高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布导学案，共63页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3等内容，欢迎下载使用。

知识点1：正态曲线
（1）连续型随机变量
除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
（2）正态的曲线的定义
函数，其中,为参数.
显然对于任意，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
①函数的自变量为,定义域为
②解析式中含有两个常数和,这两个是无理数，其中为圆周率，为自然对数的底数
③解析式中含两个参数和,其中可取任意实数，,不同的正态曲线和的取值是不同的.
④解析式的前面是一个系数，后面是一个以为底的指数函数的形式,指数为,其中这个参数在解析式中的两个位置出现，注意保持一致.
（3）正态曲线的几何意义
由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形（图中阴影部分）的面积，就是落在区间的概率的近似值.
（4）正态曲线的特点
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在时达到峰值；
④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近.
⑤曲线与轴之间的面积为1；
⑥决定曲线的位置和对称性；
当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。
⑦确定曲线的形状；
当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
知识点2：正态分布
（1）正态分布
若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为.
【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）设随机变量，若，则等于（ ）
A．0.2B．0.7C．0.8D．0.9
【答案】A
【详解】由题意知，正态曲线的对称轴为，与关于对称，
所以．
所以．
故选：A．
（2）标准正态分布
若随机变量,则当,时，称随机变量服从标准正态分布，标准正态分布的密度函数解析式为,,其相应的密度曲线称为标准正态曲线.
【即学即练2】（2024上·江西上饶·高二江西省广丰中学校考期末）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）

A．Y的数据较X更集中
B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．
【答案】D
【详解】观察图象知，，
对于A，的密度曲线瘦高、的密度曲线矮胖，即随机变量的标准差小于的标准差，即，
因此Y的数据较X更集中，A正确；
对于B，显然，则当有34min可用时，坐公交车不迟到的概率大，B正确；
对于C，显然，则当有38min可用时，骑自行车不迟到的概率大，C正确；
对于D，显然，因此，D错误.
故选：D
知识点3：正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值
假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值.
特别地，，
，
.
上述结果可用右图表示.
此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则.
【即学即练3】（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（ ）参考数据：，，．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可知，，，
所以．
故选：A
题型01正态密度函数
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大
【典例2】（2024·全国·高二假期作业）某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数， x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望 ，方差 ．
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大
【变式3】（多选）（2024·全国·高三专题练习）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，若从中随机取一件，
则下列结论正确的是（ ）．
（附：若随机变量服从正态分布，则，，．
A．
B．长度误差落在内的概率为0.6826
C．长度误差落在内的概率为0.1359
D．长度误差落在内的概率为0.1599
题型02概率分布曲线的认识
【典例1】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024·全国·高二假期作业）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【典例3】（2023下·高二课时练习）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（注：正态曲线的函数解析式为，）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·全国·高二假期作业）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（多选）（2023上·全国·高三专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
题型03标准正态分布的应用
【典例1】（2023下·江苏淮安·高二校考阶段练习）我省高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么D等级的原始分最高大约为（ ）
附：①若，，则；
②当时，.
A．23B．29C．26D．43
【典例2】（多选）（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，定义函数为X取值不超过x的概率，即．若，则（ ）
A．B．
C．在上是减函数D．
【典例3】（2024·山西·校联考模拟预测）2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．
参考数据：，．若，则．
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、，B、、C、、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩～，那么D等级的原始分最高大约为（ ）
附：①若～，，则Y～；②当Y～时，.
A．23B．29C．36D．43
【变式2】（多选）（2023下·高二课时练习）若随机变量，，其中，下列等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（多选）（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X~N(0，1)，，其中x>0，则下列等式成立的有（ ）
A．f(-x)=1-f(x)B．
C．f(x)在(0，+∞)上是单调增函数D．
题型04 特殊区间的概率
【典例1】（2024·全国·模拟预测）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ）
（若随机变量，则，，）
A．236B．246C．270D．275
【典例2】（2024上·黑龙江·高二校联考期末）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 .
参考数据：若，则.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ．
参考数据：若，则，，．
【变式1】（多选）（2024上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则（ ）
，，）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·四川内江·统考一模）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为 .
（参考数据：若随机变量，则，，）
【变式3】（2024上·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为 ．（用百分数作答，精确到0.1%）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
题型05指定区间的概率
【典例1】（2024·重庆·统考一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（ ）
A．0.642B．0.648C．0.722D．0.748
【典例2】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）己知随机变量，则（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.7
【典例3】（2024·全国·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，若，则 ．
【变式1】（2024上·河南焦作·高二统考期末）已知随机变量，且，则（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【变式2】（多选）（2024上·广西桂林·高二统考期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（ ）
A．该正态分布的均值为B．
C．D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
题型06正态分布的实际应用
【典例1】（2024上·江西九江·高二统考期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有 件.
（注：）
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）2023年国家公务员考试笔试于1月8日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，恰有2名考生的成绩高于85的概率为 ．
【典例3】（2024上·全国·高三期末）据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.

(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩，其中近似为女生短跑平均成绩近似为样本方差，经计算得，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在内的人数为，求（结果保留2个有效数字）.
附参考数据：，随机变量服从正态分布，则.
【变式1】（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值近似服从正态分布.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段内抽取学生，且.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段内的人数为 人
（附：，，）
【变式2】（2024上·江苏扬州·高三统考期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为.
(1)求，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；
(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若，则，当较大且较小时，我们为了简化计算，常用的值估算的值.
请根据上述信息，求：
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据：若，则.
【变式3】（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径（单位：厘米），如下表：
计算得：.
(1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差.
(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.
记事件：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间.
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.在这个条件下，求，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若，
则.
参考数据：.
题型07 原则
【典例1】（2024下·全国·高三期末）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.
(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量，则；；.
【典例2】（2023下·江苏徐州·高二统考期中）电影《流浪地球2》中有许多可行驶、可作业、可变形的UEG地球联合政府机械设备，均出自中国工程机械领导者品牌—徐工集团.电影中有很多硬核的装备，其实并不是特效，而是用国产尖端装备设计改造出来的，许多的装备都能在现实中寻找到原型.现集团某车间新研发了一台设备，集团对新设备的具体要求是：零件内径（单位：mm）在范围之内的产品为合格品，否则为次品；零件内径X满足正态分布．
(1)若该车间对新设备安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是该车间的负责人，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
(2)若该设备符合集团的生产要求，现对该设备生产的10000个零件进行跟踪调查．
①10000个零件中大约有多少个零件的内径可以超过200.12mm？
②10000个零件中的次品的个数最有可能是多少个？
参考数据：
若随机变量，则，，
，，．
【典例3】（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及X的数学期望．
参考公式：直方图的方差，其中为各区间的中点，为各组的频率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，，．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ．
参考数据：若，则，，．
【变式2】（2023下·福建泉州·高二校考期中）某车间生产一批零件，现从中随机抽取个零件，测量其内径的数据如下（单位：）：
.
设这个数据的平均值为，标准差为．
(1)求与；
(2)假设这批零件的内径（单位：）服从正态分布．从这批零件中随机抽取个，设这个零件中内径小于的个数为，求.
参考数据：若，则，，．
【变式3】（2023下·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）新高考改革后江苏省采用“”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门.
(1)若按照“”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布.
①估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有多少人；
②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.
附：，，.
题型08根据正态曲线的对称性求参数
【典例1】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A．B．C．D．1
【典例2】（2024·全国·模拟预测）设随机变量服从正态分布，若，且，则 ．
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量,且，若,则的最小值为 ．
【变式1】（2024上·广西北海·高二统考期末）已知随机变量，且，则（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
【变式2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）设随机变量ξ服从正态分布，若，则下列结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则 ．
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
1．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量，若，则等于（ ）
A．0.2B．0.7C．0.8D．0.9
2．（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）
A．0.8B．0.6C．0.4D．0.3
3．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（ ）参考数据：，，．
A．B．C．D．
4．（2024上·江西上饶·高二江西省广丰中学校考期末）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）

A．Y的数据较X更集中
B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．
5．（2024·全国·高二假期作业）据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为（ ）
附：，，，
A．0.4987B．0.8413C．0.9773D．0.9987
6．（2024·重庆·统考一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（ ）
A．0.642B．0.648C．0.722D．0.748
7．（2024上·广西北海·高二统考期末）已知随机变量，且，则（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
8．（2024·全国·模拟预测）据统计，某快递公司的200名快递员每人每月派送的快递件数X服从正态分布，且，若每月派送的快递件数不低于4000的快递员有60人，则每月派送的快递件数在(2000，3000)的快递员人数为（ ）
A．40B．60C．70D．80
二、多选题
9．（2024上·广西桂林·高二统考期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（ ）
A．该正态分布的均值为B．
C．D．
10．（2024下·全国·高二随堂练习）某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C．甲生产线的产品尺寸平均值等于乙生产线的产品尺寸平均值
D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值
三、填空题
11．（2024上·江西九江·高二统考期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有 件.
（注：）
12．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值近似服从正态分布.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段内抽取学生，且.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段内的人数为 人
（附：，，）
四、解答题
13．（2024上·全国·高三期末）大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．

(1)根据频率分布直方图确定的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）；
(2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）?
参考数据：若，则，，．
14．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值．
参考数据：若，则．
(1)求的值；
(2)估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？
(3)若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则n为何值时，的值最大？
B能力提升
1．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为.
(1)求，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；
(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若，则，当较大且较小时，我们为了简化计算，常用的值估算的值.
请根据上述信息，求：
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据：若，则.
2．（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：
(1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上；
(2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率.
（参考数据：）
3．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径（单位：厘米），如下表：
计算得：.
(1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差.
(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.
记事件：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间.
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.在这个条件下，求，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若，
则.
参考数据：.
4．（2024下·全国·高二随堂练习）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表：
(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为，求的分布列与期望；
(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，其中可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.
参考数据：若，则①；②；③.
课程标准
学习目标
①通过误差模型初步了解服从正态分布
的随机变量的特点。
②并能通过具体的实例，借助频率直方图的几何直观性，了解正态分布的特征，了解正态密度函数的性质。
③了解正态分布的均值、方差及含义。
④了解 原则，能通过具体的实例求会求指定区间的概率，以及解决简单的正态分布问题.。
通过本节课的学习，要求在了解正态分布的含义基础上，能解决与正态分布相关的问题，根据正态密度曲线的对称性，增减性，求特定区间的概率，相应的参数及解决简单的正态分布的应用问题。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
28.7
27.2
31.5
35.8
24.3
33.5
36.3
26.7
28.9
27.4
25.2
34.5
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
旅游消费支出
频数
12
388
452
138
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
28.7
27.2
31.5
35.8
24.3
33.5
36.3
26.7
28.9
27.4
25.2
34.5
时间段
频数
100
300
m
n
第08讲 7.5 正态分布
知识点1：正态曲线
（1）连续型随机变量
除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
（2）正态的曲线的定义
函数fx=1σ2πe−x−μ22σ2，其中μ∈R,σ>0为参数.
显然对于任意x∈R，fx>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称fx为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
①函数的自变量为x,定义域为R
②解析式中含有两个常数π和e,这两个是无理数，其中π为圆周率，e为自然对数的底数
③解析式中含两个参数μ和σ,其中μ可取任意实数，σ>0,不同的正态曲线μ和σ的取值是不同的.
④解析式的前面是一个系数1σ2π，后面是一个以e为底的指数函数的形式,指数为−(x−μ)22σ2,其中σ这个参数在解析式中的两个位置出现，注意保持一致.
（3）正态曲线的几何意义
由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形（图中阴影部分）的面积，就是X落在区间[a,b]的概率的近似值.
（4）正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；
③曲线在x=μ时达到峰值1σ2π；
④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.
⑤曲线与x轴之间的面积为1；
⑥μ决定曲线的位置和对称性；
当σ一定时，曲线的对称轴位置由μ确定；如下图所示，曲线随着μ的变化而沿x轴平移。
⑦σ确定曲线的形状；
当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
知识点2：正态分布
（1）正态分布
若随机变量X的概率密度函数为fx=1σ2πe−(x−μ)22σ2，(x∈R,其中μ∈R，σ>0为参数)，称随机变量X服从正态分布，记为X∼N(μ,σ2).
【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X～N4,σ2，若PX>m=0.8，则PX>8−m等于（ ）
A．0.2B．0.7C．0.8D．0.9
【答案】A
【详解】由题意知，正态曲线的对称轴为x=4，m与8−m关于x=4对称，
所以PX<8−m=PX>m=0.8．
所以PX>8−m=1−0.8=0.2．
故选：A．
（2）标准正态分布
若随机变量X∼N(μ,σ2),则当μ=0,σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布，标准正态分布的密度函数解析式为fx=12πe−x22,x∈R,其相应的密度曲线称为标准正态曲线.
【即学即练2】（2024上·江西上饶·高二江西省广丰中学校考期末）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）

A．Y的数据较X更集中
B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．P(X>30)+PY≤30=1
【答案】D
【详解】观察图象知，X~N30,σ12,Y~N34,σ22，
对于A，Y的密度曲线瘦高、X的密度曲线矮胖，即随机变量Y的标准差小于X的标准差，即σ1>σ2，
因此Y的数据较X更集中，A正确；
对于B，显然P(X≤34)>12=P(Y≤34)，则当有34min可用时，坐公交车不迟到的概率大，B正确；
对于C，显然P(X≤38)对于D，显然P(X>30)=12,P(Y≤30)30)+P(Y≤30)<1，D错误.
故选：D
知识点3：正态分布的3σ原则：正态分布在三个特殊区间的概率值
假设X∼N(μ ， σ2)，可以证明：对给定的k∈N∗ ， P(μ−kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.
特别地，P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，
P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，
P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
上述结果可用右图表示.
此看到，尽管正态变量的取值范围是(−∞,+∞)，但在一次试验中，X的值几乎总是落在区间[μ−3σ,μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ−3σ,μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
【即学即练3】（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）某市高三年级男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（ ）参考数据：Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.683，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.954，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.997．
A．0.477B．0.478C．0.479D．0.480
【答案】A
【详解】由题意可知，μ=171，σ=4，
所以．
故选：A
题型01正态密度函数
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究､应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为fx=1102πe−(x−100)2200，x∈R，则下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为100cm
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在90,100和在（单位：cm）的概率一样大
【答案】C
【详解】依题意μ=100,σ=10，
所以平均数为100cm，方差为σ2=100，所以AB选项正确.
依题意PX≥100+20=PX≤100−20,PX≥120=PX≤80，
而PX≤80>PX≤70，即PX≥120>PX≤70，所以C选项错误.
P100−10故选：C
【典例2】（2024·全国·高二假期作业）某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数f(x）=1102πe−(x−80)2200， x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
【答案】B
【详解】∵密度函数f(x）=1102πe−x−802200，
∴该市这次考试的数学平均成绩为80分
该市这次考试的数学标准差为10，
从图形上看，它关于直线x=80对称，
且50与110也关于直线x=80对称，
故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同.
故选B.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，若一个随机变量X服从某正态分布X~Nμ,σ2，且已知函数fx=1σ2πe−x−μ22σ2的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望EX= ，方差DX= ．
【答案】 5 1
【详解】由图可知，当x=5时，fx=1σ2πe−x−μ22σ2有最大值为2π2π，
所以μ=5,σ=1，
所以X~N5,1，所以EX=μ=5，DX=σ2=1，
故答案为:5;1.
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）已知三个正态分布密度函数fix=12πσie−x−μi22σi2x∈R,i=1,2,3的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．μ1=μ2>μ3，σ1=σ2>σ3
B．μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3
C．μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3
D．μ1=μ2>μ3，σ1=σ2<σ3
【答案】B
【详解】根据正态分布密度函数中参数μ，σ的意义，
结合图象可知f2x，f3x对称轴位置相同，所以可得μ2=μ3；
且都在f1x的右侧，即μ1<μ2=μ3，
比较f1x和f2x图像可得，其形状相同，即σ1=σ2，
又f3x的离散程度比f1x和f2x大，所以可得σ1=σ2<σ3；
故选：B
【变式2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布Bn,p，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布Nμ,σ2，其密度函数φμ,σx=12πσe−x−μ22σ2，x∈R.任意正态分布X∼Bμ,σ2，可通过变换Z=X−μσ转化为标准正态分布（μ=0且σ=1）.当Z∼N0,1时，对任意实数x，记tx=PZA．t−x=1−tx
B．当x>0时，PZC．随机变量X∼Nμ,σ2，当μ减小，σ增大时，概率PX−μ<σ保持不变
D．随机变量X∼Nμ,σ2，当μ，σ都增大时，概率PX−μ<σ单调增大
【答案】AC
【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：t(−x)=P(Z<−x)=P(Z≥x)=1−P(Z对于B, 当x>0时，tx=PZ对于C，D，根据正态分布的3σ准则，在正态分布中σ代表标准差，μ代表均值,
x=μ即为图象的对称轴，根据3σ原则可知X数值分布在μ−σ,μ+σ中的概率为0.6826，是常数，
故由P(|X−μ|<σ)=P(μ−σ故选：AC
【变式3】（多选）（2024·全国·高三专题练习）已知某批零件的长度误差X服从正态分布N(μ,σ2)，其密度函数的曲线如图所示，若从中随机取一件，
则下列结论正确的是（ ）．
（附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974．)
A．σ=3
B．长度误差落在(−3,3)内的概率为0.6826
C．长度误差落在(3,6)内的概率为0.1359
D．长度误差落在(3,9)内的概率为0.1599
【答案】ABC
【详解】由图中密度函数解析式，可得σ=3，A选项正确；
又由图像可知μ=0，
则长度误差落在(−3,3)内的概率为
P−3长度误差落在(3,6)内的概率为
P3=12(0.9544−0.6826)=0.1359，C选项正确；
长度误差落在(3,9)内的概率为
P3故选：ABC.
题型02概率分布曲线的认识
【典例1】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量ξ服从正态分布，ξ的分布密度曲线如图所示，若P(ξ<0)=p，则P(0<ξ<1)与分别为（ ）
A．12−p,12B．p,12C．12−p,14D．p,14
【答案】C
【详解】根据题意，且P(ξ<0)=p，则P(0<ξ<1)=1−2p2=12−p，
由正态曲线得ξ~N1,122，所以D(ξ)=122=14．
故选：C．
【典例2】（2024·全国·高二假期作业）已知三个正态密度函数φix=12πσie−x−μi22σi2（x∈R，i=1,2,3）的图像如图所示，则（ ）
A．μ1=μ3>μ2，σ1=σ2>σ3B．μ1<μ2=μ3，σ1<σ2<σ3
C．μ1=μ3>μ2，σ1=σ2<σ3D．μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3
【答案】C
【详解】由题图中y=φix的对称轴知：μ1=μ3>μ2，
y=φ1x与y=φ2x (一样)瘦高，而y=φ3x胖矮，
所以σ1=σ2<σ3.
故选：C
【典例3】（2023下·高二课时练习）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布Nμ1,σ12，Nμ2,σ22，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（注：正态曲线的函数解析式为f(x)=12π⋅σe−(x−μ)22σ2，x∈R）
A．甲类水果的平均质量μ1=0.4kg
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99
【答案】A
【详解】由题图可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，
所以μ1=0.4，μ2=0.8，μ1<μ2，故A正确，C错误；
因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，σ越小，表示总体的分布越集中），
所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；
因为乙图象的最高点为(0.8,1.99)，即12π⋅σ2=1.99，所以σ2≠1.99，故D错误．
故选：A．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X~Nμ1,62,Y~Nμ2,22．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A．D(X)=6B．
C．P(X≤38)【答案】C
【详解】对于A中，随机变量X服从正态分布，且X~Nμ1,62，
可得随机变量X的方差为σ2=62，即，所以A错误；
对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量μ1=30,μ2=34，
所以μ1<μ2，所以B错误；
对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得X≤38时，随机变量X对应的曲线与x围成的面积小于Y≤38时随机变量Y对应的曲线与x围成的面积，
所以P(X≤38)对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得P(X≤34)>12，P(Y≤34)=12，
即P(X≤34)>P(Y≤34)，所以D错误.
故选：C.
【变式2】（2024·全国·高二假期作业）设X~Nμ1,σ12，Y~Nμ2,σ22，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．σ1>σ2
C．PY≥μ2≥PY≥μ1D．PX≤μ2≥PX≤μ1
【答案】D
【详解】因为X~Nμ1,σ12，Y~Nμ2,σ22，两曲线分别关于x=μ1,x=μ2对称，
所以由图可知，μ1<μ2，所以A错误，
因为X的分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，
所以σ1<σ2 ，所以B错误，
所以PY≥μ2≤PY≥μ1，PX≤μ2≥PX≤μ1，
所以C错误，D正确，
故选：D
【变式3】（多选）（2023上·全国·高三专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X∼Nμ1,σ12,Y∼Nμ2,σ22，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
【答案】AC
【详解】X，Y均服从正态分布，X∼Nμ1,σ12,Y∼Nμ2,σ22，
结合正态密度函数的图象可知，可得μ1=μ2，σ1<σ2，
故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；
甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．
故选：AC
题型03标准正态分布的应用
【典例1】（2023下·江苏淮安·高二校考阶段练习）我省高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X∼N(50,256)，那么D等级的原始分最高大约为（ ）
附：①若X∼N(μ,σ2)，Y=X−μσ，则Y∼N(0,1)；
②当Y∼N(0,1)时，P(Y≤1.5)≈0.9.
A．23B．29C．26D．43
【答案】C
【详解】由题意知：从低到高，即E到D等级人数所占比例为10%，
若D等级的原始分最高为X，则P(Y≤X−5016)=0.1，又P(Y≤1.5)≈0.9，
所以P(Y≤X−5016)=1−P(Y≤1.5)，而Y∼N(0,1)，
所以P(Y≤X−5016)=P(Y≤−1.5)，即X−5016=−1.5，可得X=50−1.5×16=26分.
故选：C
【典例2】（多选）（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知随机变量X服从正态分布N0,1，定义函数fx为X取值不超过x的概率，即fx=PX≤x．若x>0，则（ ）
A．f−x=1−fxB．f2x=2fx
C．fx在0,+∞上是减函数D．PX≤x=2fx−1
【答案】AD
【详解】因为随机变量X服从正态分布N0,1，
所以f−x=PX≤−x=PX>x=1−PX≤x=1−fx，A正确；
f2x=PX≤2x,2fx=2PX≤x，因为x>0，所以fx=PX≤x>12，
所以f2x=2fx不可能，B不正确；
因为x>0，所以当x增大时，fx=PX≤x也增大，C不正确；
PX≤x=P−x≤X≤x=1−2PX>x
=1−21−f(x)=2fx−1，D正确.
故选：AD.
【典例3】（2024·山西·校联考模拟预测）2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X~Nμ,σ2，令Y=X−μσ，则Y~N0,1，且PX≤a=PY≤a−μσ．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求PX≤10；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求PZ≥1（结果精确到0.001）以及Z的数学期望．
参考数据：1.64≈1.28，0.773420≈0.0059．若Y~N0,1，则PY≤0.78=0.7734．
【答案】（1）9，1.64；（2）（ⅰ）0.7734，（ⅱ）0.994，4.532.
【详解】解：（1）x=6×0.02+7×0.1+8×0.2+9×0.38+10×0.18+11×0.08+12×0.04=9．
s2=6−92×0.02+7−92×0.1+8−92×0.2+9−92×0.38+10−92×0.18+11−92×0.08+12−92×0.04=1.64．
（2）（ⅰ）由题知，σ2=1.64，所以X~N9,1.64，σ=1.64≈1.28．
所以PX≤10=PY≤10−91.28=PY≤0.78=0.7734．
（ⅱ）由（ⅰ）知PX>10=1−PX≤10=0.2266，可得Z~B20,0.2266．
PZ≥1=1−PZ=0=1−0.773420≈1−0.0059=0.9941≈0.994．
故Z的数学期望EZ=20×0.2266=4.532．
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+，B、C+、C、D+、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91,100，[81,90]，71,80、61,70、51,60、41,50、31,40、21,30、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X～N50,256，那么D等级的原始分最高大约为（ ）
附：①若X～，Y=X−μσ，则Y～N0,1；②当Y～N0,1时，PY≤1.3≈0.9.
A．23B．29C．36D．43
【答案】B
【详解】由题意知：X～N50,256则有μ=50，σ=16
设D等级的原始分最高大约为x，对应的等级分为40 ，而P(等级分≥40)=1−(7%+3%)=0.9
∴有P(原始分x−5016)=0.9
而PY≤1.3≈0.9，由对称性知P(Y≥−1.3)≈0.9
∴有x−5016=−1.3，即x=29.2≈29
故选：B
【变式2】（多选）（2023下·高二课时练习）若随机变量ξ~N0,1，Φx=Pξ≤x，其中x>0，下列等式成立的有（ ）
A．Φ−x=1−ΦxB．Φ2x=2Φx
C．Pξ≤x=2Φx−1D．Pξ>x=2−2Φx
【答案】ACD
【详解】对于A选项，利用正态密度曲线的对称性可知Pξ≤−x=Pξ≥x=1−Pξ≤x，
所以，Φ−x=1−Φx，A对；
对于B选项，Φ2x=Pξ≤2x<1<2Pξ≤x=2Φx，B错；
对于C选项，Pξ≤x=P−x≤ξ≤x=Pξ≤x−Pξ≤−x=Φx−Φ−x
=Φx−1−Φx=2Φx−1，C对；
对于D选项，Pξ>x=1−Pξ≤x=1−2Φx−1=2−2Φx，D对.
故选：ACD.
【变式3】（多选）（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X~N(0，1)，fx=PX≤x，其中x>0，则下列等式成立的有（ ）
A．f(-x)=1-f(x)B．f2x=2fx
C．f(x)在(0，+∞)上是单调增函数D．PX≤x=2fx−1
【答案】ACD
【详解】因为随机变量X服从正态分布N0,1，所以正态曲线关于直线x=0对称.
对于A，因为fx=PX≤x，所以f−x=PX≤−x=PX≥x=1−fx，故A正确；
对于B，当x=1时，f1=PX≤1>0.5,2f1>1，而f2<1，故B错误：
对于C，结合正态曲线，易得fx在0,+∞上是单调增函数，故C正确；
对于D,PX≤x=P−x≤X≤x=1−21−fx=2fx−1，故D正确.
故选：ACD
题型04 特殊区间的概率
【典例1】（2024·全国·模拟预测）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ）
（若随机变量X～Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973）
A．236B．246C．270D．275
【答案】B
【详解】由题可知，μ=1000，σ=50，P950≤X≤1100=Pμ−σ≤X≤μ+2σ=Pμ−σ≤X≤μ+Pμ≤X≤μ+2σ≈0.68272+0.95452=0.8186所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是300×0.8186=245.58≈246天．
故选：B．
【典例2】（2024上·黑龙江·高二校联考期末）已知某批产品的质量指标X服从正态分布N25,0.16，其中X∈24.6,26.2的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 .
参考数据：若X∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827,Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545,Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.【答案】0.84/2125
【详解】由题意知，该产品服从X∼N25,0.16，则μ=25,σ=0.4，
所以P24.6≤X≤26.2=P25−0.4≤X≤25+3×0.4=Pμ−σ≤X≤μ+3σ
=0.68272+0.99732=0.84，
即抽到“可用产品”的概率为0.84，
故答案为：0.84
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标X服从正态分布N15,9，其中X∈6,18的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ．
参考数据：若X~Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973．
【答案】0.84/2125
【详解】由题意知，该产品服从X∼N(15,9)，则μ=15,σ=3，
所以P(6≤X≤18)=P(15−3≤X≤15+3×3)=P(μ−σ≤X≤μ+3σ)
=P(μ−σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)，
又P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=12[P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)−P(μ−σ≤X≤μ+σ)]=0.1359，
P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=12[P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)−P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)]=0.0214，
所以P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)+P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=0.1573，
所以P(μ−σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=0.1573+0.6827=0.84，
即P(6≤X≤18)=0.84.
所以抽到“可用产品”的概率为0.84.
故答案为：0.84.
【变式1】（多选）（2024上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知随机变量X服从正态分布N100,102，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则（ ）
Pμ−σ≤ξ≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤ξ≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ≤ξ≤μ+3σ≈0.9973）
A．EX=100B．DX=10
C．PX≥90≈0.84135D．PX≤120=PX≥90
【答案】AC
【详解】∵随机变量X服从正态分布N100,102，
正态曲线关于直线X=100对称，且EX=100，DX=102=100，从而A正确，B错误，
根据题意可得，P90≤X≤110≈0.6827，P80≤X≤120≈0.9545，
∴PX≥90≈0.5+12×0.6827=0.84135，故C正确；
X≤120与不关于直线X=100对称，故D错误．
故选：AC．
【变式2】（2024·四川内江·统考一模）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布Nμ,σ2，用样本平均数x和标准差S分别作为μ、σ的近似值，其中样本标准差S的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程X∈250,400的概率为 .
（参考数据：若随机变量X~Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973）
【答案】0.8186
【详解】X=205×0.002×50+255×0.004×50+305×0.009×50+355×0.004×50
+405×0.001×50=300，
故X∼N300,502，P250≤X≤400
=1−121−Pμ−2σ≤X≤μ+2σ−121−Pμ−σ≤X≤μ+σ=0.8186.
故答案为：0.8186
【变式3】（2024上·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值xi(i=1,2,3,⋯,100)， 经计算i=1100xi=7200，i=1100xi2=100×722+36．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布Nμ,σ2，则估计该市高中生身体素质的合格率为 ．（用百分数作答，精确到0.1%）
参考数据：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．
【答案】97.7%
【详解】因为100个数据x1，x2，x3，…，x100的平均值x=1100i=1100xi=72，
方差s2=1100100i=1xi−x2=1100100i=1xi2−100x2=1100×100×722+36−100×722=36，
所以μ的估计值为μ=72，σ的估计值为σ=6．
设该市高中生的身体素质指标值为X，
由P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545， 得P(72−12≤X≤72+12)=P(60≤X≤84)≈0.9545，
PX>84=PX>μ+2σ=PX<μ−2σ=1−Pμ−2σ所以P(X≥60)=P(60≤X≤84)+P(X>84)≈0.9545+12×(1−0.9545)=0.97725≈97.7%．
故答案为：97.7%.
题型05指定区间的概率
【典例1】（2024·重庆·统考一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X∼N5.5,σ2，．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（ ）
A．0.642B．0.648C．0.722D．0.748
【答案】B
【详解】由题意得P(x>5.5)=0.5，则P(5.5则P(5则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为C320.62×0.4+C330.63=0.648,
故选：B.
【典例2】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）己知随机变量X∼N3,σ2,PX≤1=0.2，则P1≤X≤5=（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.7
【答案】C
【详解】由X∼N3,σ2，PX≤1=0.2，则PX≥5=0.2，
故P1≤X≤5=1−PX≤1−PX≥5=1−2×0.2=0.6.
故选：C.
【典例3】（2024·全国·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布N1,σ2σ>0，若，则 ．
【答案】0.4/25
【详解】由可得PX<0=1−0.9=0.1，
则PX>2=PX<0=0.1，故P0所以P1故答案为：0.4.
【变式1】（2024上·河南焦作·高二统考期末）已知随机变量X∼N10,σ2，且P(X<11)=0.7，则P(10≤X<11)=（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】B
【详解】根据正态分布曲线的对称性，
可得P(10≤X<11)=P(X<11)−P(X<10)=0.7−0.5=0.2.
故选：B.
【变式2】（多选）（2024上·广西桂林·高二统考期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X~N3.5,0.25，则下列结论正确的是（ ）
A．该正态分布的均值为3.5B．PX>3.5=12
C．P44.5=PX≤3
【答案】AB
【详解】因为X~N3.5,0.25，
对于A选项，该正态分布的均值为μ=3.5，A对；
对于B选项，PX>3.5=12，B对；
对于C选项，P43.5=12，C错；
对于D选项，由正态密度曲线的对称性可知，PX≤3=PX≥4>PX>4.5，D错.
故选：AB.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布N8,σ2，且PX<5=0.3，则P8≤X≤11= ．
【答案】0.2
【详解】随机变量X服从正态分布N8,σ2，可得到对称轴为x=8，
又由PX<5=0.3，则PX≥11=0.3，
所以P8≤X≤11=121−2PX<5=0.2.
故答案为：0.2
题型06正态分布的实际应用
【典例1】（2024上·江西九江·高二统考期末）某工厂生产一批零件，其直径X∼N10,4，现在抽取10000件进行检查，则直径在12,14之间的零件大约有 件.
（注：P(μ−σ【答案】1359
【详解】∵X满足正态分布X∼N10,4,μ=10,σ=2,∴P(8P(6∴直径在12,14之间的零件大约有1359件.
故答案为：1359
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）2023年国家公务员考试笔试于1月8日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分N80,σ2．若P75≤x≤85=15，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，恰有2名考生的成绩高于85的概率为 ．
【答案】36125/0.288
【详解】由正态分布可得：考生的成绩高于85的概率PX>85=121−P75≤x≤85=25，
所以恰有2名考生的成绩高于85的概率P=C32×252×1−25=36125.
故答案为：36125.
【典例3】（2024上·全国·高三期末）据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.

(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩X∼Nμ,σ2，其中μ近似为女生短跑平均成绩x,σ2近似为样本方差s2，经计算得s2=5.79，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在11.34,20.98内的人数为Y，求PY≤8（结果保留2个有效数字）.
附参考数据：5.79≈2.41，随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则P(μ−σ【答案】(1)16.16
(2)0.073
【详解】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：
11×0.04+13×0.12+15×0.36+17×0.28+19×0.12+21×0.06+23×0.02=16.16.
（2）由题意知X∼N16.16,5.79,μ=16.16,σ2=5.79,σ=5.79≈2.41，
则μ−2σ=11.34,μ+2σ=20.98，
故该校女生短跑成绩在11.34,20.98内的概率p=P(μ−2σ由题意可得Y∼B10,0.9545，
所以PY=9=C109×0.95459×1−0.9545≈10×0.6576×0.0455=0.299208，
PY=10=C1010×0.954510≈0.6277，
所以PY≤8=1−PY=9−PY=10≈0.073.
【变式1】（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布N(72,25).为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段67,n内抽取学生，且P(67≤X≤n)=0.8186.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段67,n内的人数为 人
（附：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973）
【答案】11
【详解】因为P(67≤X≤77)≈0.6827，P(62≤X≤82)≈0.9545，
∵P(67≤X≤n)=0.8186=0.9545−0.9545−0.68272，
∴n=82，即P(67≤X≤82)=0.8186，
由已知，该班在[67,82)内抽取了11人，
他们的分数为68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81.
故答案为：11.
【变式2】（2024上·江苏扬州·高三统考期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为0.25%，记10000名客户中获得赔偿的人数为X.
(1)求EX，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；
(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若X∼Bn,p，则DX=np1−p，当n较大且较小时，我们为了简化计算，常用EX的值估算DX的值.
请根据上述信息，求：
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据：若X∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.683,Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.997.
【答案】(1)EX=25，75万元
(2)①0.683；②0.0015
【详解】（1）由题可知X∼B10000,0.25%，
则EX=10000×0.0025=25，
记该公司今年这一款保险产品利润为变量Y，则Y=200−5X，
所以EY=E200−5X=200−5EX=75万元.
（2）因为X∼Bn,p，当n较大且较小时，EX=25，则DX=25.
由于n较大，X∼Nμ,σ2，其中μ=EX=25,σ2=DX=25，
若该公司今年这一款保险产品利润Y=200−5X∈50,100，则X∈20,30，
PY=200−5X∈50,100=P(20若该公司今年这一款保险产品利润Y=200−5X<0，则X>40，
P(Y=200−5X<0)=P(X>40)=P(X>μ+3σ)=1−0.9972=0.0015.
答：（1）EX=25，该公司今年这一款保险产品利润的期望为75万元；
（2）①该公司今年这一款保险产品利润为50∼100万元的概率为0.683；
②亏损的概率为0.0015.
【变式3】（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径xi（单位：厘米），如下表：
计算得：i=112xi=360,i=112xi2=10992.
(1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值μ与样本方差s2.
(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.
记事件A：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间[22,38].
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求PA；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布N30,82.在这个条件下，求PA，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若Y∼Nμ,σ2，
则PY−μ≤σ≈0.6827,PY−μ≤2σ≈0.9545,PY−μ≤3σ≈0.9973.
参考数据：0.682712≈0.01,0.954512≈0.57,0.997312≈0.97.
【答案】(1)μ=30，s2=16.
(2)①PA≈0.57；②PA≈0.01，护林员给出的结论是错误的，理由见解析.
【详解】（1）样本均值μ=112i=112xi=30，
样本方差s2=112i=112xi−μ2=112i=112xi2−2μi=112xi+12μ2
=112×10992−2×30×360+12×302.
（2）①由题意可得，树干直径Y（单位：cm)近似服从正态分布N30,42.
在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间22,38的概率是0.9545，所以PA=0.954512≈0.57.
②若树干直径Y近似服从正态分布N30,82，
在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间22,38的概率是0.6827，则PA=0.682712≈0.01.
此时事件A发生的概率远小于①中根据测量结果得出的概率估计值.
事件A是一个小概率事件，但是第一次随机选取的12棵生长了4年的红松树，事件A发生了，所以认为护林员给出的结论是错误的.
题型07 3δ原则
【典例1】（2024下·全国·高三期末）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.
(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为56，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量Z∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827；Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545；Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.
【答案】(1)7081
(2)①能，理由见解析②假
【详解】（1）设Ai：第i次通过第一关，Bi：第i次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为P，由题意知P=PA1B1+PA1A2B1+PA1B1B2+PA1A2B1B2
=PA1PB1+PA1PA2PB1+PA1PB1PB2+PA1PA2PB1PB2
.
（2）设此次闯关活动的分数记为X∼Nμ,σ2.①由题意可知μ=171，因为572500=0.0228，且，
所以μ+2σ=351，则σ=351−1712=90；而4002500=0.16，
且，
所以前400名参赛者的最低得分高于μ+σ=261，而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励；
②假设乙所说为真，则μ=201，
PX≥μ+2σ=1−Pμ−2σ≤X≤μ+2σ2=1−0.95452≈0.0228，
而572500=0.0228，所以σ=351−2012=75，从而μ+3σ=201+3×75=426<430，
而PX≥μ+3σ=1−Pμ−3σ≤X≤μ+3σ2=1−0.99732≈0.0013<0.005，
所以X≥μ+3σ为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假.
【典例2】（2023下·江苏徐州·高二统考期中）电影《流浪地球2》中有许多可行驶、可作业、可变形的UEG地球联合政府机械设备，均出自中国工程机械领导者品牌—徐工集团.电影中有很多硬核的装备，其实并不是特效，而是用国产尖端装备设计改造出来的，许多的装备都能在现实中寻找到原型.现集团某车间新研发了一台设备，集团对新设备的具体要求是：零件内径（单位：mm）在199.82,200.18范围之内的产品为合格品，否则为次品；零件内径X满足正态分布X～N200,0.0036．
(1)若该车间对新设备安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是该车间的负责人，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
(2)若该设备符合集团的生产要求，现对该设备生产的10000个零件进行跟踪调查．
①10000个零件中大约有多少个零件的内径可以超过200.12mm？
②10000个零件中的次品的个数最有可能是多少个？
参考数据：
若随机变量X~Nμ,σ2，则Pμ−σPμ−3σ【答案】(1)这台设备需要进一步调试，理由见解析
(2)①225件；②30
【详解】（1）方法1：因为X~N200,0.062，
所以P200−3×0.06即P199.82所以五个零件的内径中恰有1个不在μ−3σ,μ+3σ的概率为C510.9974×1−0.997=0.01482，
又因为试产的5个零件中内径出现了1个不在μ−3σ,μ+3σ内，所以小概率事件出现了，根据3σ原则，这台设备需要进一步调试．
方法2：因为P199.82故至少有1个次品的概率为1−0.9975≈0.015．
又因为试产的5个零件中内径出现了1个不在μ−3σ,μ+3σ内，所以小概率事件出现了，根据3σ原则，这台设备需要进一步调试．
（2）①因为μ=200，σ=0.06，
所以PX>200.12=PX>μ+2σ=1−0.9552=0.0225，
生产的10000件零件中内径超过200.12mm的件数Y服从二项分布B（10000，0.0225），
则EY=10000×0.0225=225．
答：大约有225件零件的内径可以超过200.12mm．
②次品的概率为
1−P198.82抽取10000个零件进行检测，设次品数为ξ，则ξ~B10000,p，其中p=0.003，
故Pξ=k=C10000kpk1−p10000−k，设次品数最可能是k件，
则C10000kpk1−p10000−k≥C10000k−1pk−11−p10001−kC10000kpk1−p10000−k≥C10000k+1pk+11−p9999−k，
即10000!k!10000−k!⋅p≥10000!k−1!10001−k!⋅1−p10000!k!10000−k!⋅1−p≥10000!k+1!9999−k!⋅p，
即pk≥1−p10001−k1−p10000−k≥pk+1，
解得10001p−1≤k≤10001pk∈N∗．
因为p=0.003，所以10001p=30.003，10001p−1=29.003，故k=30．
从而10000件零件中的次品数最可能是30．
答：这10000件零件中的次品数最可能是30．
【典例3】（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数x和方差s2．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布Nμ,σ2，用直方图的平均数估计值x作为μ的估计值μ，用直方图的标准差估计值s作为σ估计值σ．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了μ−3σ,μ+3σ之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
利用μ和σ判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在μ−3σ,μ+3σ之外的零件个数，求PX≥1及X的数学期望．
参考公式：直方图的方差s2=i=1nxi−x2pi，其中xi为各区间的中点，pi为各组的频率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973，0.011≈0.105，0.012≈0.110，0.99739≈0.9760，0.997310≈0.9733．
【答案】(1)1；0.011
(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii）PX≥1≈0.0267，0.027
【详解】（1）由频率分布直方图，得x=0.8×0.1+0.9×0.2+1×0.35+1.1×0.3+1.2×0.05=1．
s2=0.8−12×0.1+0.9−12×0.2+1−12×0.35+1.1−12×0.3+1.2−12×0.05=0.011．
（2）（i）由（1）可知μ=1，σ=0.011≈0.105，
所以μ−3σ=1−0.315=0.685，μ+3σ=1+0.315=1.315，
显然抽查中的零件指标1.33>1.315，故需停止生产并检查设备．
（ii）抽测一个零件关键指标在μ−3σ,μ+3σ之内的概率为0.9973，
所以抽测一个零件关键指标在μ−3σ,μ+3σ之外的概率为1−0.9973=0.0027，
故X∼B10,0.0027，所以PX≥1=1−PX=0=1−0.997310≈1−0.9733=0.0267，
X的数学期望EX=10×0.0027=0.027．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标X服从正态分布N15,9，其中X∈6,18的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ．
参考数据：若X~Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973．
【答案】0.84/2125
【详解】由题意知，该产品服从X∼N(15,9)，则μ=15,σ=3，
所以P(6≤X≤18)=P(15−3≤X≤15+3×3)=P(μ−σ≤X≤μ+3σ)
=P(μ−σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)，
又P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=12[P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)−P(μ−σ≤X≤μ+σ)]=0.1359，
P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=12[P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)−P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)]=0.0214，
所以P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)+P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=0.1573，
所以P(μ−σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=0.1573+0.6827=0.84，
即P(6≤X≤18)=0.84.
所以抽到“可用产品”的概率为0.84.
故答案为：0.84.
【变式2】（2023下·福建泉州·高二校考期中）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：）：
979798102105107108109113114.
设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ．
(1)求μ与σ；
(2)假设这批零件的内径Z（单位：）服从正态分布Nμ,σ2．从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87cm的个数为X，求E4X+3.
参考数据：若X~Nμ,σ2，则Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973，0.99734≈0.99．
【答案】(1)μ=105，σ=6
(2)3.027
【详解】（1）解：μ=11097+97+98+102+105+107+108+109+113+114=105，
σ2=11064+64+49+9+0+4+9+16+64+81=36，则σ=6.
（2）解：由（1）可知，X~N105,36，则87=105−3×6=μ−3σ，
所以，PZ<87=PZ<μ−3σ≈0.5−0.99732=0.00135，
由题意可知，X~B5,0.00135，则EX=5×0.00135=0.00675，
由期望的性质可得E4X+3=4EX+3=4×0.00675+3=3.027.
【变式3】（2023下·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）新高考改革后江苏省采用“”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门.
(1)若按照“”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布N240,602.
①估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有多少人；
②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.
附：Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.
【答案】(1)60
(2)①3274人；②不可信.
【详解】（1）甲乙两个学生必选语文、数学、外语，
若另一门相同的选择物理、历史中的一门，有C21种，在生物学、化学、思想政治、地理4门中甲乙选择不同的2门，则C42C22=6，即2×6=12种；
若另一门相同的选择生物学、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有A22C41A32=48种，
所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共12+48=60种方法.
（2）①设此次网络测试的成绩记为X，则X∼N240,602，
由题知μ=240，σ=60，μ+2σ=240+120=360，μ−σ=240−60=180，
则P180≤X≤360=0.6827+0.9545−0.68272≈0.8186，
所以4000×0.8186=3274.4，
所以估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有3274人；
②不可信.
μ+3σ=240+3×60=420<425，
则PX≥μ+3σ=1−Pμ−3σ≤X≤μ+3σ2≈1−0.99732=0.00135，
4000名学生中成绩大于420分的约有4000×0.00135=5.4人，
这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本，
所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，
说法错误，此宣传语不可信.
题型08根据正态曲线的对称性求参数
【典例1】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量X服从正态分布N3,4，若PX>a−2=PX<6−3a，则a=（ ）
A．−2B．C．12D．1
【答案】B
【详解】由题意随机变量X服从正态分布N3,4，即正态分布曲线关于x=3对称,
因为PX>a−2=PX<6−3a，
故a−2+(6−3a)2=3,∴a=−1，
故选：B
【典例2】（2024·全国·模拟预测）设随机变量ξ服从正态分布N1,4，若，且，则b= ．
【答案】3
【详解】因为，所以．
又因为，则2a+b=2b−a，所以b=3a=3.
故答案为：3.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量,且Pξ≤0=Pξ≥a，若x+y=ax>0，y>0,则1x+2y的最小值为 ．
【答案】32+2
【详解】ξ∼N1,σ2，可得正态分布曲线的对称轴为x=1，
又Pξ≤0=Pξ≥a，∴a2=1，即a=2．
则1x+2y=12x+y1x+2y=123+yx+2xy≥123+22=32+2，
当且仅当y=2x，即x=22−2,y=4−22时，等号成立.
故答案为：32+2.
【变式1】（2024上·广西北海·高二统考期末）已知随机变量ξ∼N1,4，且Pξ≤m=Pξ>m，则m=（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
【答案】B
【详解】由随机变量ξ∼N1,4，所以函数曲线关于直线ξ=1对称，
又Pξ≤m=Pξ>m，且Pξ≤m+Pξ>m=1，所以m=1.
故选：B
【变式2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）设随机变量ξ服从正态分布，若P(ξ<2)=P(ξ>4)=a，则下列结论正确的为（ ）
A．μ=3B．P3≤ξ≤4=1−2a
C．Dξ=7D．P2≤ξ≤3=12−a
【答案】AD
【详解】因为P(ξ<2)=P(ξ>4)=a，根据正态分布的对称性，可知，μ=2+42=3，故A正确；
根据对称性可知，P3≤ξ≤4=1−2a2≠1−2a，故B错误；
因为ξ∼N(μ,7)，所以Dξ=7，故C错误；
根据对称性可知，P2≤ξ≤3=12−a，故D正确.
故选：AD
【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸X服从正态分布Nμ,σ2，且PX≤20=0.2，PX<26=0.8，则μ= ．
【答案】23
【详解】因为X服从正态分布Nμ,σ2，且PX≤20=0.2，PX<26=0.8，
则PX≥26=1−PX<26=1−0.8=0.2=PX≤20，
所以，μ=20+262=23.
故答案为：23.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
1．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X～N4,σ2，若PX>m=0.8，则PX>8−m等于（ ）
A．0.2B．0.7C．0.8D．0.9
【答案】A
【详解】由题意知，正态曲线的对称轴为x=4，m与8−m关于x=4对称，
所以PX<8−m=PX>m=0.8．
所以PX>8−m=1−0.8=0.2．
故选：A．
2．（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量ξ服从正态分布N2,σ2，且Pξ≤0=0.2，则等于（ ）
A．0.8B．0.6C．0.4D．0.3
【答案】D
【详解】因ξ服从正态分布N2,σ2，且Pξ≤0=0.2，故Pξ>4=0.2，
于是P(2<ξ≤4)=12[1−2P(ξ≤0)]=12(1−2×0.2)=0.3.
故选：D.
3．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）某市高三年级男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（ ）参考数据：Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.683，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.954，Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.997．
A．0.477B．0.478C．0.479D．0.480
【答案】A
【详解】由题意可知，μ=171，σ=4，
所以．
故选：A
4．（2024上·江西上饶·高二江西省广丰中学校考期末）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）

A．Y的数据较X更集中
B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．P(X>30)+PY≤30=1
【答案】D
【详解】观察图象知，X~N30,σ12,Y~N34,σ22，
对于A，Y的密度曲线瘦高、X的密度曲线矮胖，即随机变量Y的标准差小于X的标准差，即σ1>σ2，
因此Y的数据较X更集中，A正确；
对于B，显然P(X≤34)>12=P(Y≤34)，则当有34min可用时，坐公交车不迟到的概率大，B正确；
对于C，显然P(X≤38)对于D，显然P(X>30)=12,P(Y≤30)30)+P(Y≤30)<1，D错误.
故选：D
5．（2024·全国·高二假期作业）据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布N2000,1002，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为（ ）
附：X~Nμ,σ2，，P(μ−2σA．0.4987B．0.8413C．0.9773D．0.9987
【答案】C
【详解】依题意，μ=2000,σ=100，
PX≥1800=PX≥μ−2σ
=1−1−0.95452=0.97725≈0.9773.
故选：C
6．（2024·重庆·统考一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X∼N5.5,σ2，．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（ ）
A．0.642B．0.648C．0.722D．0.748
【答案】B
【详解】由题意得P(x>5.5)=0.5，则P(5.5则P(5则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为C320.62×0.4+C330.63=0.648,
故选：B.
7．（2024上·广西北海·高二统考期末）已知随机变量ξ∼N1,4，且Pξ≤m=Pξ>m，则m=（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
【答案】B
【详解】由随机变量ξ∼N1,4，所以函数曲线关于直线ξ=1对称，
又Pξ≤m=Pξ>m，且Pξ≤m+Pξ>m=1，所以m=1.
故选：B
8．（2024·全国·模拟预测）据统计，某快递公司的200名快递员每人每月派送的快递件数X服从正态分布，且X~N3000,σ2，若每月派送的快递件数不低于4000的快递员有60人，则每月派送的快递件数在(2000，3000)的快递员人数为（ ）
A．40B．60C．70D．80
【答案】A
【详解】由题意知，每月派送的快递件数不低于4000的快递员所占比例为60200=0.3，
故每月派送的快递件数在2000,3000的快递员所占比例为1−0.3×22=0.2，
故每月派送的快递件数在2000,3000的快递员人数为200×0.2=40人．
故选：A.
二、多选题
9．（2024上·广西桂林·高二统考期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X~N3.5,0.25，则下列结论正确的是（ ）
A．该正态分布的均值为3.5B．PX>3.5=12
C．P44.5=PX≤3
【答案】AB
【详解】因为X~N3.5,0.25，
对于A选项，该正态分布的均值为μ=3.5，A对；
对于B选项，PX>3.5=12，B对；
对于C选项，P43.5=12，C错；
对于D选项，由正态密度曲线的对称性可知，PX≤3=PX≥4>PX>4.5，D错.
故选：AB.
10．（2024下·全国·高二随堂练习）某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X,Y，已知X,Y均服从正态分布，X∼Nμ1,σ12,Y∼Nμ2,σ22，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C．甲生产线的产品尺寸平均值等于乙生产线的产品尺寸平均值
D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值
【答案】AC
【详解】由图可知，甲乙两条生产线产品尺寸的平均值相等，甲的正态分布密度曲线瘦高，
即甲生产线产品尺寸的方差更小，故甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性，
故选：AC．
三、填空题
11．（2024上·江西九江·高二统考期末）某工厂生产一批零件，其直径X∼N10,4，现在抽取10000件进行检查，则直径在12,14之间的零件大约有 件.
（注：P(μ−σ【答案】1359
【详解】∵X满足正态分布X∼N10,4,μ=10,σ=2,∴P(8P(6∴直径在12,14之间的零件大约有1359件.
故答案为：1359
12．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布N(72,25).为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段67,n内抽取学生，且P(67≤X≤n)=0.8186.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段67,n内的人数为 人
（附：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973）
【答案】11
【详解】因为P(67≤X≤77)≈0.6827，P(62≤X≤82)≈0.9545，
∵P(67≤X≤n)=0.8186=0.9545−0.9545−0.68272，
∴n=82，即P(67≤X≤82)=0.8186，
由已知，该班在[67,82)内抽取了11人，
他们的分数为68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81.
故答案为：11.
四、解答题
13．（2024上·全国·高三期末）大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．

(1)根据频率分布直方图确定a的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）；
(2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩X近似服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）?
参考数据：若X~Nμ,σ2，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．
【答案】(1)；众数是82.5，75%分位数是86.6
(2)75.4分
【详解】（1）根据频率分布直方图，可得：
(0.008+0.018+a+0.064+0.038+0.016+0.008)×5=1，解得a=0.048，
这组数据的众数为，
由(0.008+0.018+0.048+0.064)×5=0.69，
则这100份样本试卷成绩的75%分位数是85+0.75−×5≈86.6.
（2）由，
所以，
因为1−12[1−P(μ−σ≤X≤μ+σ)]≈0.8414，
所以P(X≥μ−σ)=P(X≥82.15−6.75)=P(X≥，
所以测试前预估的平均成绩大约为75.4分．
14．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数x作为μ的值．
参考数据：若X~Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.68．
(1)求μ的值；
(2)估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？
(3)若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有ξ个零部件的质量分数在940,980内，则n为何值时，Pξ=10的值最大？
【答案】(1)μ=960
(2)160
(3)n=14
【详解】（1）x=900+28+33+45+50+59+67+67+75+82+9410=960，
所以μ=960．
（2）由（1）知，X~N960,202，
PX<940=PX<μ−σ=1−Pμ−σ≤X≤μ+σ2≈1−0.682=0.16．
该生产线上生产的1000个零部件中，质量分数低于940的个数约为
0.16×1000=160．
（3）每个零部件的质量分数在940,980内的概率为Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.68，
由题意可知ξ~Bn,0.68，
则Pξ=10=Cn10×0.6810×0.32n−10，
设fn=Cn10×0.6810×0.32n−10（n≥10），
则fn+1fn=Cn+110×0.6810×0.32n−9Cn10×0.6810×0.32n−10=0.32n+0.32n−9，
令0.32n+0.32n−9>1，得n<≈13.7，
所以当n≤13时，fn+1>fn，
令0.32n+0.32n−9<1，得n>≈13.7，
所以当n≥14时，fn+1所以n=14时，fn最大，故使Pξ=10最大的n的值为14．
B能力提升
1．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为0.25%，记10000名客户中获得赔偿的人数为X.
(1)求EX，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；
(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若X∼Bn,p，则DX=np1−p，当n较大且较小时，我们为了简化计算，常用EX的值估算DX的值.
请根据上述信息，求：
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据：若X∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.683,Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.997.
【答案】(1)EX=25，75万元
(2)①0.683；②0.0015
【详解】（1）由题可知X∼B10000,0.25%，
则EX=10000×0.0025=25，
记该公司今年这一款保险产品利润为变量Y，则Y=200−5X，
所以EY=E200−5X=200−5EX=75万元.
（2）因为X∼Bn,p，当n较大且较小时，EX=25，则DX=25.
由于n较大，X∼Nμ,σ2，其中μ=EX=25,σ2=DX=25，
若该公司今年这一款保险产品利润Y=200−5X∈50,100，则X∈20,30，
PY=200−5X∈50,100=P(20若该公司今年这一款保险产品利润Y=200−5X<0，则X>40，
P(Y=200−5X<0)=P(X>40)=P(X>μ+3σ)=1−0.9972=0.0015.
答：（1）EX=25，该公司今年这一款保险产品利润的期望为75万元；
（2）①该公司今年这一款保险产品利润为50∼100万元的概率为0.683；
②亏损的概率为0.0015.
2．（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：
(1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布N40,152，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上；
(2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率.
（参考数据：P(μ−σ【答案】(1)15.925万
(2)36125
【详解】（1）μ=40,σ=15,μ+2σ=70，
所以旅游费用支出在7000元以上的概率为
Px≥μ+2σ=1−P(μ−2σ0.02275×700=15.925，估计有15.925万市民旅游费用支出在7000元以上;
（2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为1−12+3881000=35，
设3人总得分为4分为事件A，则PA=C3135252=36125
即3人总得分为4分的概率36125.
3．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径xi（单位：厘米），如下表：
计算得：i=112xi=360,i=112xi2=10992.
(1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值μ与样本方差s2.
(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.
记事件A：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间[22,38].
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求PA；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布N30,82.在这个条件下，求PA，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若Y∼Nμ,σ2，
则PY−μ≤σ≈0.6827,PY−μ≤2σ≈0.9545,PY−μ≤3σ≈0.9973.
参考数据：0.682712≈0.01,0.954512≈0.57,0.997312≈0.97.
【答案】(1)μ=30，s2=16.
(2)①PA≈0.57；②PA≈0.01，护林员给出的结论是错误的，理由见解析.
【详解】（1）样本均值μ=112i=112xi=30，
样本方差s2=112i=112xi−μ2=112i=112xi2−2μi=112xi+12μ2
=112×10992−2×30×360+12×302.
（2）①由题意可得，树干直径Y（单位：cm)近似服从正态分布N30,42.
在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间22,38的概率是0.9545，所以PA=0.954512≈0.57.
②若树干直径Y近似服从正态分布N30,82，
在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间22,38的概率是0.6827，则PA=0.682712≈0.01.
此时事件A发生的概率远小于①中根据测量结果得出的概率估计值.
事件A是一个小概率事件，但是第一次随机选取的12棵生长了4年的红松树，事件A发生了，所以认为护林员给出的结论是错误的.
4．（2024下·全国·高二随堂练习）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间[20,40)，记作40,60，9:00~9:20记作60,80，9:20~9:40记作80,100，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表：
(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为X，求X的分布列与期望；
(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻T~Nμ,σ2，其中μ可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.
参考数据：若T~Nμ,σ2，则①Pμ−σ【答案】(1)分布列见解析，期望为125
(2)655
【详解】（1）因为100+300+m+n=1000，，所以m=400，.
由分层随机抽样可知，抽取的10辆车中，在9：00~9：40通过的车辆数位于时间段60,80，80,100这两个区间内的车辆数为，
车辆数X的可能取值为0，1，2，3，4，
P(X=0)=C60C44C104=1210，P(X=1)=C61C43C104=24210=435，P(X=2)=C62C42C104=90210=37，
P(X=3)=C63C41C104=80210=821，P(X=4)=C64C40C104=15210=114，
所以X的分布列为
所以E(X)=0×1210+1×435+2×37+3×821+4×114=125.
（2）这1000辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值，即9：04，
σ2=(30−64)2×1001000+(50−64)2×3001000+(70−64)2×4001000+(90−64)2×2001000=324，
所以σ=18.
估计在这一时间段内通过的车辆数，也就是28工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻T~N64,182，
P28所以估计在这一时间段内通过的车辆数为800×0.8186≈655.
课程标准
学习目标
①通过误差模型初步了解服从正态分布
的随机变量的特点。
②并能通过具体的实例，借助频率直方图的几何直观性，了解正态分布的特征，了解正态密度函数的性质。
③了解正态分布的均值、方差及含义。
④了解3δ 原则，能通过具体的实例求会求指定区间的概率，以及解决简单的正态分布问题.。
通过本节课的学习，要求在了解正态分布的含义基础上，能解决与正态分布相关的问题，根据正态密度曲线的对称性，增减性，求特定区间的概率，相应的参数及解决简单的正态分布的应用问题。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
xi
28.7
27.2
31.5
35.8
24.3
33.5
36.3
26.7
28.9
27.4
25.2
34.5
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
旅游消费支出
0,20
20,40
40,60
60,80
80,100
频数
12
388
452
138
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
xi
28.7
27.2
31.5
35.8
24.3
33.5
36.3
26.7
28.9
27.4
25.2
34.5
时间段
[20,40)
40,60
60,80
80,100
频数
100
300
m
n
X
0
1
2
3
4
P
1210
435
37
821
114