2AE，
则DE=4，AE=2，
过点E作EN⊥BC于N，
则∠ENF=90°，
同理可得：FN=1，EN=3，
在Rt△ENF中，EF=FN2+EN2=12+32=10，
由折叠的性质得：DE=D'E=4，C'D'=CD=3，∠D=∠D'=90°，
在Rt△C'D'E中，由勾股定理得：C'E=C'D'2+D'E2=32+42=5，
∴EFC'E=105，
综上所述，EFC'E的值为105或32613．
23. ●问题发现：答案为①③④．…………………3分（错选不给分，漏选且选对的一个1分）
解：●问题发现：
∵O是边BC的中点，△ABC是等边三角形，
∴OB=OC，
又∵BE=CF，
∴OE=OF，所以①正确；
过D作DG∥BE交AB于点G，
∴∠AGD=∠B=60°
∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴∠B=∠DEF=60°，
∴DG∥BE，
∴四边形BEDG为平行四边形，
∴DG=BE≠AD,所以②不正确；
连接AO，DO，
∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴AB=AC，DE=DF,
∵OB=OC,OE=OF
∴AO⊥BC,DO⊥BC，
∴A,D,O三点共线，即AD⊥BE，所以③正确；
由③可知整个图形关于直线AD成轴对称图形，所以④正确；
故答案为：①③④．
●数学思考：AD=3BE，AD⊥BE．…………………5分
理由如下：
连接AO，OD，由图1，OB=OC，BE=CF，
可得OE=OF．△DEF绕着点O旋转，
OE=OF仍然成立．∵△DEF是等边三角形，
∴DO⊥EF，∠EDO=12∠EDF=30°．
∴OD=3OE．
同理，AO⊥OB，OA=3OB．
∴AO:OB=DO:EO=3，∠AOB=∠DOE．
∴∠BOE=∠AOD．
∴△BOE∽△AOD．
∴AD=3BE，∠OAD=∠OBE．
延长BE交AD于H点，交AO于l点，
又∠AIH=BIO，∴△AIH∽△BIO．
∴∠HIA=∠IOB=90°．
∴AD⊥BE．…………………………………………………………9分
●拓展应用
当BE⊥DF时，∵AD⊥BE，∴A，D，F三点共线．
如备用图1，
设BE=xcm，则AD=3xcm．∵AD⊥BE，
∴在Rt△ABH中，3x+22+x+232=82．
解之得：x=-3±15．又x>0，
∴x=15-3
即AD=35-3．
如备用图2．
设BE=ycm，则AD=3ycm．∵AD⊥BE，
∴在Rt△ABH中，y-232+3y-22=82．
解之得：y=3±15．
又y>0，∴y=15+3
即AD=35+3．
综上所述，AD=35±3．………………………………………14分