2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第03讲导数与函数的极值、最值(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第03讲导数与函数的极值、最值(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共18页。试卷主要包含了已知函数，则下列说法正确的有，已知函数.等内容，欢迎下载使用。

C．D．
7．（2024·河南·一模）已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ）
A．或B．C．或D．
8．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）已知函数其中，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．函数在上单调递增B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极大值D．函数有最大值
10．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有
A．有唯一零点
B．无最大值
C．在区间上单调递增
D．为的一个极小值点
三、填空题
11．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数在处取得极值5，则 .
12．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝ax2－2bx－c ln x＋2b.
(1)若a＝1，b＝0，c＝2，求f(x)在[，e]上的最值；
(2)若a＝0，c＝－1，求函数f(x)在[1，2]上的最大值．
14．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围.
B能力提升
1．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设，若函数有极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数，若是函数的唯一极小值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
5．（2024·云南·一模）已知在上只有一个极值点，则实数的取值范围为 .
6．（2023·全国·模拟预测）已知对于任意正数，恒成立，则正数的取值范围为 ．
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高三上·上海黄浦·期中）设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”．
(1)判断函数与是否“局部趋同”，并说明理由；
(2)已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”；
(3)对于给定的实数，若存在实数，使得函数与“局部趋同”，求实数的取值范围．
第03讲 导数与函数的极值、最值(分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝x－ln x的（ ）
A．极大值为1B．极小值为1
C．极小值为－1D．极小值为e－1
【答案】B
【解析】略
2．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ）

A．在处取得极大值B．是函数的极值点
C．是函数的极小值点D．函数在区间上单调递减
【答案】C
【分析】
根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解.
【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，
故是函数的极小值点，无极大值.
故选：C
3．（20-21高二上·陕西渭南·期末）已知函数的定义域为，且其导函数在内的图像如图所示，则函数在区间内的极大值点的个数为（ ）

A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】结合图象，根据导数大于零，即导函数的图象在轴上方，说明原函数在该区间上是单调递增，否则为减函数，极大值点两侧导数的符号，从左往右，先正后负，因此根据图象即可求得极大值点的个数．
【详解】结合函数图象，根据极大值的定义可知在该点处从左向右导数符号先正后负，
结合图象可知，函数在区间的极大值点只有.
故选：C.
4．（21-22高二下·四川成都·期中）函数在[ 0，3 ]上的最大值为（ ）
A．－2B． C．－1D．1
【答案】B
【分析】求导，由导函数求出单调性，从而确定极大值，再求出端点值，比较得到最大值.
【详解】，
令得：或，
令得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极大值，，
又，
故在[ 0，3 ]上的最大值为.
故选：B
5．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】
借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.
【详解】，
则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得最值，则有，
解得.
故选：C.
6．（2023高二上·江苏·专题练习）已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
利用导数讨论函数的性质，作出函数图形，由题意，结合图形可得，即可求解.
【详解】，，
令得，
且时，；时，，时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，令时，解得或，
所以其图象如下：
由图可知，时存在最小值，
所以，解得，
即实数a的取值范围为.
故选：
7．（2024·河南·一模）已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】D
【分析】
先对函数求导，先后代入和，确定函数的解析式，再通过导函数的符号确定函数的极小值点即可.
【详解】对进行求导，可得，
将代入整理，①
将 代入可得，即，
将其代入① ，解得：，故得.
于是，由可得或，因，
故当时，，当时， ，
即是函数的极小值点，函数没有极大值.
故选：D.
8．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）已知函数其中，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题意不等式成立转化为，利用导数求最值解不等式即可.
【详解】
由于，，
，，
，，即，在上单调递增，
由任意的，都有成立，
所以，即，
，
，又，得，
则实数的取值范围为，
故选：D．
二、多选题
9．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．函数在上单调递增B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极大值D．函数有最大值
【答案】BC
【分析】
根据导数符号与原函数单调性之间的关系可得的单调性，进而逐项分析判断.
【详解】由题意可知：当时，（不恒为0）；
当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
可知：A错误；B正确；
且函数在处取得极大值，故C正确；
虽然确定的单调性，但没有的解析式，故无法确定的最值，故D错误；
故选：BC.
10．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有
A．有唯一零点
B．无最大值
C．在区间上单调递增
D．为的一个极小值点
【答案】BCD
【分析】求出函数的零点判断A；利用导数探讨函数在上的取值情况判断B；利用导数探讨单调性及极值情况判断CD.
【详解】对于A，依题意，，即和是函数的零点，A错误；
对于B，当时，令，求导得，函数在上递增，当时，，
而在上递增，值域为，
因此当时，，则无最大值，B正确；
对于C，，
令，求导得，
当时，令，则，即在上递增，
，则在上递增，，
因此在上递增，即在上单调递增，C正确；
对于D，当时，，
求导得，显然函数在上递增，
而，则存在，使得，
当时，，函数在上单调递增，则，
即当时，，则，又，
因此为的一个极小值点，D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三、填空题
11．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数在处取得极值5，则 .
【答案】
【分析】
由极值及极值点的定义可得、，计算即可得.
【详解】，则有，解得，
，解得，故.
故答案为：.
12．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】
根据给定条件，求出函数在上的最小值即可得解.
【详解】函数，求导得，当时，，
因此函数在上单调递增，，
由不等式在上恒成立，得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝ax2－2bx－c ln x＋2b.
(1)若a＝1，b＝0，c＝2，求f(x)在[，e]上的最值；
(2)若a＝0，c＝－1，求函数f(x)在[1，2]上的最大值．
【答案】(1)最大值为e2－2，最小值为1
(2)答案见解析
【详解】
解：(1) 由已知，得f(x)＝x2－2ln x，
所以f′(x)＝2x－＝.
当x∈(，1)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减；
当x∈(1，e)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝1.
又f()＝－2ln＝＋2，f(e)＝e2－2＞＋2，
所以f(x)max＝f(e)＝e2－2，
即f(x)在[，e]上的最大值为e2－2，最小值为1.
(2) 由已知得f(x)＝ln x－2bx＋2b，
则f′(x)＝－2b＝.
当b≤0时，x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，故b≤0时，函数f(x)在[1，2]上的最大值为f(2)＝ln 2－2b；
当b＞0时，x∈(0，)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
当≤1，即b≥时，f(x)在[1，2]上单调递减，最大值为f(1)＝0；
当≥2，即b≤时，f(x)在[1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝ln 2－2b；
当1＜＜2，即＜b＜时，f(x)在[1，)上单调递增，[，2]上单调递减，最大值为f()＝2b－ln 2b－1.
综上，所以当b≤时，f(x)在[1，2]上的最大值为f(2)＝ln 2－2b；
当＜b＜时，f(x)在[1，2]上的最大值为f()＝2b－ln 2b－1；
当b≥时，f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)＝0.
【考查意图】
利用导数求函数的最值．
14．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，
(3)
【分析】
（1）根据题意，求导得，由导数的几何意义即可得到结果；
（2）根据题意，求导得，求解不等式，即可得到结果；
（3）方法Ⅰ：将函数极值点问题转化为零点问题，然后分，与讨论，即可得到结果；方法Ⅱ：将问题转化为函数交点问题，再结合二次函数的性质，即可得到结果.
【详解】（1）当时，，则，
所以，，，
故当时，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）当时，，该函数的定义域为，，
由，即，解得或，
因此，当时，函数的单调递增区间为，
（3）法Ⅰ：因为，则，
令，因为函数在上有且只有一个极值点，
则函数在上有一个异号零点，
当时，对任意的，恒成立，无零点，故不符合题意；
当时，函数在上单调递增，
因为，只需，故符合题意；
当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，只需，故不符合题意，舍去
综上所述，实数a的取值范围是.
法Ⅱ：令，
则有根，令，
设，，
又函数对称轴为，则时，单调递增，
所以，即，
.
B能力提升
1．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设，若函数有极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据函数存在极值点的条件得到方程，参变分离后即可求得范围.
【详解】因为，
所以，若函数有极值点，
则有解，
方程化为，
故选：A.
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数，若是函数的唯一极小值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求导后令，再求，分及讨论的正负，从而得到的单调性与对应极值点即可得解.
【详解】，令，则，
当时，，故单调递增，
又，故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故是函数的唯一极小值点，符合题意，
当时，，
故一定存在，使在上单调递减，
此时不是函数的极小值点，故时不符合题意，
综上所述，的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是对这一种情况的处理，利用推得不是函数的极小值点，从而得解.
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件，利用导数结合函数单调性建立不等式，再构造函数求出函数最大值即得.
【详解】函数，求导得，
依题意，不等式在上有解，即在上有解，
令，，求导得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当时，，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：C
4．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】
求出在有解，构造函数，根据函数的单调性求出的最大值即可．
【详解】
由存在，使得不等式成立得：
故答案为：.
6．（2023·全国·模拟预测）已知对于任意正数，恒成立，则正数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】
将不等式同构为：，即，构造函数分析单调性，只需比较与的大小即可.
【详解】
不等式，由于，两边同乘，
可得：，即，
构造函数，其导函数为，
所以函数在上单调递增，由，得，
因此，即，则恒成立，令函数，求导得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，，
因此，则，所以正数的取值范围为.
故答案是：
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高三上·上海黄浦·期中）设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”．
(1)判断函数与是否“局部趋同”，并说明理由；
(2)已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”；
(3)对于给定的实数，若存在实数，使得函数与“局部趋同”，求实数的取值范围．
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出两函数的导函数，根据题意列等式解出值，再代入原函数看是否相等即可得出答案；
（2）求出两函数的导函数，根据题意列等式，得出要证明对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”，证明有解即可，再根据二次函数证明即可；
（3）求出两函数的导函数，根据题意列等式，消去得出若有解，函数与就“局部趋同”，令，利用导数求出其值域，即可得出答案.
【详解】（1）由，，
得，，
令，解得：，
，且，
即不存在，满足且，
则函数与不是“局部趋同”；
（2）函数，
则，
若函数与“局部趋同”，
则存在，满足且，
即，且，
则若有解，存在正数，都存在，满足且，
即对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”，
即，其，
即有解，设方程的两根分别为，
不妨设，则，所以，，
而，取，
所以对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”.
（3）若函数与“局部趋同”，
则且，
由，得，
即，则，
代入，得，
即，
则若有解，函数与就“局部趋同”，
即有解，
令，则，
在上，，在上，，
则在上，，在上，，
即在上单调递增，在上单调递减，最大值为，
从趋向于0时，趋向于，趋向于0，
则在从趋向于0时，趋向于，
则，
则要使有解，即，即，
故实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于新概念题要将题中概念转换为我们熟悉的内容再进行求解；解决存在自变量使得两函数相等问题，注意利用等式转换相等的复杂内容，让等式变简单；等式中参数的范围利用参变分离，后构造新函数利用导数求解其值域，注意定义域.