2022年高考数学导学练系列导数及其应用教案苏教版

这是一份2022年高考数学导学练系列导数及其应用教案苏教版，共19页。

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.
2. 熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数)， 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．
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导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.
第1课时 变化率与导数、导数的计算
基础过关
1．导数的概念：函数y＝的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的 ，即＝ ＝ ．
2．导函数：函数y＝在区间(a, b)内 的导数都存在，就说在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的 ，记作或，函数的导函数在时的函数值 ，就是在处的导数.
3．导数的几何意义：设函数y＝在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 .
4．求导数的方法
(1) 八个基本求导公式
＝ ； ＝ ；(n∈Q)
＝ ， ＝
＝ ， ＝
＝ ， ＝
(2) 导数的四则运算
＝ ＝
＝ ，＝
(3) 复合函数的导数
设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导， 且＝ ，即.
典型例题
例1．求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
解 ∵Δy=

变式训练1. 求y=在x=x0处的导数.
解
例2. 求下列各函数的导数：
（1） （2）
（3） （4）
解 (1)∵
∴y′
（2）方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.
方法二 =
=（x+3）+（x+1）（x+2）
=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.
（3）∵y=
∴
（4） ，
∴
变式训练2：求y=tanx的导数.
解 y′
例3. 已知曲线y=
（1）求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.
解 （1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4. 
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
（2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，
则切线的斜率k=|=.
∴切线方程为即
∵点P（2，4）在切线上，∴4=
即∴
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= .
答案 2或
例4. 设函数 (a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
（1）解 ，
于是解得或
因为a,bZ，故
（2）证明 在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为
．
令x=1，得，切线与直线x=1交点为．
令y=x，得，切线与直线y=x的交点为．
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值2.
变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.
解 ∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1. ①
又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）.
故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
∴b=0，d=0. ②
∴f（x）=ax4+cx2+1.
∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）.
∴a+c+1=-1. ③
∵=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1. ④
由③④得a=，c=.∴函数y=f（x）的解析式为
小结归纳
1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。
2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.
3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.
第2课时 导数的概念及性质
基础过关
1． 函数的单调性
⑴ 函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为 ；若＜0，则为 .（逆命题不成立）
(2) 如果在某个区间内恒有，则 .
注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.
(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
① 确定函数的 ；
② 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
③ 把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；
④ 确定在各小开区间内的 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.
2．可导函数的极值
⑴ 极值的概念
设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 （或 ），则称为函数的一个极大（小）值．称为极大（小）值点.
⑵ 求可导函数极值的步骤：
① 求导数；
② 求方程＝0的 ；
③ 检验在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得 .
3．函数的最大值与最小值：
⑴ 设y＝是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝在(a ,b )内有导数，则函数y＝在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值．
(2) 求最值可分两步进行：
① 求y＝在(a ,b )内的 值；
② 将y＝的各 值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(3) 若函数y＝在[a ,b ]上单调递增，则为函数的 ，为函数的 ；若函数y＝在[a ,b ]上单调递减，则为函数的 ，为函数的 .
典型例题
例1. 已知f(x)=ex-ax-1.
（1）求f(x)的单调增区间；
（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解：=ex-a.
（1）若a≤0，=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.
若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).
（2）∵f（x）在R内单调递增，∴≥0在R上恒成立.
∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.
∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0.
（3）方法一 由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.
∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数.
∴x=0时，exx-a≥0在［0，+∞）上恒成立.
∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.
方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴=0,即e0-a=0,∴a=1.
变式训练1. 已知函数f(x)=x3-ax-1.
（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.
（1）解 由已知=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，
∴=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，=3x2≥0,
故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0.
（2）解 由=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.
∵-1