福建省龙岩市一级校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

这是一份福建省龙岩市一级校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线的倾斜角为30°，且经过点，则直线的方程为（ ）
A.B.C.D.
2.公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（ ）
A.9B.16C.22D.25
3.已知数列，，，则（ ）
A.8B.16C.24D.64
4.从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取4件进行检验，抽出的4件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（ ）
A.B.C.D.
5.已知点关于直线对称的点在圆上，则（ ）
A.1B.C.D.
6.数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibnacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（ ）
A.21B.13C.12D.15
7.已知圆，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（ ）
A.圆关于轴的对称圆的方程为
B.若反射光线与圆相切于点，与轴相交于点，则
C.若反射光线平分圆的周长，则反射光线所在直线的方程为
D.若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为1
8.已知数列的前项和为，，，且关于的不等式有且仅有4个解，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（ ）
A.B.展开式的各项系数的和为
C.展开式的各二项式系数的和为256D.展开式的常数项为第5项
10.传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（ ）
A.7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840
B.7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720
C.7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480
D.7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法
11.已知圆和圆.其中正确的结论是（ ）
A.当时，圆和圆有4条公切线
B.若圆与圆相交，则的取值范围为
C.若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），则实数的值为
D.若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点的坐标为或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知圆，圆，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为__________.
13.已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则的值为__________.
14.在数列相邻的每两项中间插人这两项的平均数，构造成一个新数列，这个过程称为原数列的一次"平均拓展"，再对新数列进行如上操作，称为原数列的二次“平均拓展”.已知数列的通项公式为，现在对数列进行次“平均拓展”，得到一个新数列，记为与之间的次平均拓展之和，为与之间的次平均拓展之和，……，则__________；依此类推，将数列1，3，5，…，21经过次“平均拓展”后得到的新数列的所有项之和记为，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.（13分）
已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
16.（15分）
已知的三个顶点的坐标分别是，，.
（1）求的面积；
（2）求外接圆的方程.
17.（15分）
已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：.
18.（17分）
已知圆和点.
（1）点在圆上运动，且为线段ME的中点，求点的轨迹曲线的方程.
（2）设为（1）中曲线上任意一点，过点向圆引一条切线，切点为.
（i）求的取值范围.
（ii）试探究：在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
19.（17分）
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字命名的函数称为高斯函数，函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.已知数列满足，.
（1）求.
（2）证明：数列是等比数列.
（3）求的个位数.
龙岩市一级校联盟2024—2025学年第一学期半期考联考
高二数学参考答案
1.A 2.C 3.D 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.ACD 10.AD 11.ABD
12.13.1
14.；
解：由题可知表示与之间的次平均拓展之和，
所以数列每次构造所添加的个数相同，因此只需要研究一项即可.
对于而言，
第一次构造得到1，2，3，其中；
第二次构造得到1，，2，，3，其中；
第三次构造得到1，，，…，，3，其中；
第四次构造得到1，，，…，，，3，其中.……
由观察归纳，第次构造得到1，，3，则.
因为经过次“平均拓展”得到的新数列的项分别为1，，3，，5，…，7，…，9，…，，且数列的各项分别为，，…，，
所以.
因为，所以.
15.解：（1）因为，
所以. 6分
（2）令，则， 9分
令，则，可得， 12分
因此. 13分
16.解：（1）已知，，直线的斜率， 2分
则直线的方程为，
点到直线的距离. 5分
又， 6分
所以的面积. 7分
（2）设外接圆的方程为，
把点，，的坐标代入圆的方程，得 10分
可得
所以圆的方程为. 15分
17.（1）解：数列的前项和，当时，，
当时，， 2分
因为也适合上式，
所以. 3分
设数列的公比为，因为，
所以，解得， 5分
又，所以.5分
（2）证明：由题意得
设数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则
， 10分
，
所以，11分
两式相减得， 13分
所以， 14分
故， 15分
18.解:（1）设，，则 1分
由点在圆上运动，得，所以，
则即为点的轨迹曲线的方程.4分
（2）（i）依题意得线与圆相切于点，所以， 5分
当（为坐标原点），，三点共线时，取得最大值7和最小值3， 7分
所以的取值范围为.9分
（ii）设为曲线上任意一点.
假设在轴上存在定点（异于点）满足条件，设，
因为为圆的切线，且圆的半径为1，
所以.13分
对恒为定值，
必有，得，则或（舍去），16分
所以在轴上存在定点，使得为定值.17分
19.（1）解:.3分
（2）证明：由题可得为正整数，则，
所以数列为递增数列， 5分
当时，.
当时，，即， 6分
所以，即. 7分
由. 8分
结合，均为正整数，可得，其中，
而，故，其中.
所以，由，得，
所以，故数列是以为首项，3为公比的等比数列.
（3）解:由（2）可得，， 12分
，
因为为10的倍数，
所以，故的个位数为4. 17分