上海市实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份上海市实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共7页。试卷主要包含了11，已知集合，，则______，不等式的解集为_____，若，，则的取值范围是_____，关于的不等式的解集为_____等内容，欢迎下载使用。
一.填空题
1.已知集合，，则______.
2.不等式的解集为_____.
3.若，，则的取值范围是_____.
4.已知，，且，则的最小值为_____.
5.若存在，使得成立，则的取值范围是
6.已知对于任意，，则实数的取值范围为_____.
7.已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是_____.
8.关于的不等式的解集为_____.
9.若实数、、满足，，则的最小值是_____.
10.将在区间上的最大值记为，则的最小值为_____.
二.选择题
11.以下选项中，是集合的元素的是（ ）
A.B.C.D.
12.如果、、满足且，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A.B.C.D.
13.大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为、两地的大气压强分别为、.若测得某地的大气压强为，则该地的海拔约为（ ）
A.2415B.2653C.2871D.3025
14.已知：集合或集合，，则是的（ ）条件
A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要
三.解答题
15.（1）已知，，试用、表示；
（2）已知，求的值.
16.解关于的不等式：.
17.集合，，.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求的取值范围.
18.对给定的正整数，令.对任意、，定义与的距离，设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征值，记作.
（1）设，，直接写出集合、的特征值；
（2）当时，求证：存在集合满足对任意，都存在唯一的，使得，且中不同元素之间的距离为4049；
（3）当时，且，求中元素个数的最大值（用表示）.
四.附加题
19.已知集合中的元素都是正整数，且，集合具有性质：对任意的、，且，都有.
（1）求证：；
（2）求集合中元素个数的最大值，并说明理由.
20.已知，，、、、，满足：对任意，则，如果，则的最小元素不等于中的最大元素，也不等于中的最大元素.
（1）当时，列出，，；
（2）当时，求出的最大值并说明理由.
参考答案
一.填空题
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
二.选择题
11.A 12.B 13.C 16.C
三.解答题
15.【详解】（1）
（2），
16.【详解】
①时，解集为
②时，解集为
③，解集为
④时，解集为
⑤时，解集为
17.（1）由，得或，则{或}.
若，则，，
所以{或}.
（2）①时，，此时，解得
②时，，此时恒成立.
因此
（3）
①时，，若，，恒成立.
②时，，若，，无实数解
③时，，则，无实数解
综上所述，
18.【详解】（1）由题意可知：对任意，，且，均有，
对于集合：对任意，，且，
均有，所以；
集合取或或，
可得，所以.
所以，.
（2）对任意，，则，且，，
对任意，定义，
则，
且对任意，则，
令集合，由可知满足中不同元素之间的距离为4049，
由题意可知：对任意，且，均有，
若，则令，即满足；
若，则令，则，即满足
综上所述：存在集合满足对任意，都存在唯一的，使得，且中不同元素之间的距离为4049.
（3）由题意可知：对任意，，且，均有，
对任意的，
即，
则，故，
即对任意，均能对应一个元素，
令集合，则，
则且和的元素个数相同，
又因为中共有个元素，其中至多一半属于，故中至多有个元素；
设是偶数，此时
{是奇数}，
都有中的元素个数为，
易得与奇偶性相同，
可知为偶数，又，则，所以，
注意到，且它们的距离为2，
故此时满足题意；
综上所述：中元素个数的最大值为.
四.附加题
19.【详解】（1）依题意有：，
又，可得：，
所以有：，即.；得证；
（2）取集合符合要求，猜想最大值为7.
假设，首先，由得，即，其次，，此时矛盾.故假设不成立，最大值为7.
20.
1），，
2）
一方面，考虑为的非空子集，令，显然满足要求，.
另一方面，所有的子集中，去除和，剩下所有集合分两类，A类：最大元素为,1任取，B：最大元素为,1到取法与A补.两类集合一一对应，且不能同时取.举例：,因此.
综上所述.