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2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第01讲平面向量的概念及其线性运算(知识+真题+7类高频考点)(精讲)(学生版+解析)
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这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第01讲平面向量的概念及其线性运算(知识+真题+7类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共27页。试卷主要包含了向量的有关概念，向量的线性运算，共线向量定理，常用结论等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc19121" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc19121 \h 1
\l "_Tc5342" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc5342 \h 3
\l "_Tc26103" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc26103 \h 4
\l "_Tc15490" 高频考点一：平面向量的概念与表示 PAGEREF _Tc15490 \h 4
\l "_Tc4434" 高频考点二：模 PAGEREF _Tc4434 \h 4
\l "_Tc10170" 高频考点三：零向量与单位向量 PAGEREF _Tc10170 \h 5
\l "_Tc2915" 高频考点四：相等向量 PAGEREF _Tc2915 \h 6
\l "_Tc31610" 高频考点五：平面向量的加法与减法 PAGEREF _Tc31610 \h 6
\l "_Tc27382" 高频考点六：平面向量的数乘 PAGEREF _Tc27382 \h 7
\l "_Tc27244" 高频考点七：共线向量定理的应用 PAGEREF _Tc27244 \h 8
\l "_Tc6840" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc6840 \h 9
\l "_Tc29819" 备注：“”的方向是任意的 PAGEREF _Tc29819 \h 9
\l "_Tc814" 第五部分：新定义题 PAGEREF _Tc814 \h 9
第一部分：基础知识
1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.
特别的：非零向量的单位向量是.
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；
特别的：与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.
2、向量的线性运算
2.1向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
2.2向量的减法
①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
2.3向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
3、共线向量定理
①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
4、常用结论
4.1向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
4.2中点公式的向量形式：
若为线段的中点，为平面内任意一点，则.
4.3三点共线等价形式：
（，为实数），若，，三点共线
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·甲卷理）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量的概念与表示
典型例题
例题1．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
例题2．（23-24高一下·全国·课时练习）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
练透核心考点
1．（23-24高一·全国·专题练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
2．（2023高一·全国·单元测试）下列各量：①数轴；②温度；③拉力；④密度；⑤风速.其中是向量的有 个.
高频考点二：模
典型例题
例题1．（23-24四川南充·一模）已知正方形的边长为1，则（ ）
A．0B．C．D．4
例题2．（23-24高一下·甘肃·期末）若正方形的边长为2，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
练透核心考点
1．（23-24·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（ ）
A．B．1C．D．
2．（23-24高一下·江西上饶·阶段练习）已知四边形是边长为的正方形，求：
(1)；
(2)
高频考点三：零向量与单位向量
典型例题
例题1．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例题2．（多选）（23-24高一下·甘肃白银·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若与共线，则与方向相同或相反
C．若，为单位向量，则D．是与非零向量共线的单位向量
练透核心考点
1．（23-24高一下·湖南益阳·阶段练习）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个.
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
例题3．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式：
(1)；
(2)．
练透核心考点
1．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在正六边形中，（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）下列四式不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）化简： .
高频考点六：平面向量的数乘
典型例题
例题1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）在△ABC中，记，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式：
(1)3；
(2)；
(3)2．
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）若，设，则的值为 .
2．（23-24高一下·广东惠州·开学考试）化简： .
高频考点七：共线向量定理的应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数 的值为（ ）
A．B．C．1D．2
例题2．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，在中，是的中点，．
(1)若，，求；
(2)若，求的值．
练透核心考点
1．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量与且则一定共线的三点是（ ）
A．A，C，D三点B．A，B，C三点
C．A，B，D三点D．B，C，D三点
2．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知为非零不共线向量，向量与共线，则（ ）
A．B．C．D．8
3．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 .
第四部分：典型易错题型
备注：“”的方向是任意的
1．（22-23高三上·四川成都·期中）关于向量，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
第五部分：新定义题
1．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知平面直角坐标系中，点，点（其中为常数，且），点为坐标原点.
(1)设点为线段近的三等分点，，求的值；
(2)如图所示，设点是线段的等分点，其中，
①当时，求的值（用含的式子表示）；
②当时.求的最小值.
（说明：可能用到的计算公式：）.
第01讲 平面向量的概念及其线性运算
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc19121" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc19121 \h 1
\l "_Tc5342" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc5342 \h 3
\l "_Tc26103" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc26103 \h 4
\l "_Tc15490" 高频考点一：平面向量的概念与表示 PAGEREF _Tc15490 \h 4
\l "_Tc4434" 高频考点二：模 PAGEREF _Tc4434 \h 5
\l "_Tc10170" 高频考点三：零向量与单位向量 PAGEREF _Tc10170 \h 7
\l "_Tc2915" 高频考点四：相等向量 PAGEREF _Tc2915 \h 9
\l "_Tc31610" 高频考点五：平面向量的加法与减法 PAGEREF _Tc31610 \h 11
\l "_Tc27382" 高频考点六：平面向量的数乘 PAGEREF _Tc27382 \h 13
\l "_Tc27244" 高频考点七：共线向量定理的应用 PAGEREF _Tc27244 \h 14
\l "_Tc6840" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc6840 \h 17
\l "_Tc29819" 备注：“”的方向是任意的 PAGEREF _Tc29819 \h 17
\l "_Tc814" 第五部分：新定义题 PAGEREF _Tc814 \h 17
第一部分：基础知识
1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.
特别的：非零向量的单位向量是.
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；
特别的：与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.
2、向量的线性运算
2.1向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
2.2向量的减法
①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
2.3向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
3、共线向量定理
①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
4、常用结论
4.1向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
4.2中点公式的向量形式：
若为线段的中点，为平面内任意一点，则.
4.3三点共线等价形式：
（，为实数），若，，三点共线
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·甲卷理）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量的概念与表示
典型例题
例题1．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；
对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；
对于C：若，则方向相同，C 正确；
对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.
故选：C.
例题2．（23-24高一下·全国·课时练习）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【答案】A
【分析】根据向量的概念，即可得出答案.
【详解】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向.
（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，
（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量.
故选：A.
练透核心考点
1．（23-24高一·全国·专题练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【答案】D
【分析】根据向量的定义即可判断.
【详解】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；
速度、位移既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
2．（2023高一·全国·单元测试）下列各量：①数轴；②温度；③拉力；④密度；⑤风速.其中是向量的有 个.
【答案】2
【分析】根据向量的定义判断即可．
【详解】既有大小，又有方向的量叫做向量；
温度、密度、风速只有大小没有方向，因此不是向量；
而数轴、拉力既有大小，又有方向，因此它们都是向量.
故答案为:2.
高频考点二：模
典型例题
例题1．（23-24四川南充·一模）已知正方形的边长为1，则（ ）
A．0B．C．D．4
【答案】C
【分析】利用向量运算法则得到.
【详解】，
因为正方形的边长为1，所以，
故.
故选：C
例题2．（23-24高一下·甘肃·期末）若正方形的边长为2，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算即可求解．
【详解】由正方形的边长为2，则，
所以．
故选：A．
例题3．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】
利用向量、共线向量、相等向量等概念逐项判断.
【详解】
对于A，向量是具有方向的量，
若，则向量与的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；
对于B，若，则一定有，故B正确；
对于C，若，则只能说明非零向量、共线，
当、大小不同或方向相反时，都有，故C错误；
对于D，若，则、共线且方向相同，所以，故D正确．
故选：BD．
练透核心考点
1．（23-24·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据几何关系求解.
【详解】
如图，，所以M是AC的中点，；
故选：C.
2．（23-24高一下·江西上饶·阶段练习）已知四边形是边长为的正方形，求：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)2
【分析】利用向量的加减法法则化简向量即可解决问题.
【详解】（1）四边形是边长为的正方形，
（2）
高频考点三：零向量与单位向量
典型例题
例题1．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
例题2．（多选）（23-24高一下·甘肃白银·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若与共线，则与方向相同或相反
C．若，为单位向量，则D．是与非零向量共线的单位向量
【答案】AD
【分析】
根据零向量的定义与性质，单位向量的定义以及共线向量的定理，可得答案.
【详解】对于A，根据零向量的定义，故A正确；
对于B，当时，显然与共线，当零向量的方向是任意的，故B错误；
对于C，设，，显然为单位向量，但，故C错误；
对于D，由，则为单位向量，由，则向量与共线，故D正确.
故选：AD.
练透核心考点
1．（23-24高一下·湖南益阳·阶段练习）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据零向量定义、向量模长、平行的定义等知识依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确；
对于②，的模长相同，但方向不确定，未必同向或反向，②错误；
对于③，若，则同向或反向，但模长未必相同，③错误；
对于④，当时，，成立，但此时未必平行，④错误.
故选：A.
2．（23-24高三上·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
【答案】A
【分析】
AB选项，由零向量的定义进行判断；C选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到C正确；D选项，根据向量的性质得到D正确.
【详解】
A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；
D选项，由向量相等的定义知D正确.
故选：A
高频考点四：相等向量
典型例题
例题1．（22-23高一下·北京·期中）给出下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若且，则D．若，，则
【答案】B
【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可.
【详解】
对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误，
对于B，若，，则，∴B正确，
对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误，
对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误.
故选：B．
例题2．（多选）（22-23高一下·湖南益阳·阶段练习）下列说法不正确的有（ ）
A．若，，则B．若，则与的方向相同或相反
C．若，则D．若，，则
【答案】BCD
【分析】
根据向量的有关概念逐一判断即可.
【详解】若，，则，故A正确；
对于B，当有一个为零向量时不成立，故B错误；
对于C，当与垂直时，可得，但推不出，故C错误；
对于D，当时不成立，故D错误，
故选：BCD.
练透核心考点
1．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据向量相等的定义判断A，根据向量的加法减法运算法则判断BCD.
【详解】
对于A，因为向量方向不同，所以，故A错；
对于B，，故B错；
对于C，根据向量加法的平行四边形法则知，，故C错；
对于D，根据向量减法运算可知，，故D对.
故选：D
2．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．与共线
【答案】B
【分析】
画出图形，结合相等向量与共线向量的定义判断即可.
【详解】
如图，
因为，方向相同，长度相等，故，故A正确；
因为，方向不同，故，故B错误；
因为，，三点共线，所以，故C正确；
因为，所以与共线，故D正确.
故选：B
高频考点五：平面向量的加法与减法
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.
【详解】对于A：，故A不合题意；
对于B：，故B满足题意；
对于C：，故C不合题意；
对于D：，故D不合题意.
故选：B
例题2．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）下列各式化简结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的加减法运算法则求解.
【详解】对于A，若，则，则，矛盾，A错误，
对于B，因为，所以，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确；
故选：D.
例题3．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量的加减法运算即可得答案；
（2）由向量的加减法运算即可得答案.
【详解】（1）．
（2）.
练透核心考点
1．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在正六边形中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用平面向量的线性运算结合正六边形的几何性质可化简所求向量.
【详解】由正六边形的性质可知，、互为相反向量，
所以，.
故选：A.
2．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）下列四式不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由向量的加法或减法原则求解即可.
【详解】，
，，
.
故选：A.
3．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）化简： .
【答案】/
【分析】根据向量的加减法运算法则化简求解.
【详解】.
故答案为：
高频考点六：平面向量的数乘
典型例题
例题1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）在△ABC中，记，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先用表示，然后利用得到的表达式，最后利用得到的表达式.
【详解】由，得，
又因为，
故，A正确.
故选：A.
例题2．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式：
(1)3；
(2)；
(3)2．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用向量的数乘运算计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）若，设，则的值为 .
【答案】2
【分析】根据向量的线性运算计算即可.
【详解】因为，所以，
则，
又因为，
所以.
故答案为：.
2．（23-24高一下·广东惠州·开学考试）化简： .
【答案】
【分析】
利用向量的线性运算即可得解.
【详解】
.
故答案为：.
高频考点七：共线向量定理的应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数 的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】由向量共线定理求解．
【详解】由已知，
又三点共线，则共线，而不共线，，
所以，即，
故选：A．
例题2．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据向量共线，求得关于的方程，求解即可.
【详解】因为，是两个不共线的向量，由，共线，
则存在实数，使得，则，解得或，则.
故选：B.
例题3．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，在中，是的中点，．
(1)若，，求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量线性运算和向量数量积的运算律直接求解即可；
（2）利用向量线性运算可得，根据三点共线可构造方程求得结果.
【详解】（1）为中点，，
，.
（2），，，
三点共线，，解得：.
练透核心考点
1．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量与且则一定共线的三点是（ ）
A．A，C，D三点B．A，B，C三点
C．A，B，D三点D．B，C，D三点
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算及共线定理即可求解.
【详解】对于A，因为，
所以，
所以,所以A，C，D三点不共线，故A错误；
对于B，因为，
所以,所以A，B，C三点不共线，故B错误；
对于C，因为
所以，
所以，又是与的公共点，
所以A，B，D三点共线，故C正确；
对于D，因为，
所以,所以B，C，D三点不共线，故D错误.
故选：C.
2．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知为非零不共线向量，向量与共线，则
选项D，因向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D错误.
故选：C
第五部分：新定义题
1．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知平面直角坐标系中，点，点（其中为常数，且），点为坐标原点.
(1)设点为线段近的三等分点，，求的值；
(2)如图所示，设点是线段的等分点，其中，
①当时，求的值（用含的式子表示）；
②当时.求的最小值.
（说明：可能用到的计算公式：）.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】(1)利用向量的线性运算得出，结合即可得出结果；
(2)①由题意可得，进而推出，代入题中的等式即可；②当a=b=1，n=10时，，，进而得到，从而得，列出i的取值即可得到对应的函数值.
【详解】（1）因为
而点P为线段AB上靠近点A的三等分点，
则，可得，所以.
（2）①由题意得，
，
所以，
事实上，对任意正整数m，n，且，
有
，
所以
所以.
②当时，
，同理，
，
，
，
当时，，
当时，上式有最小值
当时，，
当时，，
当时，上式有最小值；
综上，的最小值是.
【点睛】关键点点睛：（2）中主要是找到当时，可得，然后可利用倒序相加法可求解；（3）中可利用（2）中结论分别求得的坐标表达式，然后利用平面向量的数量积坐标表达运算可求得的值，然后再分情况讨论，从而可求解.
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc19121" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc19121 \h 1
\l "_Tc5342" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc5342 \h 3
\l "_Tc26103" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc26103 \h 4
\l "_Tc15490" 高频考点一：平面向量的概念与表示 PAGEREF _Tc15490 \h 4
\l "_Tc4434" 高频考点二：模 PAGEREF _Tc4434 \h 4
\l "_Tc10170" 高频考点三：零向量与单位向量 PAGEREF _Tc10170 \h 5
\l "_Tc2915" 高频考点四：相等向量 PAGEREF _Tc2915 \h 6
\l "_Tc31610" 高频考点五：平面向量的加法与减法 PAGEREF _Tc31610 \h 6
\l "_Tc27382" 高频考点六：平面向量的数乘 PAGEREF _Tc27382 \h 7
\l "_Tc27244" 高频考点七：共线向量定理的应用 PAGEREF _Tc27244 \h 8
\l "_Tc6840" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc6840 \h 9
\l "_Tc29819" 备注：“”的方向是任意的 PAGEREF _Tc29819 \h 9
\l "_Tc814" 第五部分：新定义题 PAGEREF _Tc814 \h 9
第一部分：基础知识
1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.
特别的：非零向量的单位向量是.
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；
特别的：与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.
2、向量的线性运算
2.1向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
2.2向量的减法
①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
2.3向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
3、共线向量定理
①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
4、常用结论
4.1向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
4.2中点公式的向量形式：
若为线段的中点，为平面内任意一点，则.
4.3三点共线等价形式：
（，为实数），若，，三点共线
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·甲卷理）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量的概念与表示
典型例题
例题1．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
例题2．（23-24高一下·全国·课时练习）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
练透核心考点
1．（23-24高一·全国·专题练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
2．（2023高一·全国·单元测试）下列各量：①数轴；②温度；③拉力；④密度；⑤风速.其中是向量的有 个.
高频考点二：模
典型例题
例题1．（23-24四川南充·一模）已知正方形的边长为1，则（ ）
A．0B．C．D．4
例题2．（23-24高一下·甘肃·期末）若正方形的边长为2，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
练透核心考点
1．（23-24·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（ ）
A．B．1C．D．
2．（23-24高一下·江西上饶·阶段练习）已知四边形是边长为的正方形，求：
(1)；
(2)
高频考点三：零向量与单位向量
典型例题
例题1．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例题2．（多选）（23-24高一下·甘肃白银·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若与共线，则与方向相同或相反
C．若，为单位向量，则D．是与非零向量共线的单位向量
练透核心考点
1．（23-24高一下·湖南益阳·阶段练习）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个.
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
例题3．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式：
(1)；
(2)．
练透核心考点
1．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在正六边形中，（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）下列四式不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）化简： .
高频考点六：平面向量的数乘
典型例题
例题1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）在△ABC中，记，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式：
(1)3；
(2)；
(3)2．
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）若，设，则的值为 .
2．（23-24高一下·广东惠州·开学考试）化简： .
高频考点七：共线向量定理的应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数 的值为（ ）
A．B．C．1D．2
例题2．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，在中，是的中点，．
(1)若，，求；
(2)若，求的值．
练透核心考点
1．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量与且则一定共线的三点是（ ）
A．A，C，D三点B．A，B，C三点
C．A，B，D三点D．B，C，D三点
2．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知为非零不共线向量，向量与共线，则（ ）
A．B．C．D．8
3．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 .
第四部分：典型易错题型
备注：“”的方向是任意的
1．（22-23高三上·四川成都·期中）关于向量，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
第五部分：新定义题
1．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知平面直角坐标系中，点，点（其中为常数，且），点为坐标原点.
(1)设点为线段近的三等分点，，求的值；
(2)如图所示，设点是线段的等分点，其中，
①当时，求的值（用含的式子表示）；
②当时.求的最小值.
（说明：可能用到的计算公式：）.
第01讲 平面向量的概念及其线性运算
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc19121" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc19121 \h 1
\l "_Tc5342" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc5342 \h 3
\l "_Tc26103" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc26103 \h 4
\l "_Tc15490" 高频考点一：平面向量的概念与表示 PAGEREF _Tc15490 \h 4
\l "_Tc4434" 高频考点二：模 PAGEREF _Tc4434 \h 5
\l "_Tc10170" 高频考点三：零向量与单位向量 PAGEREF _Tc10170 \h 7
\l "_Tc2915" 高频考点四：相等向量 PAGEREF _Tc2915 \h 9
\l "_Tc31610" 高频考点五：平面向量的加法与减法 PAGEREF _Tc31610 \h 11
\l "_Tc27382" 高频考点六：平面向量的数乘 PAGEREF _Tc27382 \h 13
\l "_Tc27244" 高频考点七：共线向量定理的应用 PAGEREF _Tc27244 \h 14
\l "_Tc6840" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc6840 \h 17
\l "_Tc29819" 备注：“”的方向是任意的 PAGEREF _Tc29819 \h 17
\l "_Tc814" 第五部分：新定义题 PAGEREF _Tc814 \h 17
第一部分：基础知识
1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.
特别的：非零向量的单位向量是.
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；
特别的：与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.
2、向量的线性运算
2.1向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
2.2向量的减法
①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
2.3向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
3、共线向量定理
①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
4、常用结论
4.1向量三角不等式
①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
4.2中点公式的向量形式：
若为线段的中点，为平面内任意一点，则.
4.3三点共线等价形式：
（，为实数），若，，三点共线
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·甲卷理）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量的概念与表示
典型例题
例题1．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；
对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；
对于C：若，则方向相同，C 正确；
对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.
故选：C.
例题2．（23-24高一下·全国·课时练习）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【答案】A
【分析】根据向量的概念，即可得出答案.
【详解】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向.
（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，
（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量.
故选：A.
练透核心考点
1．（23-24高一·全国·专题练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【答案】D
【分析】根据向量的定义即可判断.
【详解】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；
速度、位移既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
2．（2023高一·全国·单元测试）下列各量：①数轴；②温度；③拉力；④密度；⑤风速.其中是向量的有 个.
【答案】2
【分析】根据向量的定义判断即可．
【详解】既有大小，又有方向的量叫做向量；
温度、密度、风速只有大小没有方向，因此不是向量；
而数轴、拉力既有大小，又有方向，因此它们都是向量.
故答案为:2.
高频考点二：模
典型例题
例题1．（23-24四川南充·一模）已知正方形的边长为1，则（ ）
A．0B．C．D．4
【答案】C
【分析】利用向量运算法则得到.
【详解】，
因为正方形的边长为1，所以，
故.
故选：C
例题2．（23-24高一下·甘肃·期末）若正方形的边长为2，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算即可求解．
【详解】由正方形的边长为2，则，
所以．
故选：A．
例题3．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】
利用向量、共线向量、相等向量等概念逐项判断.
【详解】
对于A，向量是具有方向的量，
若，则向量与的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；
对于B，若，则一定有，故B正确；
对于C，若，则只能说明非零向量、共线，
当、大小不同或方向相反时，都有，故C错误；
对于D，若，则、共线且方向相同，所以，故D正确．
故选：BD．
练透核心考点
1．（23-24·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据几何关系求解.
【详解】
如图，，所以M是AC的中点，；
故选：C.
2．（23-24高一下·江西上饶·阶段练习）已知四边形是边长为的正方形，求：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)2
【分析】利用向量的加减法法则化简向量即可解决问题.
【详解】（1）四边形是边长为的正方形，
（2）
高频考点三：零向量与单位向量
典型例题
例题1．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
例题2．（多选）（23-24高一下·甘肃白银·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若与共线，则与方向相同或相反
C．若，为单位向量，则D．是与非零向量共线的单位向量
【答案】AD
【分析】
根据零向量的定义与性质，单位向量的定义以及共线向量的定理，可得答案.
【详解】对于A，根据零向量的定义，故A正确；
对于B，当时，显然与共线，当零向量的方向是任意的，故B错误；
对于C，设，，显然为单位向量，但，故C错误；
对于D，由，则为单位向量，由，则向量与共线，故D正确.
故选：AD.
练透核心考点
1．（23-24高一下·湖南益阳·阶段练习）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据零向量定义、向量模长、平行的定义等知识依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确；
对于②，的模长相同，但方向不确定，未必同向或反向，②错误；
对于③，若，则同向或反向，但模长未必相同，③错误；
对于④，当时，，成立，但此时未必平行，④错误.
故选：A.
2．（23-24高三上·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
【答案】A
【分析】
AB选项，由零向量的定义进行判断；C选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到C正确；D选项，根据向量的性质得到D正确.
【详解】
A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；
D选项，由向量相等的定义知D正确.
故选：A
高频考点四：相等向量
典型例题
例题1．（22-23高一下·北京·期中）给出下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若且，则D．若，，则
【答案】B
【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可.
【详解】
对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误，
对于B，若，，则，∴B正确，
对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误，
对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误.
故选：B．
例题2．（多选）（22-23高一下·湖南益阳·阶段练习）下列说法不正确的有（ ）
A．若，，则B．若，则与的方向相同或相反
C．若，则D．若，，则
【答案】BCD
【分析】
根据向量的有关概念逐一判断即可.
【详解】若，，则，故A正确；
对于B，当有一个为零向量时不成立，故B错误；
对于C，当与垂直时，可得，但推不出，故C错误；
对于D，当时不成立，故D错误，
故选：BCD.
练透核心考点
1．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据向量相等的定义判断A，根据向量的加法减法运算法则判断BCD.
【详解】
对于A，因为向量方向不同，所以，故A错；
对于B，，故B错；
对于C，根据向量加法的平行四边形法则知，，故C错；
对于D，根据向量减法运算可知，，故D对.
故选：D
2．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．与共线
【答案】B
【分析】
画出图形，结合相等向量与共线向量的定义判断即可.
【详解】
如图，
因为，方向相同，长度相等，故，故A正确；
因为，方向不同，故，故B错误；
因为，，三点共线，所以，故C正确；
因为，所以与共线，故D正确.
故选：B
高频考点五：平面向量的加法与减法
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.
【详解】对于A：，故A不合题意；
对于B：，故B满足题意；
对于C：，故C不合题意；
对于D：，故D不合题意.
故选：B
例题2．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）下列各式化简结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的加减法运算法则求解.
【详解】对于A，若，则，则，矛盾，A错误，
对于B，因为，所以，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确；
故选：D.
例题3．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量的加减法运算即可得答案；
（2）由向量的加减法运算即可得答案.
【详解】（1）．
（2）.
练透核心考点
1．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在正六边形中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用平面向量的线性运算结合正六边形的几何性质可化简所求向量.
【详解】由正六边形的性质可知，、互为相反向量，
所以，.
故选：A.
2．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）下列四式不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由向量的加法或减法原则求解即可.
【详解】，
，，
.
故选：A.
3．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）化简： .
【答案】/
【分析】根据向量的加减法运算法则化简求解.
【详解】.
故答案为：
高频考点六：平面向量的数乘
典型例题
例题1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）在△ABC中，记，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先用表示，然后利用得到的表达式，最后利用得到的表达式.
【详解】由，得，
又因为，
故，A正确.
故选：A.
例题2．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式：
(1)3；
(2)；
(3)2．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用向量的数乘运算计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）若，设，则的值为 .
【答案】2
【分析】根据向量的线性运算计算即可.
【详解】因为，所以，
则，
又因为，
所以.
故答案为：.
2．（23-24高一下·广东惠州·开学考试）化简： .
【答案】
【分析】
利用向量的线性运算即可得解.
【详解】
.
故答案为：.
高频考点七：共线向量定理的应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数 的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】由向量共线定理求解．
【详解】由已知，
又三点共线，则共线，而不共线，，
所以，即，
故选：A．
例题2．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据向量共线，求得关于的方程，求解即可.
【详解】因为，是两个不共线的向量，由，共线，
则存在实数，使得，则，解得或，则.
故选：B.
例题3．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，在中，是的中点，．
(1)若，，求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量线性运算和向量数量积的运算律直接求解即可；
（2）利用向量线性运算可得，根据三点共线可构造方程求得结果.
【详解】（1）为中点，，
，.
（2），，，
三点共线，，解得：.
练透核心考点
1．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量与且则一定共线的三点是（ ）
A．A，C，D三点B．A，B，C三点
C．A，B，D三点D．B，C，D三点
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算及共线定理即可求解.
【详解】对于A，因为，
所以，
所以,所以A，C，D三点不共线，故A错误；
对于B，因为，
所以,所以A，B，C三点不共线，故B错误；
对于C，因为
所以，
所以，又是与的公共点，
所以A，B，D三点共线，故C正确；
对于D，因为，
所以,所以B，C，D三点不共线，故D错误.
故选：C.
2．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知为非零不共线向量，向量与共线，则
选项D，因向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D错误.
故选：C
第五部分：新定义题
1．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知平面直角坐标系中，点，点（其中为常数，且），点为坐标原点.
(1)设点为线段近的三等分点，，求的值；
(2)如图所示，设点是线段的等分点，其中，
①当时，求的值（用含的式子表示）；
②当时.求的最小值.
（说明：可能用到的计算公式：）.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】(1)利用向量的线性运算得出，结合即可得出结果；
(2)①由题意可得，进而推出，代入题中的等式即可；②当a=b=1，n=10时，，，进而得到，从而得，列出i的取值即可得到对应的函数值.
【详解】（1）因为
而点P为线段AB上靠近点A的三等分点，
则，可得，所以.
（2）①由题意得，
，
所以，
事实上，对任意正整数m，n，且，
有
，
所以
所以.
②当时，
，同理，
，
，
，
当时，，
当时，上式有最小值
当时，，
当时，，
当时，上式有最小值；
综上，的最小值是.
【点睛】关键点点睛：（2）中主要是找到当时，可得，然后可利用倒序相加法可求解；（3）中可利用（2）中结论分别求得的坐标表达式，然后利用平面向量的数量积坐标表达运算可求得的值，然后再分情况讨论，从而可求解.
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