2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第05讲利用导数研究不等式能成立(有解)问题(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第05讲利用导数研究不等式能成立(有解)问题(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共17页。试卷主要包含了的部分图象如图示，已知函数.等内容，欢迎下载使用。

8．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知，，，使成立.则a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数（，），，函数的图像过点，且关于直线对称，若对任意的，存在，使得，则实数m的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知命题“，”为假命题，则实数的可能取值是（ ）
A．1B．3C．D．4
三、填空题
11．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 .
12．（21-22高三下·浙江·阶段练习）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是 .
四、解答题
13．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知函数（，且）的部分图象如图示．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围．
14．（22-23高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数.
(1)求在上的值域；
(2)当时，已知，若，使得，求的取值范围.
B能力提升
1．（2023·四川绵阳·三模）设函数为与中较大的数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，若，满足，则称函数具有性质．已知定义在上的函数具有性质，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022高三·全国·专题练习）已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知为实数，用表示不大于的最大整数．对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”．若函数是“函数”，则正实数的取值范围是
C综合素养
1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）给定，若存在实数使得成立，则定义为的点．已知函数．
(1)当，时，求的点；
(2)对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数的取值范围．
第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题
(分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·湖北·开学考试）下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】变形得到，根据函数单调性得到，故，由于是的真子集，故A正确，其他选项不合要求.
【详解】，，
即，，
∴，其中在上单调递减，
在上单调递增，
其中时，，当时，，
故，即，
由于是的真子集，故“”的必要不充分条件为“”，
其他选项均不合要求.
故选：A
2．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得出求解即可.
【详解】，，所以，，
在上单调递减，所以，
当时，，即，取成立.
当时，，即，得，所以
当时，，即，得，所以，
综上： 的取值范围是.
故选：A
3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）在上定义新运算，若存在实数，使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得存在实数，使得，则，求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围，即可得解.
【详解】由已知，存在实数，使得，则，
因为二次函数在区间上单调递减，则，
所以，，故实数的最大值为.
故选：A.
4．（22-23高一上·辽宁营口·期末）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，根据函数单调性得到，，得到不等式，求出实数的取值范围是.
【详解】若，，使得，
故只需，
其中在上单调递减，故，
在上单调递增，故，
所以，解得：，
实数的取值范围是.
故选：C
5．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）若存在，有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分离参数得在上有解，从而，利用对勾函数的单调性求得最值即可求解.
【详解】因为存在，有成立，
所以在上有解，所以，
记，，令，则，，
由对勾函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增，
又当时，的函数值为，当时，的函数值为，且,
所以，即实数的取值范围是.
故选：B.
6．（23-24高一上·河北石家庄·期中）在上定义运算：．已知时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得当时存在使不等式成立，令，，根据二次函数的性质求出的最大值，即可得到，解得即可.
【详解】依题意不等式，即，
即，
则当时存在使不等式成立，
即当时存在使不等式成立，
令，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且、、，所以，
所以，解得，即实数的取值范围为.
故选：A
7．（23-24高一上·重庆南岸·期中）已知函数满足条件：在R上是减函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将问题转化为能成立，再利用对勾函数的单调性即可得解.
【详解】因为，
所以，，
所以，可化为，
因为在R上是减函数，所以，
所以问题转化为，使成立，即，则，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当或时，取得最大值，
所以，即.
故选：B.
8．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知，，，使成立.则a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将问题化为在上成立，利用指对数的单调性求对应最值，再求解不等式解集即可.
【详解】由题设，使成立，
所以在上成立，
对于，有，
对于，有，
所以，即，可得.
故选：B
二、多选题
9．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数（，），，函数的图像过点，且关于直线对称，若对任意的，存在，使得，则实数m的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据已知列方程可求出的解析式，将问题转化为在给定区间恒成立，求出函数最小值，然后把问题转化成，进而求解即可.
【详解】∵的图像关于直线对称，
∴，即，
由于，故，
又∵函数的图像过点，
∴，解得．
于是；
又“对任意，存在，使得”等价于“”，
当时，，
即，即．
于是，即，
又，
∴，
即.
的取值范围是．
故选：CD
10．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知命题“，”为假命题，则实数的可能取值是（ ）
A．1B．3C．D．4
【答案】BD
【分析】根据题意，由条件可得“，”为真命题，然后分离参数，即可得到结果.
【详解】因为命题“，”为假命题，
则命题“，”为真命题，
所以，，
令，因为为增函数，为增函数，
所以在单调递增，当时，有最小值，即，
所以.
故选：BD
三、填空题
11．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据存在性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数的对称轴为，
所以当时，该二次函数单调递增，所以，
因为存在，使得不等式成立，
所以有，或，
因此实数的取值范围为，
故答案为：
12．（21-22高三下·浙江·阶段练习）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】将问题转化为在对应区间上，结合对勾函数、对数函数的性质求、的区间最值，即可求的范围.
【详解】若在上的最大值，在上的最大值，
由题设，只需即可.
在上，当且仅当时等号成立，
由对勾函数的性质：在上递增，故.
在上，单调递增，则，
所以，可得.
故答案为：.
四、解答题
13．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知函数（，且）的部分图象如图示．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解；
（2）将问题转化为在有解，结合函数的单调性即可得解.
【详解】（1）由图象可知函数经过点和，
所以，解得，
所以函数的解析式是．
（2）由（1）知，，
根据题意知，即在有解，
设，则，
因为和在上都是单调递增函数，
所以在上是单调递增函数，故，
所以，实数m的取值范围是．
14．（22-23高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数.
(1)求在上的值域；
(2)当时，已知，若，使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将化为关于的类二次函数，结合换元法和二次函数性质可求在上的值域；
（2）若，使得，则问题转化为：
分别求出最值解不等式即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）当，
令，
则，
由于函数在上单调递增，
故当时，取得最小值；
当时，取得最大值，
所以的值域为；
（2）若，使得，
则问题转化为：
因为的值域为，
；
在上单调递增，
当时，；
所以
即，
所以的取值范围为：.
B能力提升
1．（2023·四川绵阳·三模）设函数为与中较大的数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.
【详解】因为，
所以代表与两个函数中的较大者，
不妨假设
的函数图像如下图所示：
是二次函数，开口向上，对称轴为直线，
①当时，
在上是增函数，
需要即，
则存在使得成立，
故；
②当时，
在上是先减后增函数，
需要，
即，
解得或，
又，
故时无解；
③当时，
在上是减函数，
需要即，
则存在使得成立，
故.
综上所述，的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是理解f(x)的定义，数形结合对参数a分三种情况进行分别讨论.
2．（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，若，满足，则称函数具有性质．已知定义在上的函数具有性质，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数新定义可推得，恒成立，即，的值域M，满足，求出M，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得定义在上的函数具有性质，
即，满足，
即，恒成立；
记函数，的值域为M，，
则由题意得,
当，即时，在单调递减，
则，即,此时不满足，舍去；
当，即时，在时取得最大值，
即，即 ,
要满足，需，解得或 ，
而，故，即m的取值范围为，
由图知：要使有两个正整数解，则，即，解得．
故选：D
【点睛】关键点点睛：问题转化为（）有且仅有两个正整数解，根据不等式两边的单调性及正整数解个数列不等式组求范围.
4．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知为实数，用表示不大于的最大整数．对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”．若函数是“函数”，则正实数的取值范围是
【答案】且
【分析】由函数定义得且，，且，，进而有能成立，就的不同取值范围分类讨论后可求参数的取值范围.
【详解】由题设，且，，且，，
所以能成立，即能成立，则，
所以，
若，则，，舍；
若，则，，舍；
若，则，，此时 ；
若，则，，此时 ；
若，则，与题设矛盾，
若，则，，此时，
若，则，，此时，
若，，舍；
故正实数的取值范围是且.
故答案为：且
【点睛】关键点点睛：由新定义得到能成立，得，讨论的取值范围后可确定参数的取值范围.
C综合素养
1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）给定，若存在实数使得成立，则定义为的点．已知函数．
(1)当，时，求的点；
(2)对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数的取值范围．
【答案】(1)1和3
(2)或
【分析】（1）根据给定的定义，解一元二次方程作答.
（2）根据给定的定义，利用一元二次方程恒有两个不等实根列式，再结合恒成立的条件及一元二次不等式在区间上有解求解作答.
【详解】（1）当时，，依题意令，
即，解得或，
所以当时，的点为和．
（2）因函数总存在两个相异的点，
则方程，即恒有两个不等实根，
依题意，对任意的，总存在使成立，
即对任意的，总存在使成立，而恒成立，
于是存在，不等式成立，
而，
从而得不等式在上有解，又二次函数开口向上，
因此或，解得或，
解得或，则有或，
所以实数的取值范围是或．
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.