2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第04讲数列求和(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

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三、解答题
9．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式.
(2)设，求数列的前n项和.
10．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知递增等差数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
11．（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）已知数列an中，，．
(1)求an的通项公式；
(2)求和：
12．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和．
B能力提升
1．（2024·福建泉州·二模）已知数列an和bn的各项均为正，且，bn是公比3的等比数列．数列an的前n项和满足．
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
2．（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高二下·河南安阳·期中）在数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，.
2．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）已知实数列{an}满足：，点（在曲线上．
(1)当且时，求实数列{an}的通项公式；
(2)在（1）的条件下，若表示不超过实数t的最大整数，令，是数列bn的前n项和，求的值；
(3)当，时，若存在，且对恒成立，求证：．
第04讲 数列求和 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）已知数列的前项和为．若，则（ ）
A．48B．50C．52D．54
【答案】C
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列求和的其他方法
【分析】根据得到，，，，相加得到答案.
【详解】因为，所以，，，，
所以
故选：C
2．（24-25高三上·山东济宁·开学考试），利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】倒序相加法求和
【分析】利用求解即可.
【详解】，故，
故……，
故.
故选：D
3．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式是其前n项和为，则等于（ ）
A．120B．180C．240D．360
【答案】C
【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】利用并组求和、等差数列的求和公式可得答案.
【详解】由题意得
．
故选：C.
4．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知数列满足，，则该数列的前22项和为（ ）
A．69B．88C．89D．96
【答案】C
【知识点】分组（并项）法求和、由递推数列研究数列的有关性质、特殊角的三角函数值
【分析】利用条件分奇偶讨论的关系，利用分组求和法计算即可.
【详解】当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
故选：C
5．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，前n项和为，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】由定义判定等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】根据给定条件，求出，再利用等比数列前n项和公式计算即得.
【详解】数列中，，由，得，，则有，
因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
故选：D
6．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）在数列中，，，则（ ）
A．380B．800C．880D．40
【答案】B
【知识点】分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、由递推关系证明数列是等差数列、利用定义求等差数列通项公式
【分析】先根据递推公式得出等差数列得出通项公式，再结合通项正负分组求和即可.
【详解】因为，所以，
所以，
当时，，当时，，
所以.
故选：B.
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某数列的通项，则（ ）
A．48B．49C．50D．51
【答案】D
【知识点】倒序相加法求和
【分析】令函数，，所以，由倒序相加法求和即可.
【详解】令函数，
则，
所以．
所以，令，则，
则有，所以．
故选：D．
二、填空题
8．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）计算 ．
【答案】5
【知识点】裂项相消法求和
【分析】 运用裂项相消求和即可.
【详解】此问题可以看作数列的前50项和.
即.
故答案为：5.
三、解答题
9．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式.
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2)
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据等差数列定义即可得数列是以为首项，为公差的等差数列，并求出通项公式；
（2）写出数列的通项公式，利用分组求和的方法即可得出.
【详解】（1）根据题意由易知，
即可得为定值，
由此可得数列是以为首项，公差的等差数列，
所以，可得；
即数列的通项公式为；
（2）由（1）可得；
则数列的前n项和
.
即可得
10．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知递增等差数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）利用因式分解得，即，从而求解通项公式.
（2）解法一：结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和求解即可；解法二：利用并项求和法求和即可.
【详解】（1）设递增等差数列an的公差为d，则，
因为，所以，
即，
因为，，所以，所以，所以，
故数列an的通项公式为.
（2）解法一：
.
解法二：
.
11．（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）已知数列an中，，．
(1)求an的通项公式；
(2)求和：
【答案】(1)；
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和
【分析】（1）由条件证明数列为等比数列，结合等比数列通项公式求数列an的通项公式；
（2）设，，则，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为，
所以，又，
所以数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以an的通项公式为.
（2）设，，则，
由（1）可得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以
所以.
所以
12．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、裂项相消法求和
【分析】（1）利用 来求得an的通项公式.
（2）利用分组求和法、裂项求和法等求和方法来求得数列bn的前2n项和．
【详解】（1）依题意，，，
当时，，解得，（舍去）.
当时，由得，
两式相减得，
即，由于，
所以，所以数列an是首项为，
公差为的等差数列，所以（也符合）.
（2）由（1）得，
所以
.
B能力提升
1．（2024·福建泉州·二模）已知数列an和bn的各项均为正，且，bn是公比3的等比数列．数列an的前n项和满足．
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用递推公式可证得数列an是等差数列，可求出数列an的通项；利用等比数列的性质，可求出bn通项；
（2）根据裂项相消和分组求和法求解即可；
【详解】（1）由题设，当时或（舍），
由，知，
两式相减得，
（舍）或，即，
∴数列an是首项为2，公差为2的等差数列，．
又．
（2）
则
当n为偶数时，；
当n为奇数时，．
1．（23-24高二下·河南安阳·期中）在数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由递推关系式求通项公式、数列求和的其他方法
【分析】（1）降次作差即可得到，最后验证即可；
（2）求出前12项的每一项，最后求和即可.
【详解】（1）当时，，①，
所以当时，②，
①②得，
即也满足该式，所以.
（2）由（1）知，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
依次类推，可知.
所以数列bn的前12项和为.
2．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）已知实数列{an}满足：，点（在曲线上．
(1)当且时，求实数列{an}的通项公式；
(2)在（1）的条件下，若表示不超过实数t的最大整数，令，是数列bn的前n项和，求的值；
(3)当，时，若存在，且对恒成立，求证：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【知识点】数列的极限、数列不等式恒成立问题、数列求和的其他方法、构造法求数列通项
【分析】（1）根据题意，构造等差数列，结合等差数列的通项公式即可求得；
（2）根据（1）中所求，求得，结合“”的定义，即可求得结果；
（3）由，结合递推公式求得，根据其大小关系，以及数列的极限存在，求得的取值范围，同时求得关于的表达式，结合作差法以及递推公式，即可证明.
【详解】（1）由题可知：，
故数列是公差为的等差数列，又，
则，故.
（2）由（1）可知：，
，
，
，
，
故.
（3）根据题意可得，则，又，
即，解得或；
又因为，由数列极限定义可知：，
结合可得：，
故关于的一元二次方程有实数根，
故，解得，又或，故；
由可解得：舍)；
又，且，
故
所以；
又，
故
因为，且，故，
，
则，
故，
故，
综上所述：，即证.
【点睛】本题考查构造数列法求数列的通项公式，涉及等差数列通项公式的求解，以及数列新定义，数列的极限，数列中的证明问题，属综合困难题.