2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第02讲导数与函数的单调性(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第02讲导数与函数的单调性(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共17页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

二、多选题
9．（2024·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·重庆·三模）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
11．（2024高三·全国·专题练习）若函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x在区间(1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
12．（22-23高二下·河南焦作·期末）已知函数 ， 若不等式 成立， 则实数的取值范围为
四、解答题
13．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
(2)求函数的单调区间．
14．（2023高二·全国·专题练习）已知函数，.讨论函数的单调性.
B能力提升
1．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）已知是定义在上的函数的导函数，且，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知，其图像上能找到A、B两个不同点关于原点对称，则称A、B为函数的一对“友好点”，下列说法正确的是（ ）
A．可能有三对“友好点”
B．若，则有两对“友好点”
C．若仅有一对“友好点”，则
D．当时，对任意的，总是存在使得
4．（2024·四川南充·二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
5．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的单调增区间；
(2)求的单调区间；
(3)若在区间上为减函数，求的取值范围.
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数，.
(1)已知，求曲线在处的切线方程；
(2)若且，.研究的单调性；
(3)已知均大于0，且，讨论和大小关系.
第02讲 导数与函数的单调性 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
1、单选题
1．（2022高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
直接求导，再令，解出不等式即可.
【详解】，令，解得，
所以的单调递减区间为，
故选：A.
2．（2023·吉林长春·模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导判断函数单调性，并结合偶函数的定义逐一判断即可.
【详解】对于A选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故A选项不符合题意；
对于B选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故B选项不符合题意；
对于C选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故C选项不符合题意；
对于D选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递增，
又函数的定义域为，且，故D选项符合题意.
故选：D.
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
令，利用导数说明函数的单调性，再由，不等式即，结合单调性解得即可.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，又，所以，
不等式，即，即，所以，
即不等式的解集为.
故选：B
4．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用导数与函数单调性的关系将问题转化为在上有解问题，再构造函数，利用导数求得其最小值，从而得解.
【详解】因为存在单调递减区间，
所以在上有解，即在上有解，
令，则，令，解得(负值舍去)，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，故，
故选：A.
5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求出函数的导数，再利用给定单调区间及单调性列出列式，分离参数求解即得.
【详解】函数，求导得，
由在上单调递增，得，，而恒有，
则，又时，，在上单调递增，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
6．（2024·云南贵州·二模）已知，则的大关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据的特点，构造函数，判断其单调性，得到，故有，再运用作差法比较即得.
【详解】设，则，
当时，，在上递增；
当时，，在上递减,
故.
则，即；
由可知，故.
故选：B.
7．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得.已知函数，那么实数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】C
【分析】根据题意得到，构造，，求导得到其单调性，进而求出最大值，得到答案.
【详解】由题意得，，不妨设，
则存在，使得，
又，故，
其中，
故，
由于，
令，，
则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，，
故实数的最大值为.
故选：C
8．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
构造函数，求导，分离参数求最值即可.
【详解】不等式等价于，
令，根据题意对任意的，
当时，，所以函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，单调递减.所以，所以.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
二、多选题
9．（2024·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】
利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
当时，，函数在上单调递增，故B正确；
当时，，，所以在上单调递增，故D正确；
当时，当时，；当时，；
故A正确；C错误.
故选：ABD.
10．（2023·重庆·三模）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】A选项，根据导函数得到函数的单调性，进而得到；B选项，根据条件得到函数图象上凸，画出函数图象，由的几何意义得到；CD选项，结合，结合图象得到答案.
【详解】A选项，根据可得，在R上单调递增，
因为，所以，A正确；
B选项，因为，，且，总有，
所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，表示函数图象上的各点处的切线斜率，
显然随着的增大，切线斜率变小，且恒为正，
因为，所以，B正确；
C选项，，结合函数图象可知，C错误，D正确.

故选：ABD
三、填空题
11．（2024高三·全国·专题练习）若函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x在区间(1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由条件知f′(x)＝＋2ax＋(2a＋1)≤0，x∈(1，＋∞)恒成立．所以2a(x＋1)＋＋1≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，所以2a≤－，所以a≤－.
12．（22-23高二下·河南焦作·期末）已知函数 ， 若不等式 成立， 则实数的取值范围为
【答案】
【分析】用导数判断的单调性，根据单调性解不等式.
【详解】由得，，
所以在上为减函数，
由得， 解得或.
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可；
（2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可.
【详解】（1）
由题可得，
因为在点处的切线平行于轴，所以，
即，解得，经检验符合题意．
（2）
因为，
令，得或．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
14．（2023高二·全国·专题练习）已知函数，.讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】对求导，然后分和两种情况讨论即可；
【详解】函数的定义域为，
所以.
当时，，所以在上单调递增；
当时，令得，令得，
所以在上单调递减：在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
B能力提升
1．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
设，利用导数求得在上单调递减，把不等式转化为，即可求解.
【详解】
设函数，可得，
所以函数在上单调递减，
由，可得，即，
可得，所以，即不等式的解集为.
故选：D.
2．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）已知是定义在上的函数的导函数，且，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，由导数分析函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
【详解】令，
则在上为减函数，所以，
则.
故选：A
3．（多选）（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知，其图像上能找到A、B两个不同点关于原点对称，则称A、B为函数的一对“友好点”，下列说法正确的是（ ）
A．可能有三对“友好点”
B．若，则有两对“友好点”
C．若仅有一对“友好点”，则
D．当时，对任意的，总是存在使得
【答案】BD
【分析】
不妨设，存在友好点等价于方程有实数根，从而构造函数，利用导数得其单调性，画出图形，讨论的图象以及直线的图象的交点个数情况即可逐一判断求解.
【详解】若和互为友好点，不妨设，
则，即，
令，则，
令，则，
所以单调递减，注意到和同号，且，
所以当时，即，单调递增，
故方程有两个不同的实数根，
分别为，，且，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上可知，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
5．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的单调增区间；
(2)求的单调区间；
(3)若在区间上为减函数，求的取值范围.
【答案】(1)增区间为
(2)答案见解析
(3)
【分析】
（1）将函数求导，使导函数大于0求得，即得函数单调增区间；
（2）将函数求导分解因式，根据参数进行分类讨论，得到函数的单调区间；
（3）由在区间上为减函数等价于在区间上恒成立，结合函数图象，得到关于参数的不等式组，解之即得.
【详解】（1）当时，，
因，由可得，则的单调增区间为.
（2）由求导得，
由可得或.
①当时，由可得，由可得；
②当时，在上恒成立；
③当时，由可得，由可得.
故当时，的单调增区间为，单调减区间为；
当时，的单调增区间为，无递减区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
（3）由（2）得
在区间上为减函数等价于在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
不妨设，结合函数的图象知，需使，解得或.
即的取值范围是.
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数，.
(1)已知，求曲线在处的切线方程；
(2)若且，.研究的单调性；
(3)已知均大于0，且，讨论和大小关系.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则即可求解，
（2）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则求导，构造函数，即可求解，
（3）根据的单调性，即可令求解.
【详解】（1），
则，
所以，又因为，所以切线方程为.
（2），，
，
令，令，
，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递增.
（3）由（2）知，令，得，
由（2）知在上单调递增.
所以在上单调递增，
当时，，即.
当时，
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
单调递增
单调递减
单调递增
单调递增
单调递减
单调递增