2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第04讲简单的三角恒等变换(知识+真题+6类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第04讲简单的三角恒等变换(知识+真题+6类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共36页。试卷主要包含了半角公式，万能公式，和差化积公式，积化和差公式等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc23494" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc23494 \h 1
\l "_Tc7410" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc7410 \h 2
\l "_Tc4791" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc4791 \h 3
\l "_Tc17017" 高频考点一：三角函数式的化简 PAGEREF _Tc17017 \h 3
\l "_Tc2355" 高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型） PAGEREF _Tc2355 \h 4
\l "_Tc22393" 高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型） PAGEREF _Tc22393 \h 5
\l "_Tc22521" 高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型） PAGEREF _Tc22521 \h 6
\l "_Tc23669" 高频考点五：半角公式 PAGEREF _Tc23669 \h 7
\l "_Tc9530" 高频考点六：万能公式 PAGEREF _Tc9530 \h 9
\l "_Tc20394" 第四部分：新定义题 PAGEREF _Tc20394 \h 10
第一部分：基础知识
1、半角公式
（1）.
（2）.
（3）.
2、万能公式（拓展视野）
（1）
（2）
（3）其中
3、和差化积公式（拓展视野）
4、积化和差公式（拓展视野）
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：三角函数式的化简
典型例题
1．（2024·河北·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）化简求值：
(1)；
(2)；
(3)已知，，求的值．
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）求值；
(1)
(2)
2．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）（1）求的值；
（2）已知，求函数的值域.
高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型）
典型例题
1．（2024·陕西西安·一模）等于（ ）
A．B．C．D．1
2．（多选）（23-24高一上·浙江宁波·期末）下列式子化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值.
(1);
(2).
练透核心考点
1．（多选）（22-23高一下·江苏连云港·期中）计算下列各式，结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列各式中值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高一下·湖南株洲·竞赛） ．
高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型）
典型例题
1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南衡阳·二模）已知，则（ ）
A．B．C．2D．4
3．（2024·全国·模拟预测）已知为第二象限角，则 ．
4．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知.
(1)求；
(2)求.
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·贵州毕节·二模）若，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）若，则 .
4．（23-24高一下·吉林·阶段练习）设当时，函数取得最大值，则 ．
高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型）
典型例题
1．（23-24高一下·吉林·阶段练习）已知，，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求的值．
4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
已知，且满足条件___________.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
练透核心考点
1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知，其中.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)设，且，求的值.
4．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知.
(1)求的值；
(2)求.
高频考点五：半角公式
典型例题
1．（2024·湖南邵阳·二模）已知为锐角，若，则（ ）
高频考点六：万能公式
典型例题
1．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三·上海·专题练习）已知，求.
练透核心考点
1．（23-24高一·全国·课时练习）已知，且，则的值为（ ）
A．3B．2
C．D．
2．（23-24高一下·上海·课时练习）已知， .
3．（23-24高三下·北京海淀·期中）若，则 .
第四部分：新定义题
1．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:
具体过程如下：
如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以为始边作角.它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B．
则
由向量数量积的坐标表示，有：
设的夹角为θ，则
另一方面，由图3.1—3（1）可知，；由图可知，
.于是.
所以，也有，
所以，对于任意角有：（）
此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.
有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了.
阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：
（1）判断是否正确？（不需要证明）
（2）证明：
（3）利用以上结论求函数的单调区间.
第04讲 简单的三角恒等变换
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc23494" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc23494 \h 1
\l "_Tc7410" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc7410 \h 2
\l "_Tc4791" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc4791 \h 3
\l "_Tc17017" 高频考点一：三角函数式的化简 PAGEREF _Tc17017 \h 3
\l "_Tc2355" 高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型） PAGEREF _Tc2355 \h 5
\l "_Tc22393" 高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型） PAGEREF _Tc22393 \h 8
\l "_Tc22521" 高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型） PAGEREF _Tc22521 \h 12
\l "_Tc23669" 高频考点五：半角公式 PAGEREF _Tc23669 \h 18
\l "_Tc9530" 高频考点六：万能公式 PAGEREF _Tc9530 \h 21
\l "_Tc20394" 第四部分：新定义题 PAGEREF _Tc20394 \h 24
第一部分：基础知识
1、半角公式
（1）.
（2）.
（3）.
2、万能公式（拓展视野）
（1）
（2）
（3）其中
3、和差化积公式（拓展视野）
4、积化和差公式（拓展视野）
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】
因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：三角函数式的化简
典型例题
1．（2024·河北·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据正切的倍角公式求得，再利用同角三角函数关系，将目标式进行转化，计算即可.
【详解】，故；
则.
故选：C.
2．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）化简求值：
(1)；
(2)；
(3)已知，，求的值．
【答案】(1)4
(2)1
(3)
【分析】（1）由二倍角公式，利用两角和与差的正弦公式化简即可得出答案；
（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式和诱导公式化简即可得出答案；
（3）利用同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式求解即可得出答案.
【详解】（1）.
（2）
.
（3）已知，，，，
所以，
.
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）求值；
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用诱导公式，逆用和角的正弦公式求解即得.
（2）利用二倍角公式，凑特殊角的方法化简即得.
【详解】（1）.
（2）
.
2．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）（1）求的值；
（2）已知，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用辅助角公式，结合三角函数的诱导公式即可得解；
（2）利用换元法与辅助角公式、同角的基本关系式将函数转化为关于的二次函数，从而得解.
【详解】（1）
.
（2）令，
当时，，故，即，
又，所以，
故，
又在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最大值，当时，函数取得最小值，
所以的值域为.
高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型）
典型例题
1．（2024·陕西西安·一模）等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】
利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】
.
故选：C
2．（多选）（23-24高一上·浙江宁波·期末）下列式子化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】
利用诱导公式结合两角差的正弦公式可判断A选项；利用辅助角公式可判断B选项；利用两角差的正切公式可判断C选项；利用诱导公式结合二倍角的正弦公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，
，A错；
对于B选项，
，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，
，D对.
故选：BD.
3．（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值.
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合正切的倍角公式，即可求解；
（2）根据题意，结合正弦的倍角公式和两角差的正弦公式，准确计算，即可求解.
【详解】（1）解：由正切的倍角公式，可得.
（2）解：由
.
练透核心考点
1．（多选）（22-23高一下·江苏连云港·期中）计算下列各式，结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据辅助角公式即可求解A，根据正切的和差角公式即可求解BC，根据二倍角公式即可求解D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确．
对于C，，C错误；
对于D，，D错误；
故选：AB．
2．（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列各式中值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A项，逆用两角和的正切公式计算即得；对于B项，利用二倍角的正弦公式即得；对于C项，利用二倍角的余弦公式即得；对于D项，利用诱导公式和同角的基本关系式计算即得.
【详解】对于A项，，故A项符合；
对于B项，,故B项符合；
对于C项，，故C项不符合；
对于D项，，故D项符合.
故选：ABD.
3．（2024高一下·湖南株洲·竞赛） ．
【答案】
【分析】
利用二倍角公式及和差角公式计算可得.
【详解】
.
故答案为：
高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型）
典型例题
1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化简求得答案.
【详解】由，得，
.
故选：B.
2．（2024·湖南衡阳·二模）已知，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】利用诱导公式，二倍角公式和同角三角函数基本关系，结合角的取值范围，可求角的正切值.
【详解】由，
所以或.
又，所以.
所以.
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）已知为第二象限角，则 ．
【答案】
【分析】由及同角三角函数的基本关系可求得，再根据并结合两角和的正弦公式即可得解．
【详解】，
，
，
为第二象限角，，，
．
故答案为：
4．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角基本关系式与角的范围求得，再利用两角差的余弦公式即可得解；
（2）利用同角基本关系式与角的范围求得，再利用两角和的正弦公式即可得解.
【详解】（1）因为，，则，
所以.
（2）因为，所以，
又，所以，
所以
.
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数基本关系和两角和的正弦公式进行计算可得结果.
【详解】因为，，所以，
所以.
故选：C
2．（2024·贵州毕节·二模）若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先判断，再由同角三角函数的基本关系求出，最后由二倍角余弦公式计算可得.
【详解】因为，且，
所以，又，解得或（舍去），
又，解得或，
又，所以，所以，所以.
故选：B
3．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）若，则 .
【答案】
【分析】利用两角差的正切公式求解即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
4．（23-24高一下·吉林·阶段练习）设当时，函数取得最大值，则 ．
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性求出，进而利用差角的余弦求解即得.
【详解】依题意，函数，
其中锐角满足，当时，，
因此，
所以.
故答案为：
高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型）
典型例题
1．（23-24高一下·吉林·阶段练习）已知，，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正切的倍角公式求得，再结合正切的和角公式求得，结合的范围，即可求得结果.
【详解】；
，
又，，故，，
又，，故，则.
故选：B.
2．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出、，再求出即可.
【详解】因为，，
所以，
解得，
所以，
又，所以，所以.
故选：A
3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）化切为弦，得到，证明出结论；
（2）由正弦差角公式得到，结合（1）中的求出答案；
（3）先得到，利用正弦和角公式得到，求出答案.
【详解】（1）因为，所以，；
（2）因为 所以，
由（1）知，故，
解得，故；
（3）因为，，
故，所以，
所以，，
所以，
故.
4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
已知，且满足条件___________.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，先求出，再求齐次式的值.
（2）先确定两角和的取值范围，再确定两角和的三角函数值，可得角的大小.
【详解】（1）若选①，则原式可化为：.
若选②，则，且，所以，
所以.
若选③，则且，所以，
所以.
所以总有.
所以.
（2）由（1）可知，，，且，
又，且，所以，
所以：，
且.
所以.
练透核心考点
1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出、，再由利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】因为，所以，又，所以，则，
所以，
又，所以，又，
所以，
于是
，
又，则.
故选：B.
2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据题意求出及，然后再由从而可求解.
【详解】因为，所以，
所以，又因为，
所以，
所以
，则，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以
，所以，故C正确.
故选：C.
3．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知，其中.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)设，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知条及两角和的正切公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解；
（3）根据已知条件及（1）的结论，利用同角三角函数的平方关系及凑角法，结合两角差的正弦公式即可求解.
【详解】（1）由，得，
解得.
（2）由（1）知，，
.
（3）因为，，
所以.
因为，
所以，，
所以.
所以,
因为，
所以.
4．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知.
(1)求的值；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得的值．
（2）根据（1）求出，利用角的范围确定的值.
【详解】（1）因为，所以，，
所以
则；
（2）因为所以，
由（1）可得，
故.
高频考点五：半角公式
典型例题
1．（2024·湖南邵阳·二模）已知为锐角，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由平方关系以及半角公式（二倍角公式）运算即可求解.
【详解】已知为锐角，若，则，
所以.
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）已知角是第二象限角，且终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据已知条件求出和的值，再利用求解即可.
【详解】∵角是第二象限角，且终边经过点，
∴，，
∴.
故选：C．
3．（23-24高一·全国·课时练习）已知，，则 .
【答案】
【分析】首先由同角三角函数的基本关系求出，再由半角公式计算可得.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故答案为：
4．（22-23高三上·河北石家庄·期末）已知，则 .
【答案】
【分析】利用半角公式即可求解.
【详解】因为，且，
所以，
故答案为：.
练透核心考点
1．（23-24高一·全国·课后作业）设，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
借助，得出与所处区间及象限，结合三角恒等变换公式即可得.
【详解】，，，
故，又，
.
故选：D.
2．（23-24高一·全国·课后作业）已知，，，均为锐角，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】运用同角三角函数平方关系、二倍角公式及角的配凑求解即可.
【详解】因为， ，
所以，
又因为，所以，
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以.
故选：B.
3．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知，，则 ．
【答案】/
【分析】根据求得，利用半角公式求出即得.
【详解】由可知，故．
故答案为：.
4．（22-23高一·全国·随堂练习）已知，角的终边在第一象限，求的值．
【答案】
【分析】先求出，根据半角公式得出的值．
【详解】解：因为，角的终边在第一象限，
所以，
所以.
高频考点六：万能公式
典型例题
1．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式可得，即可根据同角关系得，进而即可由半角公式求解.
【详解】由可得，故，
由于是第四象限角，故，
∴．
故选：D．
2．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式、倍角正弦公式得，结合万能公式求出即可求最终值.
【详解】，
∵，
∴
故选：B
【点睛】本题考查了三角恒等变换，根据诱导公式、倍角公式化简目标式，结合已知以及万能公式求值，属于简单题.
3．（2024高三·上海·专题练习）已知，求.
【答案】
【解析】先由，利用万能公式得再利用平方关系求，最后根据两角差余弦公式求结果.
【详解】
【点睛】本题考查万能公式、同角三角函数平方关系、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
练透核心考点
1．（23-24高一·全国·课时练习）已知，且，则的值为（ ）
A．3B．2
C．D．
【答案】D
【分析】首先利用诱导公式求出，再由正切的半角公式以及的范围即可求解．
【详解】，.
A，B．
则
由向量数量积的坐标表示，有：
设的夹角为θ，则
另一方面，由图3.1—3（1）可知，；由图可知，
.于是.
所以，也有，
所以，对于任意角有：（）
此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.
有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了.
阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：
（1）判断是否正确？（不需要证明）
（2）证明：
（3）利用以上结论求函数的单调区间.
【答案】(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为，
的单调递减区间为
【分析】(1) 因为对是方向上的单位向量,又且与共线,即可判断出正确;
(2)在中, ,又,表示出,的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论;
即
(3)由(2)结论化简可得借助正弦型函数的性质即可求得结果.
【详解】(1) 因为对于非零向量是方向上的单位向量,又且与共线,所以正确;
(2) 因为M为AB的中点,则,从而在中, ,又,又,,所以,
即
(3) 因为令,解得:
所以的单调递增区间为
令,解得:
所以的单调递减区间为
【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.