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2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第04讲数列求和(知识+真题+10类高频考点)(精讲)(学生版+解析)
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这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第04讲数列求和(知识+真题+10类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共44页。试卷主要包含了公式法，裂项相消求和法，错位相减求和法，分组求和法，倒序相加求和法等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc24527" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc24527 \h 1
\l "_Tc8155" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc8155 \h 2
\l "_Tc26547" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc26547 \h 5
\l "_Tc2600" 高频考点一：裂项相消求和法（等差型）） PAGEREF _Tc2600 \h 5
\l "_Tc16130" 高频考点二：裂项相消求和法（无理型：形如） PAGEREF _Tc16130 \h 8
\l "_Tc27959" 高频考点三：裂项相消求和法（指数型：形如） PAGEREF _Tc27959 \h 11
\l "_Tc22527" 高频考点四：错位相减求和法 PAGEREF _Tc22527 \h 15
\l "_Tc25699" 高频考点五：分组求和法形如（形如） PAGEREF _Tc25699 \h 19
\l "_Tc4656" 高频考点六：分组求和法形如（形如） PAGEREF _Tc4656 \h 22
\l "_Tc9290" 高频考点七：倒序相加求和法 PAGEREF _Tc9290 \h 27
\l "_Tc7723" 高频考点八：通项含绝对值求和 PAGEREF _Tc7723 \h 29
第一部分：基础知识
1.公式法
(1)等差数列前项和公式;
(2)等比数列前项和公式
2.裂项相消求和法:
裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前项和.
①
②
③
④
⑤
3.错位相减求和法:
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
4.分组求和法:
如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
5.倒序相加求和法:
即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·天津·高考真题）已知数列an是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列an前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；（ⅱ）求．
2．（2024·全国·高考真题（甲卷文））已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
3．（2024·全国·高考真题（甲卷理））记为数列an的前项和，已知．
(1)求an的通项公式；
(2)设，求数列bn的前项和．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：裂项相消求和法（等差型））
典型例题
例题1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)若数列 的前项和为，求证：.
例题2．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知为等差数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设的前n项和，且对于任意，都有恒成立，求m的取值范围．
练透核心考点
1．（23-23高一下·江苏淮安·阶段练习）已知为等差数列，，其前n项和为，若，
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值，并求出相应的n值；
(3)设，求该数列的前n项和．
2．（24-25高三上·江苏无锡·开学考试）已知数列an的前n项和为，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列an的通项公式；
(3)若，数列bn的前n项和为，求．
高频考点二：裂项相消求和法（无理型：形如）
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东广州）已知数列满足，若，则数列的前n项和 .
例题2．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）设，[x]表示不超过x的最大整数，设正项数列{}满足），设数列{bn}的前n项和为，且，则[]= .
练透核心考点
1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知数列，当时， .
2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）我们定义为数列的“特别数”．现已知数列的“特别数”为，则 ．
高频考点三：裂项相消求和法（指数型：形如）
典型例题
例题1．（2023·河北保定·三模）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
例题2．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
练透核心考点
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前n项和；
(3)若数列满足：，求．
2．（23-24高二下·广东·期中）已知数列满足，，设，其中.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)设数列的前项和为，证明：.
高频考点四：错位相减求和法
典型例题
例题1．（23-24高二下·安徽马鞍山）已知数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设是数列的前项和，求证．
例题2．（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知数列是首项为3，公比为9的等比数列，数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川自贡·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)若，令，求数列的前n项和．
2．（23-24高二下·海南·期中）设数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
高频考点五：分组求和法形如（形如）
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东·期末）在公差为3的等差数列中，，数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和．
例题2．（23-24高二下·四川成都·期中）已知等比数列的前项和为，若．
(1)求的通项公式；
(2)求数列前n项和．
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知数列满足：，点在直线上．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．（2024·陕西·三模）数列的前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令，并将数列称为的“生成数列”．
(1)设数列的“生成数列”为，求证：；
(2)若，求其生成数列的前项和．
高频考点六：分组求和法形如（形如）
典型例题
例题1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立．
(1)求的通项公式；
(2)令，记为数列的前项和．证明：当时，．
例题2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列an中，，且成等差数列.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn满足，求数列bn的前项和.
练透核心考点
1．（23-24高二·全国·课后作业）设是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”和对称中心，且拐点就是对称中心．若，则函数的对称中心为 ； ．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
(2)若，求；
高频考点八：通项含绝对值求和
典型例题
例题1．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
例题2．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
练透核心考点
1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）在递减等比数列中，，公比为，且，2是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
2．（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）已知在等差数列中，公差，其前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
第04讲 数列求和
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc24527" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc24527 \h 1
\l "_Tc8155" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc8155 \h 2
\l "_Tc26547" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc26547 \h 5
\l "_Tc2600" 高频考点一：裂项相消求和法（等差型）） PAGEREF _Tc2600 \h 5
\l "_Tc16130" 高频考点二：裂项相消求和法（无理型：形如） PAGEREF _Tc16130 \h 8
\l "_Tc27959" 高频考点三：裂项相消求和法（指数型：形如） PAGEREF _Tc27959 \h 11
\l "_Tc22527" 高频考点四：错位相减求和法 PAGEREF _Tc22527 \h 15
\l "_Tc25699" 高频考点五：分组求和法形如（形如） PAGEREF _Tc25699 \h 19
\l "_Tc4656" 高频考点六：分组求和法形如（形如） PAGEREF _Tc4656 \h 22
\l "_Tc9290" 高频考点七：倒序相加求和法 PAGEREF _Tc9290 \h 27
\l "_Tc7723" 高频考点八：通项含绝对值求和 PAGEREF _Tc7723 \h 29
第一部分：基础知识
1.公式法
(1)等差数列前项和公式;
(2)等比数列前项和公式
2.裂项相消求和法:
裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前项和.
①
②
③
④
⑤
3.错位相减求和法:
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
4.分组求和法:
如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
5.倒序相加求和法:
即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·天津·高考真题）已知数列an是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列an前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
【答案】(1)
(2)①证明见详解；②
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、裂项相消法求和
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解；
（2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
因为，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
当时，则，即
可知，
，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，则；
若，则，
当时，，可知为等差数列，
可得，
所以，
且，符合上式，综上所述：.
【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列；
2.根据等差数列求和分析可得.
2．（2024·全国·高考真题（甲卷文））已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
3．（2024·全国·高考真题（甲卷理））记为数列an的前项和，已知．
(1)求an的通项公式；
(2)设，求数列bn的前项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用退位法可求an的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列an是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：裂项相消求和法（等差型））
典型例题
例题1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)若数列 的前项和为，求证：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）利用公式，消去，得到关于数列an得到递推关系式，即可求解；
（2）利用裂项相消法求和，再证明不等式.
【详解】（1）当时，，结合题设，解得，
因为①，所以，当时，②，
所以，①②得：，即，
因为，，所以，
所以，数列是等差数列，公差为，首项为.
所以；
（2）由（1）知：，
所以.
例题2．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知为等差数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设的前n项和，且对于任意，都有恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）由求公式解方程得出数列an的通项公式；
（2）由裂项相消法求出，再由单调性结合恒成立条件确定m的取值范围．
【详解】（1）设数列an的公差为，则，
解得，即.
（2）由题意得，
所以，即.
练透核心考点
1．（23-23高一下·江苏淮安·阶段练习）已知为等差数列，，其前n项和为，若，
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值，并求出相应的n值；
(3)设，求该数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)当时，最小；的最小值为
(3)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、裂项相消法求和
【分析】（1）由已知条条件推导出，解得，由此能求出数列的通项；
（2）根据等差数列前n项和的的性质，令，得的取值情况，从而得的最小值；
（3）化简，根据裂项相消法求解前n项和即可．
【详解】（1）令数列公差为，由及，
得，解得，
．
（2）令，即，得．
又为正整数，
当时，．
当时，最小．
的最小值为．
（3）∵，
∴.
2．（24-25高三上·江苏无锡·开学考试）已知数列an的前n项和为，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列an的通项公式；
(3)若，数列bn的前n项和为，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据等比数列定义证明即可；
（2）应用前n项和公式及通项公式关系计算即可；
（3）先求等差数列的和，再应用裂项相消求和.
【详解】（1）因为，
所以是首项为公比为的等比数列.
（2）,
当时，,
当时，,
（3）因为,
所以，,
高频考点二：裂项相消求和法（无理型：形如）
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东广州）已知数列满足，若，则数列的前n项和 .
【答案】
【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】变形给定的等式，利用数列前n项和与第n项的关系求出，再利用裂项相消法求和作答.
【详解】数列中，由，
得，
当时，，
两式相减得，整理得，而满足上式，
因此，，
所以.
故答案为：
【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
例题2．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）设，[x]表示不超过x的最大整数，设正项数列{}满足），设数列{bn}的前n项和为，且，则[]= .
【答案】5
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和
【分析】由的关系可推出{}为等差数列，求出通项公式代入，利用放缩法及裂项相消法可求出的范围，即可得解.
【详解】由可得，
两式相减得： ，
化简得，又由正项数列{}可知，，
所以 ，
又，解得
所以{}是以4为首项，4为公差的等差数列，
故，
，
，
又，
，
, .
故答案为：5
练透核心考点
1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知数列，当时， .
【答案】99
【知识点】裂项相消法求和
【分析】裂项相消求和，再解方程即可.
【详解】，
则.
解得.
故答案为：99.
2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）我们定义为数列的“特别数”．现已知数列的“特别数”为，则 ．
【答案】/
【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列新定义
【分析】
根据“特别数”的概念可得，利用相减法求得数列通项，再根据裂项相消法求得结论即可.
【详解】由于为数列的“特别数”，又数列的“特别数”为，
所以，则①，
当时，，
当时，②，
①减去②可得：，又符合该式，
所以，则，
所以
.
故答案为：.
高频考点三：裂项相消求和法（指数型：形如）
典型例题
例题1．（2023·河北保定·三模）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和
【分析】（1）结合题意，利用与的关系式及等比数列的概念即可求解；
（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由，
得，即，
当时，，
两式相减得，
化简得，
当时，，
所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
所以
.
例题2．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和
【分析】（1）设数列的公差为，然后由已知条件列方程组求出，从而可求出其通项公式；
（2）由（1）得，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列的公差为，
由题意可得，解得
；
（2）由（1）可知
，
.
练透核心考点
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前n项和；
(3)若数列满足：，求．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、裂项相消法求和
【分析】（1）由等比数列的通项公式求得公比，即可得数列的通项公式，再结合等差数列的通项公式求出公差和首项后，即可得解；
（2）利用错位相减法即可得解；
（3）利用裂项相消法即可得解．
【详解】（1）设an公差为d，bn公比为q，
∵，，∴，解得或，
∵，∴，
故数列的通项公式为，
∵，，
∴，，解得，，
故数列的通项公式为；
（2）根据题意，，
则，①
，②
①-②：
，
所以；
（3）根据题意，，
则
.
2．（23-24高二下·广东·期中）已知数列满足，，设，其中.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)设数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和、裂项相消法求和
【分析】（1）首先求出，再计算，结合等差数列的定义证明即可；
（2）由（1）可得，则，利用错位相减法求和即可；
（3）由（2）可得，利用裂项相消法求出，即可说明，再判断的单调性，即可得证.
【详解】（1）因为，，且，
所以，
又
，
所以数列是首项为，公差为的等差数列；
（2）由（1）可得，
所以，
则①，
，
①②得
，
所以；
（3）由（2）可得
，
所以，
又
，
所以数列单调递增，所以，
综上可得．
高频考点四：错位相减求和法
典型例题
例题1．（23-24高二下·安徽马鞍山）已知数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设是数列的前项和，求证．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用的关系式即可得出数列是等比数列，即可得；
（2）由（1）即可得，再利用错位相减法即可求出.
【详解】（1）由，得，①
当时，，则，
当时，．②
，得，即，
所以，
即数列是以为首项，以2为公比的等比数列；
所以．
（2）由，得，
则，
，
两式相减得，
所以．
例题2．（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知数列是首项为3，公比为9的等比数列，数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2)
【知识点】错位相减法求和、求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、由递推关系式求通项公式
【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得，利用数列的递推式作差可得，从而得解；
（2）由（1）求得，再利用错位相减法即可得解.
【详解】（1）因为数列是首项为3，公比为9的等比数列，
所以，所以，
由，
得当时，，
两式相减，得，即，
又当时，也符合，
所以.
（2）设，
则，
故.，
两式作差得，
即，
所以.
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川自贡·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)若，令，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】错位相减法求和、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出，则可写出其通项公式；
（2）利用等差数列的前n项和公式，结合第（1）问，即可求得；
（3）利用错位相减，化简解可得出答案.
【详解】（1）设公差为d，中，令得，
又，则，解得，
故；
（2）；
（3），
则①，
故②，
故①－②得
，
故．
2．（23-24高二下·海南·期中）设数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据和的关系求解即可；
（2）先求出的通项，再利用错位相减的方法求和即可.
【详解】（1），.
当时，，解得，
当时，，
.
数列an是以3为首项，3为公比的等比数列，
.
（2），
，
，
两式相减得，
，
即.
高频考点五：分组求和法形如（形如）
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东·期末）在公差为3的等差数列中，，数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得数列的通项公式；
（2）根据分组求和法可求的前项和．
【详解】（1）∵等差数列满足，公差为3，
所以， 所以 ，
则 ，
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）知，，
∴
所以⋯
，
所以
例题2．（23-24高二下·四川成都·期中）已知等比数列的前项和为，若．
(1)求的通项公式；
(2)求数列前n项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据等比数列的求和公式及通项公式求出公比及即可得出通项公式；
（2）由等比数列、等差数列的求和公式，利用分组求和得解.
【详解】（1）∵等比数列an满足，
∴，
∴，
∴，
又．
∴，
∴.
（2）由（1）知，
∴
=.
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知数列满足：，点在直线上．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据等差数列定义求通项公式；
（2）分组求和法求前项和．
【详解】（1）因为点在直线，所以，即．
所以an是等差数列，且首项为，公差为3．
于是，．
（2）因为．
所以2．（2024·陕西·三模）数列的前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令，并将数列称为的“生成数列”．
(1)设数列的“生成数列”为，求证：；
(2)若，求其生成数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】数列新定义、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、求等差数列前n项和
【分析】（1）由“生成数列”的定义证明即可；
（2）由分组求和求解即可.
【详解】（1）由题意可知，
所以，因此，
即是单调递增数列，且，
由“生成数列”的定义可得．
（2）当时，．
，又，
，
当时，．
设数列的前项和为．则．
当时，
又符合上式，所以．
高频考点六：分组求和法形如（形如）
典型例题
例题1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立．
(1)求的通项公式；
(2)令，记为数列的前项和．证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式
【分析】（1）根据得到首项和公差，得到通项公式；
（2）在（1）基础上，得到，先得到当为偶数时，，作差法得到当且为偶数时，，再考虑当为奇数时，，作差法得到当且为奇数时，
，从而证明出结论.
【详解】（1）当时，，解得或0，
是各项均为正数的等差数列，故，
①，
当时，②，
则①-②得，
故，
因为，所以，则，
则的公差为1，则，
经检验，满足要求，故通项公式为；
（2），，
，
当为偶数时，
，
当且为偶数时，，
故；
当为奇数时，，
当且为奇数时，
，
综上，当时，．
例题2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列an中，，且成等差数列.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn满足，求数列bn的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式、等比中项的应用、等差中项的应用
【分析】（1）利用等差中项与等比中项可得数列为等比数列，从而得解；
（2）分为偶数和奇数求数列的前项和.
【详解】（1）成等差数列，
，即，而，
为等比数列，
又，得.
（2），
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
.
练透核心考点
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列an是递增数列，前项和为，且当时，.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设，求数列bn的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式
【分析】（1）根据题意，利用得，进而得，再把两式相减得，然后因式分解解方程可得，从而由等差数列的定义得到数列an的通项公式；
（2）为了确定第项的符号，对进行分类，然后每相邻两项分一组，利用平方差公式因式分解，从而利用等差数列的前项和公式得到答案.
【详解】（1）因为当时，，则，所以，
两式相减可得，整理得，
即.
因为an是递增数列，且，所以，
则，即，
所以数列an是公差为的等差数列，即，
经检验时成立，则.
（2）由（1）知.
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
综上所述，.
2．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，.
(1)求的通项公式;
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据条件转化为关于等差数列的首项和公差的方程组，列式求解；
（2）根据数列的通项公式，以及数列与的关系，利用分组转化的方法，即可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，
，
整理得，解得
；
（2）当n为偶数时，
；
当为奇数时，，
，
当时，上式也成立；
.
高频考点七：倒序相加求和法
典型例题
例题1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 .
【答案】
【知识点】倒序相加法求和、求等差数列前n项和
【分析】利用倒序相加法可得到，即可求得前16项的和.
【详解】，①
，②
两式相加，又因为，
故，所以，
所以的前16项的和为
故答案为：
例题2．（23-24高三·全国·课后作业）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为 .
【答案】11
【知识点】倒序相加法求和
【分析】注意到，后可用倒序相加法求得答案.
【详解】因，
设，则，故.
故答案为：11
练透核心考点
1．（23-24高二·全国·课后作业）设是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”和对称中心，且拐点就是对称中心．若，则函数的对称中心为 ； ．
【答案】
【知识点】倒序相加法求和、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、函数对称性的应用
【分析】求出，，由题意令，解得，再求，即可求出的对称中心，所以，再由倒序相加法即可求出的值.
【详解】解析：，，
令，解得，
又，
所以函数的对称中心为，所以，
所以．
故答案为：；.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
(2)若，求；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】倒序相加法求和、判断或证明函数的对称性
【分析】（1）设，，满足，证明即可；
（2）根据（1）中的性质即可求出.
【详解】（1）证明：因为函数的定义域为，
设，是函数图像上的两点， 其中x1,x2∈(0,1)且，
所以当时，，
当时，.
故.
例题2．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2).
【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）由解的方式解出，进而解出；
（2）分类讨论去除绝对值解出即可.
【详解】（1）因为，且，
当时，，
得，
整理得：，
所以an为首项是，公差为的等差数列，
所以.
（2）由，所以当时，，当时，；
所以当，，
当时，，
而，
所以.
练透核心考点
1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）在递减等比数列中，，公比为，且，2是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而求得，，即可求得，再由等比数列的通项公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）可得，然后分与，结合等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）在等比数列中，，且，
所以，，即，则，
因为2是与的等比中项，所以，，
因为数列是递减数列，则，则，所以，，，
所以，，
所以，；
（2）因为，
当时，，.
当时，，
.
综上所述，.
2．（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）已知在等差数列中，公差，其前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求得，分、两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可得出的表达式.
【详解】（1）解：因为在等差数列中，公差，其前项和为，，且，
则，①
由可得，可得，②
联立①②可得，，
所以，.
（2）解：因为，
当时，且；
当时，.
综上所述，.
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc24527" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc24527 \h 1
\l "_Tc8155" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc8155 \h 2
\l "_Tc26547" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc26547 \h 5
\l "_Tc2600" 高频考点一：裂项相消求和法（等差型）） PAGEREF _Tc2600 \h 5
\l "_Tc16130" 高频考点二：裂项相消求和法（无理型：形如） PAGEREF _Tc16130 \h 8
\l "_Tc27959" 高频考点三：裂项相消求和法（指数型：形如） PAGEREF _Tc27959 \h 11
\l "_Tc22527" 高频考点四：错位相减求和法 PAGEREF _Tc22527 \h 15
\l "_Tc25699" 高频考点五：分组求和法形如（形如） PAGEREF _Tc25699 \h 19
\l "_Tc4656" 高频考点六：分组求和法形如（形如） PAGEREF _Tc4656 \h 22
\l "_Tc9290" 高频考点七：倒序相加求和法 PAGEREF _Tc9290 \h 27
\l "_Tc7723" 高频考点八：通项含绝对值求和 PAGEREF _Tc7723 \h 29
第一部分：基础知识
1.公式法
(1)等差数列前项和公式;
(2)等比数列前项和公式
2.裂项相消求和法:
裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前项和.
①
②
③
④
⑤
3.错位相减求和法:
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
4.分组求和法:
如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
5.倒序相加求和法:
即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·天津·高考真题）已知数列an是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列an前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；（ⅱ）求．
2．（2024·全国·高考真题（甲卷文））已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
3．（2024·全国·高考真题（甲卷理））记为数列an的前项和，已知．
(1)求an的通项公式；
(2)设，求数列bn的前项和．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：裂项相消求和法（等差型））
典型例题
例题1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)若数列 的前项和为，求证：.
例题2．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知为等差数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设的前n项和，且对于任意，都有恒成立，求m的取值范围．
练透核心考点
1．（23-23高一下·江苏淮安·阶段练习）已知为等差数列，，其前n项和为，若，
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值，并求出相应的n值；
(3)设，求该数列的前n项和．
2．（24-25高三上·江苏无锡·开学考试）已知数列an的前n项和为，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列an的通项公式；
(3)若，数列bn的前n项和为，求．
高频考点二：裂项相消求和法（无理型：形如）
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东广州）已知数列满足，若，则数列的前n项和 .
例题2．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）设，[x]表示不超过x的最大整数，设正项数列{}满足），设数列{bn}的前n项和为，且，则[]= .
练透核心考点
1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知数列，当时， .
2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）我们定义为数列的“特别数”．现已知数列的“特别数”为，则 ．
高频考点三：裂项相消求和法（指数型：形如）
典型例题
例题1．（2023·河北保定·三模）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
例题2．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
练透核心考点
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前n项和；
(3)若数列满足：，求．
2．（23-24高二下·广东·期中）已知数列满足，，设，其中.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)设数列的前项和为，证明：.
高频考点四：错位相减求和法
典型例题
例题1．（23-24高二下·安徽马鞍山）已知数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设是数列的前项和，求证．
例题2．（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知数列是首项为3，公比为9的等比数列，数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川自贡·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)若，令，求数列的前n项和．
2．（23-24高二下·海南·期中）设数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
高频考点五：分组求和法形如（形如）
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东·期末）在公差为3的等差数列中，，数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和．
例题2．（23-24高二下·四川成都·期中）已知等比数列的前项和为，若．
(1)求的通项公式；
(2)求数列前n项和．
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知数列满足：，点在直线上．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．（2024·陕西·三模）数列的前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令，并将数列称为的“生成数列”．
(1)设数列的“生成数列”为，求证：；
(2)若，求其生成数列的前项和．
高频考点六：分组求和法形如（形如）
典型例题
例题1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立．
(1)求的通项公式；
(2)令，记为数列的前项和．证明：当时，．
例题2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列an中，，且成等差数列.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn满足，求数列bn的前项和.
练透核心考点
1．（23-24高二·全国·课后作业）设是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”和对称中心，且拐点就是对称中心．若，则函数的对称中心为 ； ．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
(2)若，求；
高频考点八：通项含绝对值求和
典型例题
例题1．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
例题2．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
练透核心考点
1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）在递减等比数列中，，公比为，且，2是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
2．（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）已知在等差数列中，公差，其前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
第04讲 数列求和
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc24527" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc24527 \h 1
\l "_Tc8155" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc8155 \h 2
\l "_Tc26547" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc26547 \h 5
\l "_Tc2600" 高频考点一：裂项相消求和法（等差型）） PAGEREF _Tc2600 \h 5
\l "_Tc16130" 高频考点二：裂项相消求和法（无理型：形如） PAGEREF _Tc16130 \h 8
\l "_Tc27959" 高频考点三：裂项相消求和法（指数型：形如） PAGEREF _Tc27959 \h 11
\l "_Tc22527" 高频考点四：错位相减求和法 PAGEREF _Tc22527 \h 15
\l "_Tc25699" 高频考点五：分组求和法形如（形如） PAGEREF _Tc25699 \h 19
\l "_Tc4656" 高频考点六：分组求和法形如（形如） PAGEREF _Tc4656 \h 22
\l "_Tc9290" 高频考点七：倒序相加求和法 PAGEREF _Tc9290 \h 27
\l "_Tc7723" 高频考点八：通项含绝对值求和 PAGEREF _Tc7723 \h 29
第一部分：基础知识
1.公式法
(1)等差数列前项和公式;
(2)等比数列前项和公式
2.裂项相消求和法:
裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前项和.
①
②
③
④
⑤
3.错位相减求和法:
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
4.分组求和法:
如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
5.倒序相加求和法:
即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·天津·高考真题）已知数列an是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列an前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
【答案】(1)
(2)①证明见详解；②
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、裂项相消法求和
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解；
（2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
因为，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
当时，则，即
可知，
，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，则；
若，则，
当时，，可知为等差数列，
可得，
所以，
且，符合上式，综上所述：.
【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列；
2.根据等差数列求和分析可得.
2．（2024·全国·高考真题（甲卷文））已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
3．（2024·全国·高考真题（甲卷理））记为数列an的前项和，已知．
(1)求an的通项公式；
(2)设，求数列bn的前项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用退位法可求an的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列an是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：裂项相消求和法（等差型））
典型例题
例题1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)若数列 的前项和为，求证：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）利用公式，消去，得到关于数列an得到递推关系式，即可求解；
（2）利用裂项相消法求和，再证明不等式.
【详解】（1）当时，，结合题设，解得，
因为①，所以，当时，②，
所以，①②得：，即，
因为，，所以，
所以，数列是等差数列，公差为，首项为.
所以；
（2）由（1）知：，
所以.
例题2．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知为等差数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设的前n项和，且对于任意，都有恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）由求公式解方程得出数列an的通项公式；
（2）由裂项相消法求出，再由单调性结合恒成立条件确定m的取值范围．
【详解】（1）设数列an的公差为，则，
解得，即.
（2）由题意得，
所以，即.
练透核心考点
1．（23-23高一下·江苏淮安·阶段练习）已知为等差数列，，其前n项和为，若，
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值，并求出相应的n值；
(3)设，求该数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)当时，最小；的最小值为
(3)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、裂项相消法求和
【分析】（1）由已知条条件推导出，解得，由此能求出数列的通项；
（2）根据等差数列前n项和的的性质，令，得的取值情况，从而得的最小值；
（3）化简，根据裂项相消法求解前n项和即可．
【详解】（1）令数列公差为，由及，
得，解得，
．
（2）令，即，得．
又为正整数，
当时，．
当时，最小．
的最小值为．
（3）∵，
∴.
2．（24-25高三上·江苏无锡·开学考试）已知数列an的前n项和为，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列an的通项公式；
(3)若，数列bn的前n项和为，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据等比数列定义证明即可；
（2）应用前n项和公式及通项公式关系计算即可；
（3）先求等差数列的和，再应用裂项相消求和.
【详解】（1）因为，
所以是首项为公比为的等比数列.
（2）,
当时，,
当时，,
（3）因为,
所以，,
高频考点二：裂项相消求和法（无理型：形如）
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东广州）已知数列满足，若，则数列的前n项和 .
【答案】
【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】变形给定的等式，利用数列前n项和与第n项的关系求出，再利用裂项相消法求和作答.
【详解】数列中，由，
得，
当时，，
两式相减得，整理得，而满足上式，
因此，，
所以.
故答案为：
【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
例题2．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）设，[x]表示不超过x的最大整数，设正项数列{}满足），设数列{bn}的前n项和为，且，则[]= .
【答案】5
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和
【分析】由的关系可推出{}为等差数列，求出通项公式代入，利用放缩法及裂项相消法可求出的范围，即可得解.
【详解】由可得，
两式相减得： ，
化简得，又由正项数列{}可知，，
所以 ，
又，解得
所以{}是以4为首项，4为公差的等差数列，
故，
，
，
又，
，
, .
故答案为：5
练透核心考点
1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知数列，当时， .
【答案】99
【知识点】裂项相消法求和
【分析】裂项相消求和，再解方程即可.
【详解】，
则.
解得.
故答案为：99.
2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）我们定义为数列的“特别数”．现已知数列的“特别数”为，则 ．
【答案】/
【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列新定义
【分析】
根据“特别数”的概念可得，利用相减法求得数列通项，再根据裂项相消法求得结论即可.
【详解】由于为数列的“特别数”，又数列的“特别数”为，
所以，则①，
当时，，
当时，②，
①减去②可得：，又符合该式，
所以，则，
所以
.
故答案为：.
高频考点三：裂项相消求和法（指数型：形如）
典型例题
例题1．（2023·河北保定·三模）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和
【分析】（1）结合题意，利用与的关系式及等比数列的概念即可求解；
（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由，
得，即，
当时，，
两式相减得，
化简得，
当时，，
所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
所以
.
例题2．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和
【分析】（1）设数列的公差为，然后由已知条件列方程组求出，从而可求出其通项公式；
（2）由（1）得，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列的公差为，
由题意可得，解得
；
（2）由（1）可知
，
.
练透核心考点
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前n项和；
(3)若数列满足：，求．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、裂项相消法求和
【分析】（1）由等比数列的通项公式求得公比，即可得数列的通项公式，再结合等差数列的通项公式求出公差和首项后，即可得解；
（2）利用错位相减法即可得解；
（3）利用裂项相消法即可得解．
【详解】（1）设an公差为d，bn公比为q，
∵，，∴，解得或，
∵，∴，
故数列的通项公式为，
∵，，
∴，，解得，，
故数列的通项公式为；
（2）根据题意，，
则，①
，②
①-②：
，
所以；
（3）根据题意，，
则
.
2．（23-24高二下·广东·期中）已知数列满足，，设，其中.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)设数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和、裂项相消法求和
【分析】（1）首先求出，再计算，结合等差数列的定义证明即可；
（2）由（1）可得，则，利用错位相减法求和即可；
（3）由（2）可得，利用裂项相消法求出，即可说明，再判断的单调性，即可得证.
【详解】（1）因为，，且，
所以，
又
，
所以数列是首项为，公差为的等差数列；
（2）由（1）可得，
所以，
则①，
，
①②得
，
所以；
（3）由（2）可得
，
所以，
又
，
所以数列单调递增，所以，
综上可得．
高频考点四：错位相减求和法
典型例题
例题1．（23-24高二下·安徽马鞍山）已知数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设是数列的前项和，求证．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用的关系式即可得出数列是等比数列，即可得；
（2）由（1）即可得，再利用错位相减法即可求出.
【详解】（1）由，得，①
当时，，则，
当时，．②
，得，即，
所以，
即数列是以为首项，以2为公比的等比数列；
所以．
（2）由，得，
则，
，
两式相减得，
所以．
例题2．（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知数列是首项为3，公比为9的等比数列，数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2)
【知识点】错位相减法求和、求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、由递推关系式求通项公式
【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得，利用数列的递推式作差可得，从而得解；
（2）由（1）求得，再利用错位相减法即可得解.
【详解】（1）因为数列是首项为3，公比为9的等比数列，
所以，所以，
由，
得当时，，
两式相减，得，即，
又当时，也符合，
所以.
（2）设，
则，
故.，
两式作差得，
即，
所以.
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川自贡·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)若，令，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】错位相减法求和、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出，则可写出其通项公式；
（2）利用等差数列的前n项和公式，结合第（1）问，即可求得；
（3）利用错位相减，化简解可得出答案.
【详解】（1）设公差为d，中，令得，
又，则，解得，
故；
（2）；
（3），
则①，
故②，
故①－②得
，
故．
2．（23-24高二下·海南·期中）设数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据和的关系求解即可；
（2）先求出的通项，再利用错位相减的方法求和即可.
【详解】（1），.
当时，，解得，
当时，，
.
数列an是以3为首项，3为公比的等比数列，
.
（2），
，
，
两式相减得，
，
即.
高频考点五：分组求和法形如（形如）
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东·期末）在公差为3的等差数列中，，数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得数列的通项公式；
（2）根据分组求和法可求的前项和．
【详解】（1）∵等差数列满足，公差为3，
所以， 所以 ，
则 ，
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）知，，
∴
所以⋯
，
所以
例题2．（23-24高二下·四川成都·期中）已知等比数列的前项和为，若．
(1)求的通项公式；
(2)求数列前n项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据等比数列的求和公式及通项公式求出公比及即可得出通项公式；
（2）由等比数列、等差数列的求和公式，利用分组求和得解.
【详解】（1）∵等比数列an满足，
∴，
∴，
∴，
又．
∴，
∴.
（2）由（1）知，
∴
=.
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知数列满足：，点在直线上．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据等差数列定义求通项公式；
（2）分组求和法求前项和．
【详解】（1）因为点在直线，所以，即．
所以an是等差数列，且首项为，公差为3．
于是，．
（2）因为．
所以2．（2024·陕西·三模）数列的前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令，并将数列称为的“生成数列”．
(1)设数列的“生成数列”为，求证：；
(2)若，求其生成数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】数列新定义、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、求等差数列前n项和
【分析】（1）由“生成数列”的定义证明即可；
（2）由分组求和求解即可.
【详解】（1）由题意可知，
所以，因此，
即是单调递增数列，且，
由“生成数列”的定义可得．
（2）当时，．
，又，
，
当时，．
设数列的前项和为．则．
当时，
又符合上式，所以．
高频考点六：分组求和法形如（形如）
典型例题
例题1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立．
(1)求的通项公式；
(2)令，记为数列的前项和．证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式
【分析】（1）根据得到首项和公差，得到通项公式；
（2）在（1）基础上，得到，先得到当为偶数时，，作差法得到当且为偶数时，，再考虑当为奇数时，，作差法得到当且为奇数时，
，从而证明出结论.
【详解】（1）当时，，解得或0，
是各项均为正数的等差数列，故，
①，
当时，②，
则①-②得，
故，
因为，所以，则，
则的公差为1，则，
经检验，满足要求，故通项公式为；
（2），，
，
当为偶数时，
，
当且为偶数时，，
故；
当为奇数时，，
当且为奇数时，
，
综上，当时，．
例题2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列an中，，且成等差数列.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn满足，求数列bn的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式、等比中项的应用、等差中项的应用
【分析】（1）利用等差中项与等比中项可得数列为等比数列，从而得解；
（2）分为偶数和奇数求数列的前项和.
【详解】（1）成等差数列，
，即，而，
为等比数列，
又，得.
（2），
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
.
练透核心考点
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列an是递增数列，前项和为，且当时，.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设，求数列bn的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式
【分析】（1）根据题意，利用得，进而得，再把两式相减得，然后因式分解解方程可得，从而由等差数列的定义得到数列an的通项公式；
（2）为了确定第项的符号，对进行分类，然后每相邻两项分一组，利用平方差公式因式分解，从而利用等差数列的前项和公式得到答案.
【详解】（1）因为当时，，则，所以，
两式相减可得，整理得，
即.
因为an是递增数列，且，所以，
则，即，
所以数列an是公差为的等差数列，即，
经检验时成立，则.
（2）由（1）知.
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
综上所述，.
2．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，.
(1)求的通项公式;
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据条件转化为关于等差数列的首项和公差的方程组，列式求解；
（2）根据数列的通项公式，以及数列与的关系，利用分组转化的方法，即可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，
，
整理得，解得
；
（2）当n为偶数时，
；
当为奇数时，，
，
当时，上式也成立；
.
高频考点七：倒序相加求和法
典型例题
例题1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 .
【答案】
【知识点】倒序相加法求和、求等差数列前n项和
【分析】利用倒序相加法可得到，即可求得前16项的和.
【详解】，①
，②
两式相加，又因为，
故，所以，
所以的前16项的和为
故答案为：
例题2．（23-24高三·全国·课后作业）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为 .
【答案】11
【知识点】倒序相加法求和
【分析】注意到，后可用倒序相加法求得答案.
【详解】因，
设，则，故.
故答案为：11
练透核心考点
1．（23-24高二·全国·课后作业）设是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”和对称中心，且拐点就是对称中心．若，则函数的对称中心为 ； ．
【答案】
【知识点】倒序相加法求和、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、函数对称性的应用
【分析】求出，，由题意令，解得，再求，即可求出的对称中心，所以，再由倒序相加法即可求出的值.
【详解】解析：，，
令，解得，
又，
所以函数的对称中心为，所以，
所以．
故答案为：；.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
(2)若，求；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】倒序相加法求和、判断或证明函数的对称性
【分析】（1）设，，满足，证明即可；
（2）根据（1）中的性质即可求出.
【详解】（1）证明：因为函数的定义域为，
设，是函数图像上的两点， 其中x1,x2∈(0,1)且，
所以当时，，
当时，.
故.
例题2．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2).
【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）由解的方式解出，进而解出；
（2）分类讨论去除绝对值解出即可.
【详解】（1）因为，且，
当时，，
得，
整理得：，
所以an为首项是，公差为的等差数列，
所以.
（2）由，所以当时，，当时，；
所以当，，
当时，，
而，
所以.
练透核心考点
1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）在递减等比数列中，，公比为，且，2是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而求得，，即可求得，再由等比数列的通项公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）可得，然后分与，结合等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）在等比数列中，，且，
所以，，即，则，
因为2是与的等比中项，所以，，
因为数列是递减数列，则，则，所以，，，
所以，，
所以，；
（2）因为，
当时，，.
当时，，
.
综上所述，.
2．（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）已知在等差数列中，公差，其前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求得，分、两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可得出的表达式.
【详解】（1）解：因为在等差数列中，公差，其前项和为，，且，
则，①
由可得，可得，②
联立①②可得，，
所以，.
（2）解：因为，
当时，且；
当时，.
综上所述，.
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