2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第05讲指数与指数函数(知识+真题+14类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第05讲指数与指数函数(知识+真题+14类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共46页。试卷主要包含了分数指数幂，指数幂的运算性质，指数函数及其性质等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20605" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc20605 \h 1
\l "_Tc3472" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc3472 \h 2
\l "_Tc5011" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc5011 \h 3
\l "_Tc2759" 高频考点一：指数与指数幂的运算 PAGEREF _Tc2759 \h 3
\l "_Tc1699" 高频考点二：指数函数的概念 PAGEREF _Tc1699 \h 5
\l "_Tc14105" 高频考点三：指数函数的图象 PAGEREF _Tc14105 \h 7
\l "_Tc8264" 角度1：判断指数型函数的图象 PAGEREF _Tc8264 \h 7
\l "_Tc246" 角度2：根据指数型函数图象求参数 PAGEREF _Tc246 \h 8
\l "_Tc9839" 角度3：指数型函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc9839 \h 9
\l "_Tc19176" 角度4：指数函数图象应用 PAGEREF _Tc19176 \h 10
\l "_Tc7296" 高频考点四：指数（型）函数定义域 PAGEREF _Tc7296 \h 15
\l "_Tc12697" 高频考点五：指数（型）函数的值域 PAGEREF _Tc12697 \h 17
\l "_Tc16347" 角度1：指数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc16347 \h 17
\l "_Tc10974" 角度2：指数型复合函数值域 PAGEREF _Tc10974 \h 17
\l "_Tc27945" 角度3：根据指数函数值域（最值）求参数 PAGEREF _Tc27945 \h 19
\l "_Tc3645" 高频考点六：指数函数单调性 PAGEREF _Tc3645 \h 22
\l "_Tc23891" 角度1：由指数（型）函数单调性求参数 PAGEREF _Tc23891 \h 22
\l "_Tc23180" 角度2：根据指数函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc23180 \h 23
\l "_Tc24353" 高频考点七：指数函数的最值 PAGEREF _Tc24353 \h 26
\l "_Tc27031" 角度1：求已知指数型函数的值域 PAGEREF _Tc27031 \h 26
\l "_Tc6853" 角度2：根据指数函数最值求参数 PAGEREF _Tc6853 \h 27
\l "_Tc2549" 第四部分：新定义题(解答题） PAGEREF _Tc2549 \h 32
第一部分：基础知识
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①；
②；
③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·天津·统考高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
3．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：指数与指数幂的运算
典型例题
例题1．（2024上·湖北·高一校联考期末）计算： ．
例题2．（2024上·河南漯河·高一漯河高中期末）计算．
(1)；
(2)．
练透核心考点
1．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）化简求值.
(1)
(2)
2．（2024上·湖南长沙·高一统考期末）计算下列各式的值：
(1)；
(2).
高频考点二：指数函数的概念
典型例题
例题1．（2024上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）已知指数函数且，则（ ）
A．3B．2C．D．
例题2．（2024上·云南昆明·高一期末）若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值．
练透核心考点
1．（多选）（2024·江苏·高一假期作业）若函数是指数函数，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·山东枣庄·高一校考期末）若指数函数的图象经过点，则 ．
高频考点三：指数函数的图象
角度1：判断指数型函数的图象
典型例题
例题1．（2024下·浙江温州·高一浙江省乐清中学校联考开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
角度2：根据指数型函数图象求参数
典型例题
例题1．（2024·上海·高一专题练习）若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（多选）（2024·全国·高一专题练习）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
角度3：指数型函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）函数且的定点为 .
例题2．（2024上·广东江门·高一统考期末）已知函数（，且）的图象恒过定点 ，则 的坐标为 .
角度4：指数函数图象应用
典型例题
例题1．（2024下·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024上·安徽·高一校联考期末）函数在上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
练透核心考点
1．（2024上·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2024上·湖南娄底·高一统考期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（2024上·江苏常州·高一统考期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选）（2024下·全国·高一开学考试）已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（ ）
B．
C．D．
5．（2024上·江苏徐州·高三校考开学考试）函数在区间上的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024上·福建宁德·高一统考期末）函数（且）的图象经过的定点坐标为 .
7．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数，且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则 .
高频考点四：指数（型）函数定义域
典型例题
例题1．（2024上·山东威海·高一统考期末）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024上·北京·高二统考学业考试）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（2024·江苏·高一假期作业）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·安徽阜阳·高一统考期末）函数的定义域为 .
高频考点五：指数（型）函数的值域
角度1：指数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（2023上·广西南宁·高一校考期中）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023上·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）函数，的值域为 ．
角度2：指数型复合函数值域
典型例题
例题1．（2023上·福建三明·高一校联考期中）函数 在时的值域是 ．
例题2．（2023上·全国·高一专题练习）已知函数的图象经过点.
(1)求实数的值；
(2)求函数的定义域和值域.
例题3．（2023上·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）求函数的单调区间与值域.
角度3：根据指数函数值域（最值）求参数
典型例题
例题1．（2023下·广东广州·高一校考期中）函数（且）的值域是，则实数（ ）
A．3B．C．3或D．或
例题2．（2023上·全国·高一期末）如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（ ）
A．3B．C．D．3或
练透核心考点
1．（2023上·新疆喀什·高一统考期末）的值域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考期中）函数的值域为 .
3．（2023上·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）当时，函数的值域为 .
4．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 .
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．
2．（2024上·陕西渭南·高一校考期末）已知函数，对于任意两个不相等的实数，，都有成立，则实数的取值范围是 .
3．（2024上·新疆乌鲁木齐·高一校联考期末）不等式的解集为 ．
4．（2024上·山西长治·高一校联考期末）已知函数，则不等式的解集为 ．
高频考点七：指数函数的最值
角度1：求已知指数型函数的值域
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值为 .
例题2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）已知定义在上的函数()
(1)若，求函数在上的最大值；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围．
角度2：根据指数函数最值求参数
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．若函数的最大值为1，则实数（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
角度3：含参指数（型）函数最值
典型例题
例题1．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数，.
(1)当时，求的最小值；
(2)记的最小值为，求的解析式.
练透核心考点
1．（2024上·北京·高三阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数在区间上的最小值是，则的值是 .
3．（2024上·吉林·高一长春外国语学校校联考期末）已知函数，.
(1)时，求的值域；
(2)若的最小值为4，求的值.
4．（2023上·江苏连云港·高一校考阶段练习）设函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值，并判断的单调性（不证明）；
(2)若，且在上的最小值为，求的值.
第四部分：新定义题
1．（2023上·上海·高一校考阶段练习）对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”．
(1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由；
(2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得；
(3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值．底数
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有；
当时，恒有
当时，恒有；
当时，恒有
在定义域上为增函数
在定义域上为减函数
注意
指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究
第05讲 指数与指数函数
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20605" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc20605 \h 1
\l "_Tc3472" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc3472 \h 2
\l "_Tc5011" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc5011 \h 3
\l "_Tc2759" 高频考点一：指数与指数幂的运算 PAGEREF _Tc2759 \h 3
\l "_Tc1699" 高频考点二：指数函数的概念 PAGEREF _Tc1699 \h 5
\l "_Tc14105" 高频考点三：指数函数的图象 PAGEREF _Tc14105 \h 7
\l "_Tc8264" 角度1：判断指数型函数的图象 PAGEREF _Tc8264 \h 7
\l "_Tc246" 角度2：根据指数型函数图象求参数 PAGEREF _Tc246 \h 8
\l "_Tc9839" 角度3：指数型函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc9839 \h 9
\l "_Tc19176" 角度4：指数函数图象应用 PAGEREF _Tc19176 \h 10
\l "_Tc7296" 高频考点四：指数（型）函数定义域 PAGEREF _Tc7296 \h 15
\l "_Tc12697" 高频考点五：指数（型）函数的值域 PAGEREF _Tc12697 \h 17
\l "_Tc16347" 角度1：指数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc16347 \h 17
\l "_Tc10974" 角度2：指数型复合函数值域 PAGEREF _Tc10974 \h 17
\l "_Tc27945" 角度3：根据指数函数值域（最值）求参数 PAGEREF _Tc27945 \h 19
\l "_Tc3645" 高频考点六：指数函数单调性 PAGEREF _Tc3645 \h 22
\l "_Tc23891" 角度1：由指数（型）函数单调性求参数 PAGEREF _Tc23891 \h 22
\l "_Tc23180" 角度2：根据指数函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc23180 \h 23
\l "_Tc24353" 高频考点七：指数函数的最值 PAGEREF _Tc24353 \h 26
\l "_Tc27031" 角度1：求已知指数型函数的值域 PAGEREF _Tc27031 \h 26
\l "_Tc6853" 角度2：根据指数函数最值求参数 PAGEREF _Tc6853 \h 27
\l "_Tc2549" 第四部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc2549 \h 32
第一部分：基础知识
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①；
②；
③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·天津·统考高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
2．（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
3．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：指数与指数幂的运算
典型例题
例题1．（2024上·湖北·高一校联考期末）计算： ．
【答案】24
【分析】由指数幂运算和对数运算可求.
【详解】．
故答案为：24
例题2．（2024上·河南漯河·高一漯河高中期末）计算．
(1)；
(2)．
【答案】(1)3
(2)2
【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即可；
（2）先将根式转化为指数幂，利用指数的运算法则计算即可.
【详解】（1）
=；
（2）
.
练透核心考点
1．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）化简求值.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算公式，即可化解求值；
（2）利用对数运算法则和运算公式，化解求值.
【详解】（1）
；
（2）
.
2．（2024上·湖南长沙·高一统考期末）计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据指数幂的运算法则，化简求值，即得答案；
（2）根据对数的运算法则，化简求值，即得答案；
【详解】（1）原式.
（2）原式.
高频考点二：指数函数的概念
典型例题
例题1．（2024上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）已知指数函数且，则（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【分析】先根据函数值求出，再求函数值即可.
【详解】，
故选：A.
例题2．（2024上·云南昆明·高一期末）若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值．
【答案】，
【分析】设，由可求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.
【详解】解：设指数函数，则，解得，
所以，，
故.
练透核心考点
1．（多选）（2024·江苏·高一假期作业）若函数是指数函数，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据指数函数的定义求解.
【详解】因为函数是指数函数，
所以，解得或.
故选：AB
2．（2024上·山东枣庄·高一校考期末）若指数函数的图象经过点，则 ．
【答案】/
【分析】采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得函数解析式，代入即可.
【详解】设指数函数且，
过点，，解得：，，
.
故答案为：.
高频考点三：指数函数的图象
角度1：判断指数型函数的图象
典型例题
例题1．（2024下·浙江温州·高一浙江省乐清中学校联考开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分和两种情况，利用函数的单调性进行判断即可．
【详解】对于A，B，当时，函数在R上为单调递减函数；
又，所以在区间和区间上单调递减，
且当时，，故A和B均错误；
对于C，当时，函数在R上为单调递增函数，
又，所以在区间和区间上单调递增，故C错误，D正确．
故选：D．
例题2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图象变换可得函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，由此可得出结论
【详解】因为函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，
而的图象过点，且在上是增函数，
所以的图象过点，且在上是增函数，
故选：A
角度2：根据指数型函数图象求参数
典型例题
例题1．（2024·上海·高一专题练习）若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】与有公共点，转化为与有公共点，结合函数图象，可得结果.
【详解】与有公共点，即与有公共点，图象如图
可知
故选：B
【点睛】本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.
例题2．（多选）（2024·全国·高一专题练习）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据的单调性确定，由确定.
【详解】，由图知为减函数，故，所以，故A正确C错误；
由图知，所以，故B错误D正确.
故选：AD
角度3：指数型函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）函数且的定点为 .
【答案】
【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标．
【详解】因为且，令，得到，此时，
所以函数的定点为，
故答案为：.
例题2．（2024上·广东江门·高一统考期末）已知函数（，且）的图象恒过定点 ，则 的坐标为 .
【答案】
【分析】根据指数型函数的性质求解即可.
【详解】由函数可知，当时，，
即函数图象恒过点.
故答案为：
角度4：指数函数图象应用
典型例题
例题1．（2024下·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性即可排除CD，由特殊点的函数值即可排除A.
【详解】，则的定义域为R，
又，
所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，
当时，，故排除A.
故选：B.
例题2．（2024上·安徽·高一校联考期末）函数在上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定函数的奇偶性，结合即可判断得解.
【详解】依题意，，因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，排除AB；
又，选项C不满足，D符合题意.
故选：D
例题3．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可.
【详解】由题意得，，
作出函数图象如图所示，

令，解得或，
则当，时，取得最大值，
此时.
故选：B
练透核心考点
1．（2024上·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性可知函数为偶函数，结合赋值法和排除法即可求解.
【详解】由题可知，，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除A，C；
又，排除B．
故选：D．
2．（多选）（2024上·湖南娄底·高一统考期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】按照、讨论，结合二次函数及指数函数的性质即可得解.
【详解】若，则函数是R上的增函数，
函数的图象的对称轴方程为，故A可能，B不可能；
若，则函数是R上的减函数，
，函数的图象与轴的负半轴相交，对称轴为，
故C可能，D不可能.
故选：AC.
3．（多选）（2024上·江苏常州·高一统考期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据图象的性质可得：，即可求解.
【详解】函数（其中且）的图象在第一、三、四象限，
根据图象的性质可得：，
即，
故选：BD.
4．（多选）（2024下·全国·高一开学考试）已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（ ）
B．
C．D．
【答案】AD
【分析】由指数函数的图象特征，结合幂函数在第一象限的图象特征可得答案.
【详解】根据题意可得，
的图象是向上平移a个单位得到的，
结合幂函数的性质可知在上为单调递增函数，
当a为奇数时，图象如C选项所示；当a为偶数时，图象如B选项所示，
选项A，D不符合题意．
故选：AD.
5．（2024上·江苏徐州·高三校考开学考试）函数在区间上的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数为奇函数得到选项C错误，计算，得到选项D错误，根据时，，选项B错误，得到答案.
【详解】函数，的定义域关于原点对称，
，
所以是奇函数，函数的图象关于原点对称，选项C错误；
因为，所以选项D错误；
当时，，选项B错误．
故选：A．
6．（2024上·福建宁德·高一统考期末）函数（且）的图象经过的定点坐标为 .
【答案】
【分析】由指数型函数的定点问题，令，即可得定点坐标．
【详解】由函数（且），
令，得，
所以，
所以函数（且）的图象经过的定点坐标为.
故答案为：.
7．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数，且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则 .
【答案】4
【分析】由已知求出定点的坐标，根据待定系数法求出，从而可得结果.
【详解】由，得，所以定点，
设，又，得，所以，
所以，
故答案为：4.
高频考点四：指数（型）函数定义域
典型例题
例题1．（2024上·山东威海·高一统考期末）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域.
【详解】对于函数，有，可得，解得，
因此，函数的定义域为.
故选：A.
例题2．（2024上·北京·高二统考学业考试）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C.
练透核心考点
1．（2024·江苏·高一假期作业）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】函数的定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足，解得且.
故答案为：D
2．（2024上·安徽阜阳·高一统考期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、中求解出的范围，则定义域可知.
【详解】由题意可知，解得且，
故函数的定义域为．
故答案为：.
高频考点五：指数（型）函数的值域
角度1：指数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（2023上·广西南宁·高一校考期中）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为是定义域在上的增函数．
所以当时，，，
所以的值域为．
故选：C.
例题2．（2023上·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）函数，的值域为 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性求得正确答案.
【详解】函数在区间上单调递增，
所以，
所以值域为.
故答案为：
角度2：指数型复合函数值域
典型例题
例题1．（2023上·福建三明·高一校联考期中）函数 在时的值域是 ．
【答案】
【分析】利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得.
【详解】当时，，函数，
显然当，即时，，当，即时，，
所以所求值域是.
故答案为：
例题2．（2023上·全国·高一专题练习）已知函数的图象经过点.
(1)求实数的值；
(2)求函数的定义域和值域.
【答案】(1)
(2)R ；
【分析】（1）把已知点代入函数解析式计算即得；
（2）根据函数解析式只需使分母不等于零，解不等式即得函数定义域，将函数式分离常数成，再从的值域开始，从内到外利用不等式性质推导出解析式的取值范围即得值域.
【详解】（1）将点代入可得：，解得：.
（2）由（1）可得：，要使函数有意义，须使，而此式恒成立，故函数的定义域为.
因，当时，，，则，故，即函数的值域为.
例题3．（2023上·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）求函数的单调区间与值域.
【答案】单调减区间是，单调增区间是；值域是
【分析】单调性根据复合函数的单调性同增异减得出，值域根据换元法得出.
【详解】函数，
设.
，
当时，，
，即.
函数在上的值域是.
又原函数是由和两个函数复合而成，
第一个函数是单调减函数，第二个函数在区间上是单调增函数，在区间上是单调减函数
函数的单调减区间是，单调增区间是.
角度3：根据指数函数值域（最值）求参数
典型例题
例题1．（2023下·广东广州·高一校考期中）函数（且）的值域是，则实数（ ）
A．3B．C．3或D．或
【答案】C
【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案.
【详解】函数（且）的值域为，
又由指数函数的单调性可知，
当时，函数在上单调递减，值域是
所以有，即 ，解得；
当时，函数在上单调递增，值域是
所以有，即 ，解得.
综上所述，或.
故选：C.
例题2．（2023上·全国·高一期末）如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（ ）
A．3B．C．D．3或
【答案】D
【分析】利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可.
【详解】令，则．
当时，因为，所以，
又因为函数在上单调递增，
所以，解得（舍去）．
当时，因为，所以，
又函数在上单调递增，
则，
解得（舍去）．
综上知或．
故选：D.
练透核心考点
1．（2023上·新疆喀什·高一统考期末）的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，即可求解函数的值域.
【详解】函数单调递减，所以函数的最大值为，
最小值为，所以函数的值域为.
故选：D
2．（2023上·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考期中）函数的值域为 .
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性进行求解即可.
【详解】令，因为指数函数在R上单调递增，
所以有，而，
因此函数的值域为.
故答案为：
3．（2023上·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）当时，函数的值域为 .
【答案】
【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】因为，
令，由于，则，
则原函数可化为，，
当时，取最小值，当时，取最大值，
故，即.
故答案为：
4．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用函数的最值求出，通过函数的值域，求出的取值范围
【详解】，则在上递减，在上递增，
所以当时，函数取得最小值0，
由，得或，
所以函数在区间上的值域为时，，
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．
【答案】0
【分析】利用换元法，令，则，则由题意可知的值域为，从而可求出的值
【详解】令，则，
因为的值域是，即的值域是，
所以的值域为，
若，则为二次函数，其值域不可能为，
若，则，其值域为，
所以
高频考点六：指数函数单调性
角度1：由指数（型）函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用指数函数、二次函数的单调性，以及分段函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数在上为单调递减函数，
则满足，解得，
即实数的取值范围为.
故选：A.
例题2．（2024上·湖南湘西·高一统考期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意得：在上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可.
【详解】由题意得：在上单调递增，
所以对称轴，所以.
故选：B.
角度2：根据指数函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2024上·广东潮州·高一统考期末）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性及其在上的单调性，将所求不等式变形为，解之即可.
【详解】因为函数的定义域为，且，
所以，函数为偶函数，
则不等式等价于，
因为函数、在上均为增函数，
当时，单调递增，
所以，，可得，解得，
故原不等式的解集为.
故选：A.
例题2．（2024上·河北邯郸·高一统考期末）已知函数，则的解集为 ．
【答案】
【分析】根据题意，求得函数的单调性与奇偶性，把不等式转化为，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域为，且，
所以为偶函数，当时，，
可得在上单调递增，
根据偶函数的性质，不等式，即为，
可得，整理得，解得，
所以的解集为．
故答案为：．
练透核心考点
1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数型复合函数的单调性，可得关于a的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】由题意知函数由复合而成，
在上为增函数，由复合函数的同增异减性，
可知需为R上的增函数，
故，∴，∴或，
故选：D.
2．（2024上·陕西渭南·高一校考期末）已知函数，对于任意两个不相等的实数，，都有成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于对于任意两个不相等的实数，，都有成立，
所以在上单调递减，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
3．（2024上·新疆乌鲁木齐·高一校联考期末）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性、一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】依题意，，即，
由于在上单调递增，所以，
，
解得或，所以不等式的解集为.
故答案为：
4．（2024上·山西长治·高一校联考期末）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性化简不等式，由此求得不等式的解集.
【详解】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则由得，解得，即不等式的解集为．
故答案为：
高频考点七：指数函数的最值
角度1：求已知指数型函数的值域
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值为 .
【答案】
【解析】根据函数解析式，先令，将问题转为求函数在上的最值问题，根据单调性，即可求解.
【详解】因为，，
令，则，
所以
令，，
因为指数函数与一次函数都是增函数，
所以也是增函数，
所以时，.
故答案为：.
例题2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）已知定义在上的函数()
(1)若，求函数在上的最大值；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）换元，令，可得，结合二次函数求最值；
（2）由，换元令，整理得，结合函数单调性分析求解.
【详解】（1）若，则，
因为，令，
可得的图象开口向上，对称轴为，
可知：当时，取得最大值，
所以函数在上的最大值为8.
（2）因为，
即，
整理得，
令，当且仅当，即时，等号成立，
则，，
则，整理得，
由题意可知：方程在内有解，
因为在内单调递增，可知在内单调递增，
则，可得，
所以实数的取值范围为.
角度2：根据指数函数最值求参数
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．若函数的最大值为1，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，由指数函数的单调性以及二次函数的性质得出.
【详解】，令，
则，当时，，解得.
故选：B
例题2．（2024上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为恒成立，即恒成立，
所以恒成立，又由（当且仅当时取等号），
所以．
故选：A．
角度3：含参指数（型）函数最值
典型例题
例题1．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数，.
(1)当时，求的最小值；
(2)记的最小值为，求的解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时代入，再结合换元法和二次函数性质即可；
（2）由（1）知，令，，则原函数可化为，根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得．
【详解】（1）设，因为，则，
则，，
当时，，，
∴时，，即当时，.
（2）由（1）知，，
其图象的对称轴为．
①当时，在上单调递增，所以；
②当时，，
③当时，在上单调递减，所以.
综上，
练透核心考点
1．（2024上·北京·高三阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，将转化为关于的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可.
【详解】设，则，，有最小值.
当时，二次函数开口向下，无最小值；
当时，无最小值；
当时，若在上有最小值，则对称轴，解得.
令，，，
当时，，，在上单调递增，
故，
故的值域为；
（2）由（1）得，，对称轴，
①当时，在上单调递增，
，解得；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
无解，舍去；
③当时，在上单调递减，
，解得，舍去；
综上所述，.
4．（2023上·江苏连云港·高一校考阶段练习）设函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值，并判断的单调性（不证明）；
(2)若，且在上的最小值为，求的值.
【答案】(1)，R上单调递增；
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义可求的值，结合指数函数的单调性可直接判定的单调性；
（2）先根据条件计算，利用换元法结合二次函数的性质计算即可.
【详解】（1）由题意可知，
此时，符合题意，即；
因为均在R上单调递增，故在R上单调递增；
（2）因为，即
所以
，
令，由（1）可知时，，
则，
由二次函数的性质可知，若时，，
若时，，与前提矛盾舍去；
综上.
第四部分：新定义题
1．（2023上·上海·高一校考阶段练习）对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”．
(1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由；
(2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得；
(3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值．
【答案】(1)不存在“函数”，理由见解析.
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，由即可判断；
（2）根据题意，由“函数”的定义，分别验证其充分性以及必要性，即可证明；
（3）根据题意，由“函数”的定义可得，若，均存在“函数”， 则存在“函数”，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】（1），当时，，当时，，
因此，则该函数不存在“函数”．
（2）充分性：若，则，
任取，，所以存在“函数”；
必要性：因为是奇函数，则，任取，
因为，是一个“函数”，
所以，则，
当时，则，，
所以，即，
所以，可得，从而有，
即是一个常数，设为，则.
（3）假设，均存在“函数”，任取，
则，，
则，
则存在“函数”，
因此均存在“函数”，
令，定义域为关于原点对称，
且，
则是定义在上的奇函数，
由（2）可知，存在使得恒成立，则，
又时，若函数与函数均为“函数”，符合题意.
综上可知，.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义中“函数”的概念，以及函数奇偶性的应用，难度较大，解答本题的关键在于利用好题干中“函数”的定义，以及利用好（2）中的结论解决（3）中的问题.
底数
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有；
当时，恒有
当时，恒有；
当时，恒有
在定义域上为增函数
在定义域上为减函数
注意
指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究