2025年高频考点归纳与方法总结(新高考通用)专题09三角函数及图象性质应用-五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(学生版+解析)

这是一份2025年高频考点归纳与方法总结(新高考通用)专题09三角函数及图象性质应用-五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(学生版+解析)，共22页。试卷主要包含了若α为第四象限角，则，已知，且，则，若，则，已知命题若为第一象限角，且，则，已知，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

考点01 三角函数概念
1．(2020年高考课标Ⅱ卷)若α为第四象限角，则 ( )
A．cs2α>0B．cs2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0
2．(2020年高考课标Ⅰ卷)已知，且，则 ( )
A．B．C．D．
3．(2021年高考全国甲卷)若，则 ( )
A．B．C．D．
4．(2020年高考课标Ⅲ)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= ( )
A．–2B．–1C．1D．2
5．（2024·全国·高考甲卷）已知，则（ ）
A．B．C．D．
二 填空
6．(2021高考北京·)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．
7．(2023年北京卷)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．
考点02 三角函数恒等变形
1 （2024·全国·高考Ⅰ卷）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知，则( )
A．B．C．D．
3．(2023年新课标全国Ⅱ卷·)已知锐角，，则 ( )．
A．B．C．D．
4．(2021年新高考Ⅰ卷·)若，则 ( )
A B． C． D．
5．(2022新高考全国II卷·)若，则( )
A．B．
C D．
二 填空
6．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
考点03 三角函数图像及性质
1（2024·全国·高考Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（ ）
A．B．C．0D．
二、多选题
10．(2022年高考全国甲卷)已知，则 ( )
A．B．C．D．
11．(2022新高考全国I卷·)记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则 ( )
A．1B．C．D．3
12．(2021高考北京·)函数是 ( )
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
二 填空
13．（2024·全国·高考甲卷）函数在上的最大值是 ．
14．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
15．(2021年高考全国甲卷)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
16．(2020年高考课标Ⅲ卷)关于函数f(x)=有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称．
②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x=对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
考点04 三角函数综合应用
1．(2022年高考全国甲卷数学)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．(2020北京高考·)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(Day)．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形(各边均与圆相切的正边形)的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是( )．
A．B．
C．D．
二 填空
3．(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
4．(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．

三 解答题
5 (2023年北京卷)设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
考点
五年考情（2020-2024）
命题趋势
考点01 三角函数概念
2024 甲卷
2023 北京卷
2021甲卷 北京卷
2020 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
终边角问题以及同角三角函数关系是高考的一个方向
考点02 三角函数恒等变形
2024 ⅠⅡ卷
2023 ⅠⅡ卷
2022 Ⅱ 卷
2021 Ⅰ卷
三角函数恒等变换是高考数学高频考点，常考是二倍角公式的应用
考点03 三角函数图像及性质
2024 北京 天津 Ⅰ Ⅱ 甲卷
2023 甲 乙卷
2022 北京 甲 Ⅰ卷
2021 北京 甲 Ⅰ卷
2020 Ⅰ Ⅲ卷
三角函数图象伸缩变换及图象定区间最值极值问题是高考的重难点
考点04 三角函数综合应用
2023 ⅠⅡ 卷
2022 甲卷
2020 北京卷
三角函数中ω的范围问题三角函数综合性质应用的重难点

专题09 三角函数及图象的应用


考点01 三角函数概念
1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第2题)若α为第四象限角，则( )
A．cs2α>0B．cs2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0
【答案】D
【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D．
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D．
2．(2020年高考课标Ⅰ卷)已知，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或(舍去)，
又．故选：A．
3．(2021年高考全国甲卷)若，则( )
A．B．C．D．
【答案】A【解析】
，
，，，解得，
，故选：A．
4．(2020年高考课标Ⅲ)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=( )
A．–2B．–1C．1D．2
【答案】D
【解析】，，
令，则，整理得，解得，即．故选：D．
5．（2024·全国·高考甲卷）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以，所以，故选：B.
二 填空
6．(2021高考北京·)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．
【答案】(满足即可)
【解析】与关于轴对称，即关于轴对称，
，则，当时，可取的一个值为．
故答案为：(满足即可)．
7．(2023年北京卷)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．
【答案】①． ②．
【解析】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则．
不妨取，即满足题意．故答案为：．
考点02 三角函数恒等变形
1 （2024·全国·高考Ⅰ卷）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第8题)已知，则( )．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，而，因此，
则，
所以．故选：B
2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·)已知锐角，，则( )．
A．B．C．D．
【答案】D
解析:因为，而为锐角，
解得：．故选：D．
2．(2021年新高考Ⅰ卷·)若，则( )
A B． C． D．
【答案】C
解析:将式子进行齐次化处理得：
,故选C．
5．(2022新高考全国II卷·)若，则( )
A．B．
C D．
【答案】C
【解析】由已知得：,
即：，
即： 所以, 故选：C
二 填空
6．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
考点03 三角函数图像及性质
1（2024·全国·高考Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C
2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，且，所以.故选：B.
3．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A【详解】，由得，
即，当时，，
画出图象，如下图，
由图可知，在上递减，
所以，当时，
故选：A
二、多选题
4．（2024·全国·高考Ⅱ卷）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC
5．(2023年全国乙卷)已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，故选：D．
6．(2023年全国甲卷)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为．故选：C．
7．(2021年新高考Ⅰ卷·)下列区间中，函数单调递增的区间是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析:因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件,故选A．
8．(2020年高考课标Ⅰ卷)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为故选：C
9．(2022高考北京卷·)已知函数，则( )
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C解析:因为．
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错．故选,C．
10．(2022年高考全国甲卷)已知，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为,因为当
所以,即,所以；设，
，所以在单调递增，则,所以，
所以,所以，故选：A
11．(2022新高考全国I卷·)记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则( )
A．1B．C．D．3
【答案】A解析: 由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以． 故选：A
12．(2021高考北京·)函数是( )
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【解析】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值． 故选：D．
二 填空
13．（2024·全国·高考甲卷）函数在上的最大值是 ．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
14．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值.
【详解】由题意，从而，
因为，所以的取值范围是，的取值范围是，
当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
15．(2021年高考全国甲卷)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
【解析】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；所以．
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2．

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．故答案为：2．
16．(2020年高考课标Ⅲ卷)关于函数f(x)=有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称．
②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x=对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误．故答案为：②③．
考点04 三角函数综合应用
1．(2022年高考全国甲卷数学)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，图象如下所示：
则，解得，即．故选：C．
故答案为：．
4．(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．

【答案】
【解析】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．故答案为：．
三 解答题
5 (2023年北京卷)设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)． (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，．
【解析】(1)因为
所以，因为，所以．
(2)因为，
所以，所以的最大值为，最小值为．
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，又因为，所以，
所以，所以，因为，所以．
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即．以下与条件②相同．
考点
五年考情（2020-2024）
命题趋势
考点01 三角函数概念
2024 甲卷
2023 北京卷
2021甲卷 北京卷
2020 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
终边角问题以及同角三角函数关系是高考的一个方向
考点02 三角函数恒等变形
2024 ⅠⅡ卷
2023 ⅠⅡ卷
2022 Ⅱ 卷
2021 Ⅰ卷
三角函数恒等变换是高考数学高频考点，常考是二倍角公式的应用
考点03 三角函数图像及性质
2024 北京 天津 Ⅰ Ⅱ 甲卷
2023 甲 乙卷
2022 北京 甲 Ⅰ卷
2021 北京 甲 Ⅰ卷
2020 Ⅰ Ⅲ卷
三角函数图象伸缩变换及图象定区间最值极值问题是高考的重难点
考点04 三角函数综合应用
2023 ⅠⅡ 卷
2022 甲卷
2020 北京卷
三角函数中ω的范围问题三角函数综合性质应用的重难点