2022年高考数学回归课本圆锥曲线一教案旧人教版

这是一份2022年高考数学回归课本圆锥曲线一教案旧人教版，共10页。教案主要包含了基础知识，方法与例题，基础训练题，高考水平测试题等内容，欢迎下载使用。

一、基础知识
1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c).
第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(00)。
3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆
，
a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由c2+b2=a2知00), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.
5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为
；
2）斜率为k的切线方程为；
3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为
。
6．双曲线的定义，第一定义：
满足||PF1|-|PF2||=2a(2a0)的点P的轨迹；
第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。
7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为
，
参数方程为（为参数）。
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为
。
8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线
(a, b>0),
a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e>1。两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。
9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.
2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是。
10．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px(p>0)，离心率e=1.
11．抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点，
1）焦半径|PF|=；
2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；
3）过焦点倾斜角为θ的弦长为。
12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。
13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若00）.F坐标为(-c, 0).设另一焦点为。连结，OP，则。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.
所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a>|FO|=c），将此椭圆按向量m=(,0)平移，得到中心在原点的椭圆：。由平移公式知，所求椭圆的方程为
[解法二] 相关点法。设点P(x,y), A(x1, y1)，则，即x1=2x+c, y1=2y. 又因为点A在椭圆上，所以代入得关于点P的方程为。它表示中心为，焦点分别为F和O的椭圆。
例4 长为a, b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。
[解] 设P(x, y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A(x-,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 记O为原点，由圆幂定理知|OA|•|OB|=|OC|•|OD|，用坐标表示为，即
当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；
当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；
当a0, b>0)的右焦点F作B1B2轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。
[证明] 设点B，H，F的坐标分别为(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0)，则F1，B1，B2的坐标分别为(-c, 0), (c, ), (c, )，因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以
①
所以
。
由①得
代入上式得
即 （定值）。
注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。
例7 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。证明：直线AC经过定点。
[证明] 设，则，焦点为，所以，，，。由于，所以•y2-y1=0，即=0。因为，所以。所以，即。所以，即直线AC经过原点。
例8 椭圆上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：为定值。
[证明] 设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=，则点A，B的坐标分别为A(r1csθ, r1sinθ),B(-r2sinθ,r2csθ)。由A，B在椭圆上有
即 ①
②
①+②得（定值）。
4．最值问题。
例9 设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。
[解] 由题设a=1，b=,记|OA|=r1,|OB|=r2,，参考例8可得=4。设m=|AB|2=,
因为，且a2>b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤。又函数f(x)=x+在上单调递减，在上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当或时，|AB|取最大值。
例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆C：1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。
[解] 设A，B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为，半径|CA|=1，因为|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值，所以|BC|最大值为
因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,,t，椭圆方程为，并设点B坐标为B(2tcsθ,tsinθ)，则|BC|2=(2tcsθ)2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2.
若，则当sinθ=-1时，|BC|2取最大值t2+3t+，与题设不符。
若t>,则当sinθ=时，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.
所以椭圆方程为。
5．直线与二次曲线。
例11 若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。
[解] 抛物线y=ax2-1的顶点为(0,-1)，对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P(x1,y1)，(-y1,-x1)，满足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相减得x1+y1=a(),因为P不在直线x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+
所以此方程有不等实根，所以，求得，即为所求。
例12 若直线y=2x+b与椭圆相交，（1）求b的范围；（2）当截得弦长最大时，求b的值。
[解] 二方程联立得17x2+16bx+4(b2Δ>0，得0)，抛物线C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1。
（1）求证：C1，C2总有两个不同的交点。
（2）问：是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使ΔAOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的方程与SΔAOB的最值，若不存在，说明理由。