还剩55页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第06讲利用导数研究函数的零点(方程的根)(知识+真题+5类高频考点)(精讲)(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第06讲对数与对数函数(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第06讲拓展一：平面向量的拓展应用(精讲)(学生版+解析) 学案 0 次下载
- 2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第06讲第六章数列章节验收测评卷(19题新题型)(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第06讲：拓展一：基本不等式(学生版+解析) 学案 0 次下载
2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第06讲对数与对数函数(知识+真题+8类高频考点)(精讲)(学生版+解析)
展开
这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第06讲对数与对数函数(知识+真题+8类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共58页。试卷主要包含了对数的概念，对数的性质，对数函数及其性质等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc4432" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc4432 \h 2
\l "_Tc4756" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc4756 \h 4
\l "_Tc10411" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc10411 \h 4
\l "_Tc28462" 高频考点一：对数的运算 PAGEREF _Tc28462 \h 4
\l "_Tc15871" 高频考点二：换底公式 PAGEREF _Tc15871 \h 5
\l "_Tc29807" 高频考点三：对数函数的概念 PAGEREF _Tc29807 \h 5
\l "_Tc2726" 高频考点四：对数函数的定义域 PAGEREF _Tc2726 \h 6
\l "_Tc29914" 高频考点五：对数函数的值域 PAGEREF _Tc29914 \h 6
\l "_Tc25443" 角度1：求对数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc25443 \h 6
\l "_Tc13641" 角度2：求对数型复合函数的值域 PAGEREF _Tc13641 \h 6
\l "_Tc14400" 角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围 PAGEREF _Tc14400 \h 7
\l "_Tc4563" 高频考点六：对数函数的图象 PAGEREF _Tc4563 \h 8
\l "_Tc14436" 角度1：对数（型）函数与其它函数的图象 PAGEREF _Tc14436 \h 8
\l "_Tc23232" 角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数 PAGEREF _Tc23232 \h 9
\l "_Tc25009" 角度3：对数（型）函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc25009 \h 10
\l "_Tc12864" 高频考点七：对数函数的单调性 PAGEREF _Tc12864 \h 11
\l "_Tc16929" 角度1：对数函数（型）函数的单调性 PAGEREF _Tc16929 \h 11
\l "_Tc14530" 角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc14530 \h 12
\l "_Tc8511" 角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式 PAGEREF _Tc8511 \h 12
\l "_Tc1311" 角度4：对数（指数）综合比较大小 PAGEREF _Tc1311 \h 13
\l "_Tc14890" 高频考点八：对数函数的最值 PAGEREF _Tc14890 \h 14
\l "_Tc3826" 角度1：求对数（型）函数的最值 PAGEREF _Tc3826 \h 14
\l "_Tc13070" 角度2：根据对数（型）函数的最值求参数 PAGEREF _Tc13070 \h 14
\l "_Tc9425" 角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用 PAGEREF _Tc9425 \h 15
\l "_Tc9456" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc9456 \h 17
\l "_Tc5453" 备注：对数型复合函数容易忽略定义域 PAGEREF _Tc5453 \h 17
\l "_Tc24378" 备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较 PAGEREF _Tc24378 \h 17
\l "_Tc10457" 第五部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc10457 \h 18
第一部分：基础知识
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
第二部分：高考真题回顾
1．（2022·全国·（新高考Ⅰ卷））设，则（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2023·全国·（新高考Ⅰ卷））噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：对数的运算
典型例题
例题1．（2024上·福建龙岩·高一校联考期末）已知，则 ．
例题2．（2024上·江苏盐城·高一校考期末）计算下列各式的值：
(1)；
(2).
练透核心考点
1．（2024上·安徽蚌埠·高一统考期末）计算 ．
2．（2024上·广西百色·高一统考期末）计算下列各式的值：
(1)
(2)
高频考点二：换底公式
典型例题
例题1．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）（ ）
A．2B．1C．D．0
例题2．（2024上·山东菏泽·高一校联考期末）已知，则 .
练透核心考点
1．（2024上·陕西咸阳·高一统考期末）若，则的值约为（ ）
A．1.322B．1.410C．1.507D．1.669
2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）计算： ．
高频考点三：对数函数的概念
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一假期作业）下列函数，其中为对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数是对数函数，则 ．
高频考点四：对数函数的定义域
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数的定义域为（ ）
A．且B．C．D．
例题2．（2024上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
练透核心考点
1．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）函数的定义域是 ．
2．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
高频考点五：对数函数的值域
角度1：求对数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（2023上·高一课时练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023上·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的值域是 ．
角度2：求对数型复合函数的值域
典型例题
1．（2024下·河南周口·高一周口恒大中学校考开学考试）函数的值域为 ．
2．（2024上·上海青浦·高一统考期末）函数的值域为 .
角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围
典型例题
例题1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）已知函数的定义域和值域都是，则 .
例题2．（2024上·江西上饶·高一婺源县天佑中学校考阶段练习）已知函数．若的值域是，则实数的取值范围是 ．
练透核心考点
1．（2024·上海·高一假期作业）函数的值域是 ．
2．（2024上·湖南株洲·高一校考期末）若函数在上的最大值为2，则实数 ．
3．（2024·全国·高三专题练习）已知，设，则函数的值域为 ．
4．（2024上·河北唐山·高一统考期末）已知定义在上的函数为偶函数.当时，.
(1)求；
(2)求函数的解析式；
(3)若，求函数的值域.
5．（2024·全国·高一假期作业）已知函数且.
(1)当时，若，求的取值范围；
(2)若的最大值为2，求在区间上的值域.
6．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
(1)若的定义域为，求的取值范围.
(2)若的值域为，求的取值范围.
高频考点六：对数函数的图象
角度1：对数（型）函数与其它函数的图象
典型例题
例题1．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）已知，则，且与，且的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023上·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（ ）
A．B．
C．D．
角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数
典型例题
例题1．（2022下·湖南·高一校联考期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例题2．（2021·江苏·高一专题练习）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞a
C．c＞a＞bD．a＞c＞b
角度3：对数（型）函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2024上·湖北武汉·高一校联考期末）若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024上·山东滨州·高一校考期末）函数且的图象恒过定点，且点在直线上，，则的最小值为（ ）
A．B．10C．D．8
练透核心考点
1．（2022上·江西上饶·高一统考期末）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·山东潍坊·高三校考期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·全国·高三专题练习）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
4．（多选）（2022上·辽宁·高一凤城市第一中学校联考阶段练习）已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选）（2024上·湖南张家界·高一慈利县第一中学期末）已知函数且的图象过定点，正数满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）（2021下·河北邢台·高一统考开学考试）若，则下列选项可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
高频考点七：对数函数的单调性
角度1：对数函数（型）函数的单调性
典型例题
例题1．（2024上·河北石家庄·高一石家庄外国语学校校考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2024上·广东广州·高一华南师大附中校考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2024上·河南商丘·高一睢县回族高级中学校联考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024上·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数是上的单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023上·北京海淀·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023上·安徽·高一校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
角度4：对数（指数）综合比较大小
典型例题
例题1．（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）若，则（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2024·山西临汾·统考一模）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（2024上·河北石家庄·高一石家庄一中校考期末）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·高一专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
5．（2024上·河北沧州·高一统考期末）函数的单调递增区间是 ．
6．（2024上·广西·高一校联考期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是 .
7．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）已知函数
(1)求函数的定义域并用定义法判断函数的奇偶性；
(2)求不等式的解集
高频考点八：对数函数的最值
角度1：求对数（型）函数的最值
典型例题
例题1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数（且，为常数）的图象经过点，.
(1)求的值；
(2)设函数，求在上的值域.
例题2．（2024下·上海·高一开学考试）已知函数，.
（1）设集合，求集合A；
（2）当时，求的最大值和最小值.
角度2：根据对数（型）函数的最值求参数
典型例题
例题1．（2024上·江西抚州·高一统考期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）
A．4或B．4或
C．2或D．2或
2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数（且）为奇函数.
(1)求函数的定义域及解析式；
(2)若，函数的最大值比最小值大2，求的值.
3．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）（1）已知，求的值；
（2）已知函数在区间上的最大值为2，求实数的值.
4．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）已知函数，（，且）．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
5．（2024上·河南商丘·高一统考期末）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.
第四部分：典型易错题型
备注：对数型复合函数容易忽略定义域
1．（2024上·湖北·高一校联考期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·全国·高一专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较
1．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·江苏苏州·高一校考期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数” .
(1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.
图象
性质
定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数
在上是单调减函数
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
第06讲 对数与对数函数
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc4432" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc4432 \h 1
\l "_Tc4756" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc4756 \h 3
\l "_Tc10411" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc10411 \h 5
\l "_Tc28462" 高频考点一：对数的运算 PAGEREF _Tc28462 \h 5
\l "_Tc15871" 高频考点二：换底公式 PAGEREF _Tc15871 \h 7
\l "_Tc29807" 高频考点三：对数函数的概念 PAGEREF _Tc29807 \h 8
\l "_Tc2726" 高频考点四：对数函数的定义域 PAGEREF _Tc2726 \h 9
\l "_Tc29914" 高频考点五：对数函数的值域 PAGEREF _Tc29914 \h 10
\l "_Tc25443" 角度1：求对数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc25443 \h 10
\l "_Tc13641" 角度2：求对数型复合函数的值域 PAGEREF _Tc13641 \h 11
\l "_Tc14400" 角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围 PAGEREF _Tc14400 \h 11
\l "_Tc4563" 高频考点六：对数函数的图象 PAGEREF _Tc4563 \h 15
\l "_Tc14436" 角度1：对数（型）函数与其它函数的图象 PAGEREF _Tc14436 \h 15
\l "_Tc23232" 角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数 PAGEREF _Tc23232 \h 17
\l "_Tc25009" 角度3：对数（型）函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc25009 \h 18
\l "_Tc12864" 高频考点七：对数函数的单调性 PAGEREF _Tc12864 \h 22
\l "_Tc16929" 角度1：对数函数（型）函数的单调性 PAGEREF _Tc16929 \h 22
\l "_Tc14530" 角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc14530 \h 23
\l "_Tc8511" 角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式 PAGEREF _Tc8511 \h 24
\l "_Tc1311" 角度4：对数（指数）综合比较大小 PAGEREF _Tc1311 \h 25
\l "_Tc14890" 高频考点八：对数函数的最值 PAGEREF _Tc14890 \h 29
\l "_Tc3826" 角度1：求对数（型）函数的最值 PAGEREF _Tc3826 \h 29
\l "_Tc13070" 角度2：根据对数（型）函数的最值求参数 PAGEREF _Tc13070 \h 31
\l "_Tc9425" 角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用 PAGEREF _Tc9425 \h 32
\l "_Tc9456" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc9456 \h 38
\l "_Tc5453" 备注：对数型复合函数容易忽略定义域 PAGEREF _Tc5453 \h 38
\l "_Tc24378" 备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较 PAGEREF _Tc24378 \h 39
\l "_Tc10457" 第五部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc10457 \h 40
第一部分：基础知识
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
第二部分：高考真题回顾
1．（2022·全国·（新高考Ⅰ卷））设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
2．（多选）（2023·全国·（新高考Ⅰ卷））噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：对数的运算
典型例题
例题1．（2024上·福建龙岩·高一校联考期末）已知，则 ．
【答案】5
【分析】设，再用表达求解即可.
【详解】设，则，，，
故.
故答案为：5
例题2．（2024上·江苏盐城·高一校考期末）计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算法则求解即可；
（2）根据对数的运算法则，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）原式
（2）原式
练透核心考点
1．（2024上·安徽蚌埠·高一统考期末）计算 ．
【答案】/
【分析】利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
2．（2024上·广西百色·高一统考期末）计算下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)15
(2)3
【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.
（2）利用对数性质及运算法则计算即得.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
高频考点二：换底公式
典型例题
例题1．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）（ ）
A．2B．1C．D．0
【答案】C
【分析】利用换底公式和指对数运算公式即可.
【详解】，
故选：C．
例题2．（2024上·山东菏泽·高一校联考期末）已知，则 .
【答案】/
【分析】由对数式与指数式的互化可得出，再利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值.
【详解】因为，则，
所以，
.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2024上·陕西咸阳·高一统考期末）若，则的值约为（ ）
A．1.322B．1.410C．1.507D．1.669
【答案】A
【分析】利用指对互化与换底公式即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）计算： ．
【答案】5
【分析】根据对数的定义和运算分析求解.
【详解】由题意可得：原式
.
故答案为：5.
高频考点三：对数函数的概念
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一假期作业）下列函数，其中为对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答.
【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；
函数是对数函数，C是；
函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.
故选：C
练透核心考点
1．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数是对数函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据对数函数的定义即可得到答案.
【详解】因为函数是对数函数，
则，解得．
故答案为：1.
高频考点四：对数函数的定义域
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数的定义域为（ ）
A．且B．C．D．
【答案】C
【分析】可直接求出函数的定义域进行判断.
【详解】由题得，解得，即函数的定义域为.
故选：
例题2．（2024上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知可得对任意的，，可得出，即可解得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，对任意的，，则，解得.
所以，实数的取值范围是.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】结合对数函数定义域解不等式即可求解.
【详解】由题意结合对数函数定义域可知，解不等式得，
因此函数的定义域是.
故答案为：.
2．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，将问题转化为恒成立求参数，再结合二次函数性质即求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以在上恒成立，
则当时，满足题意；
当时，，解得.
综上所述，，即.
故答案为：.
高频考点五：对数函数的值域
角度1：求对数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（2023上·高一课时练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质，先求函数的范围，再求函数的值域.
【详解】由知，，值域是．
故选：C
例题2．（2023上·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的值域是 ．
【答案】
【分析】由对数函数的单调性，根据定义域求出函数的值域.
【详解】∵，∴，即，
即，则函数的值域为.
故答案为：
角度2：求对数型复合函数的值域
典型例题
1．（2024下·河南周口·高一周口恒大中学校考开学考试）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】求出的取值范围，利用对数函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】因为，所以，，
因此，，故函数的值域为.
故答案为：.
2．（2024上·上海青浦·高一统考期末）函数的值域为 .
【答案】
【分析】由题意利用对数的的运算法则、对数函数的定义域、值域并通过换元法即可得解.
【详解】由题意函数的定义域为，而，
不妨设，所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围
典型例题
例题1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）已知函数的定义域和值域都是，则 .
【答案】或
【分析】分类讨论的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解.
【详解】当时，易知函数单调递减，由定义域和值域都是，
所以解得所以.
当时，易知函数单调递增，由定义域和值域都是，
所以解得所以.
故答案为：或.
例题2．（2024上·江西上饶·高一婺源县天佑中学校考阶段练习）已知函数．若的值域是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】复合函数求值域，先求真数范围大于零，再求二次函数大于零，求出即可.
【详解】因为函数的值域是，则为二次函数值域的子集．
当时，内层函数为，不合题意；
当时，则有，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：
练透核心考点
1．（2024·上海·高一假期作业）函数的值域是 ．
【答案】
【分析】先确定的定义域，再由复合函数的单调性确定出的单调性，则的值域可求.
【详解】由题意得，即，所以的定义域为，
因为对称轴为，且开口向下，且在定义域内单调递增，
由复合函数的单调性可知：在上单调递增，在上单调递减，
当（或）时，，当时，，
所以，
故答案为：．
2．（2024上·湖南株洲·高一校考期末）若函数在上的最大值为2，则实数 ．
【答案】
【分析】由题意易知，分类讨论，时，根据复合函数的单调性建立方程，解之即可求解.
【详解】令，因为时，，所以；
若，则在上为减函数，所以，此时a无解；
若．则在上为增函数，所以，此时
故．
故答案为：
3．（2024·全国·高三专题练习）已知，设，则函数的值域为 ．
【答案】
【分析】确定函数的定义域，化简可得的表达式，换元令，可得，结合二次函数的性质即得答案.
【详解】由题意得，则，即的定义域为，
故，
令，则，
函数在上单调递增，故，
故函数的值域为，
故答案为：
4．（2024上·河北唐山·高一统考期末）已知定义在上的函数为偶函数.当时，.
(1)求；
(2)求函数的解析式；
(3)若，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，由奇偶性得到；
（2）根据函数的奇偶性得到时的函数解析式，进而得到答案；
（3）分两种情况，根据函数的单调性求出函数在时的值域.
【详解】（1），
因为为上的偶函数，所以；
（2）当时，，
故，
又为上的偶函数，故，
所以，
所以；
（3）当时，由复合函数单调性可知单调递减，因为，
故，
由函数为偶函数可知，当时，单调递增，，
则，
综上，的值域为
5．（2024·全国·高一假期作业）已知函数且.
(1)当时，若，求的取值范围；
(2)若的最大值为2，求在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合对数函数的定义域及单调性即可得；
（2）先结合题意计算出，再根据对数函数的单调性即可得.
【详解】（1）当时，是上的减函数，
因为，所以，解得．
（2）因为，且有最大值2，
所以，且，解得，
因为是上的减函数，
所以，，
所以在区间上的值域为．
6．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
(1)若的定义域为，求的取值范围.
(2)若的值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据对数函数的性质，转化为恒成立，列出不等式组，即可求解；
（2）设，根据题意转化为，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
要使得的定义域为，即恒成立，
则满足，解得，所以实数的取值范围为.
（2）解：设，要使得的值域为，即，
当时，的值域为，此时，
所以函数的值域为，符合题意.
当时，要使得，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
高频考点六：对数函数的图象
角度1：对数（型）函数与其它函数的图象
典型例题
例题1．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）已知，则，且与，且的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用对数运算得到，再结合指数函数与对数函数的性质即可判断选项.
【详解】因为，
所以，，
若，则，排除C，
若，则，排除AB.
故选：D
例题2．（2023上·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的图象易得，结合指对数函数性质判断函数图象.
【详解】由幂函数图象知：，
所以与在各自定义域内都递减，显然只有D满足.
故选：D
角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数
典型例题
例题1．（2022下·湖南·高一校联考期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
例题2．（2021·江苏·高一专题练习）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞a
C．c＞a＞bD．a＞c＞b
【答案】D
【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．
【详解】y＝lgax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝lgbx，y＝lgcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.
故选：D．
角度3：对数（型）函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2024上·湖北武汉·高一校联考期末）若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先得，进一步结合三角函数定义即可求解.
【详解】由题意令，得，而此时，
所以，角的终边经过定点，
所以，
所以.
故选：C.
例题2．（2024上·山东滨州·高一校考期末）函数且的图象恒过定点，且点在直线上，，则的最小值为（ ）
A．B．10C．D．8
【答案】B
【分析】先得出，再由基本不等式得出答案.
【详解】当时，，即函数的图象恒过定点，
因为在直线上，所以，
当且仅当时，取等号，即的最小值为10.
故选：B
练透核心考点
1．（2022上·江西上饶·高一统考期末）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】以函数的定义域、奇偶性去排除错误选项即可.
【详解】函数的定义域为，可以排除选项B、C；
由，
可知函数为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D.
故选：A
2．（2023上·山东潍坊·高三校考期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到的范围，从而得到结果.
【详解】由图象可得，指数函数为减函数，
对数函数为增函数，
所以，
即.
故选：B
3．（2024·全国·高三专题练习）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
【答案】B
【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以，
,
,当且仅当，即等号成立
故选：B.
4．（多选）（2022上·辽宁·高一凤城市第一中学校联考阶段练习）已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】结合指数函数、对数函数的图像按和分类讨论．
【详解】由，，且，，
所以过点，
而过点；
选项A，B：由图可知单调递增，则此时，
所以有，故在单调递增，
故A选项错误，选项B正确；
选项C，D：由图可知单调递减，则此时，
所以有，故在单调递减，
故C选项不正确，选项D正确；
故选：BD.
5．（多选）（2024上·湖南张家界·高一慈利县第一中学期末）已知函数且的图象过定点，正数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】求出函数所过定点的坐标，可得出，可判断A；利用不等式可判断B；利用基本不等式可判断C；利用“1”的妙用，结合基本不等式可判断D.
【详解】在函数的解析式中，令可得，且，
则函数的图象过定点，，所以，故A错误；
由不等式，可得，故，当且仅当时取等号，故B正确；
由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，故C错误；
，当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：BD.
6．（多选）（2021下·河北邢台·高一统考开学考试）若，则下列选项可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】在同一直角坐标系中，作出y=lnx，y=lgx的图像，数形结合能求出结果．
【详解】在同一直角坐标系中，作出，的图像．
由图可知，当时，有，故A正确；当时，显然有，故B正确；当时，显然有，故C错误，D正确．
故选：ABD.
高频考点七：对数函数的单调性
角度1：对数函数（型）函数的单调性
典型例题
例题1．（2024上·河北石家庄·高一石家庄外国语学校校考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．
【详解】函数的定义域为：，
函数在定义域内是增函数，
函数，图像抛物线开口向上，对称轴是轴，时，是增函数，
由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为．
故选：C．
例题2．（2024上·广东广州·高一华南师大附中校考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，即，解得或，
又由函数在单调递减，在单调递增，
因为在定义域上为单调递增函数，
结合复合函数单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为.
故选：D.
角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2024上·河南商丘·高一睢县回族高级中学校联考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质求解．
【详解】由题意，解得．
故选：C．
例题2．（2024上·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数是上的单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分段函数在上单调递减，需满足每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，从而得到不等式，求出答案.
【详解】时，，要想单调递减，需，
要想在上单调递减，需，
解得.
故选：A
角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023上·北京海淀·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集.
【详解】的定义域为，
因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，所以，
所以不等式解集为，
故选：B.
例题2．（2023上·安徽·高一校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为，令，结合一元二次不等式的解法，即可求解；
解法2：根据题意，得到，设，得到为偶函数，求得关于对称，且在上单调递增，把不等式转化为，即可求解.
【详解】解法1：由函数，
则不等式，即为，
可得，即，
令，则，即，
解得，即，解得，
所以不等式的解集为.
解法2：由函数，
可得，
设，则，
所以函数为偶函数，即为偶函数，
可得关于对称，且在上单调递增，
所以不等式，即为，
可得，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
角度4：对数（指数）综合比较大小
典型例题
例题1．（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】计算得到，，得到大小关系.
【详解】，.
故.
故选：A
例题2．（2024·山西临汾·统考一模）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数以及幂函数单调性结合中间变量比大小即可.
【详解】易知，，
因为，则，故得，显然B正确.
故选：B
练透核心考点
1．（2024上·河北石家庄·高一石家庄一中校考期末）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件得到，，即可判断出，再利用不等式的性质及对数的单调性，即可判断出，从而得出结果.
【详解】因为，，所以，
又因为，所以，得到，即，所以，
故选：A.
2．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知结合对数函数的单调性即可比较大小．
【详解】因为，
所以，即，
所以，
因为，
所以，即，
所以，
同时，
所以，
而，
所以．
故选：D．
3．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由对数函数的单调性结合复合函数的同增异减即可得答案.
【详解】由题意得，解得，
开口向下，对称轴为，
所以在上递增，在上递减；
因为是定义域上的递增函数，
利用复合函数的同增异减可得的单调递增区间为，
故选：B.
4．（2024·全国·高一专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令，则在上单调递增且恒大于，从而得到，解得即可.
【详解】因为函数在上单调递减，
令，
则在上单调递增且恒大于，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
5．（2024上·河北沧州·高一统考期末）函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】结合函数定义域，利用复合函数的单调性求函数的单调递增区间.
【详解】函数，由，解得，
所以函数的定义域为，
设函数，则函数的图象是开口向下且以为对称轴的抛物线，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在定义域内单调递减，
由复合函数的单调性可知的单调递增区间为（写成也正确）．
故答案为：
6．（2024上·广西·高一校联考期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由复合函数的单调性和对数函数定义域，求的取值范围.
【详解】当时，在上是增函数；
当时，由函数在定义域内单调递增，
则函数在上单调递增且大于0恒成立，
有解得.
综上，的取值范围是.
故答案为：
7．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）已知函数
(1)求函数的定义域并用定义法判断函数的奇偶性；
(2)求不等式的解集
【答案】(1)定义域为，奇函数
(2)
【分析】（1）根据对数的真数大于零求函数的函数的定义域即可，再根据函数奇偶性的定义判断处的关系即可判断处函数的奇偶性；
（2）根据对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】（1）由，
得，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为奇函数；
（2），
由，
得，解得，
所以不等式的解集为.
高频考点八：对数函数的最值
角度1：求对数（型）函数的最值
典型例题
例题1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数（且，为常数）的图象经过点，.
(1)求的值；
(2)设函数，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.
【详解】（1）因为的图象经过点，，
所以，两式相减得，
又且，解得或（舍去），则.
（2）由（1）得，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，
，
故在上的值域为.
例题2．（2024下·上海·高一开学考试）已知函数，.
（1）设集合，求集合A；
（2）当时，求的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1）由可得，利用指数函数的单调性求解指数不等式即可求得集合；
（2）把变形，再由的范围求得的范围，结合二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）由，
得，
即，则，
求得．
，；
（2）
．
，，，
当时，，
当时，．
故的最大值为，最小值为．
【点睛】关键点点睛：解答（1）的关键是求出，解答（2）的关键是先求出，再利用配方法求解.
角度2：根据对数（型）函数的最值求参数
典型例题
例题1．（2024上·江西抚州·高一统考期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）
A．4或B．4或
C．2或D．2或
【答案】A
【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值.
【详解】由题意解得或（舍去），
①当时，函数在定义域内为增函数，
则由题意得，
所以即，解得或（舍去）；
②当时，函数在定义域内为减函数，
则由题意得，
所以即，解得；
综上可得：或．
故选：A.
例题2．（2024·全国·高三专题练习）若函数有最小值，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数的不等式组，由此可解出实数的取值范围.
【详解】当时，外层函数为减函数，对于内层函数，，则对任意的实数恒成立，
由于二次函数有最小值，此时函数没有最小值；
当时，外层函数为增函数，对于内层函数，
函数有最小值，若使得函数有最小值，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用
典型例题
例题1．（2024上·黑龙江佳木斯·高一校联考期末）已知函数．
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)当时，恒成立．求实数的取值范围．
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域,然后利用函数的奇偶性的定义进行判断即可.
（2）该题参数已经分离，所以只需要利用对数函数的性质求出取值范围，从而可求出的取值范围，由于不等式左侧的最小值取不到，则可以取该值.
【详解】（1）由函数，得，
即，解得或，
所以函数的定义域为，关于原点对称．
又，
，
所以是奇函数；
（2）恒成立，则，
即在恒成立，
令，
因为在上单调递增，
当时，，
所以时，，
则实数的取值范围是．
例题2．（2024上·浙江嘉兴·高一统考期末）已知函数．
(1)求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数；
(2)若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)定义域为，证明见解析
(2)
【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）分析可知，，由可得出，结合参变量分离法可得出，利用指数函数的单调性可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：对于函数，则，可得，
所以，函数的定义域为，
证明单调性：设，
则有，
，
由于，所以，，，
并且
，则，
于是，
所以，即：，
所以函数在定义域上单调递增．
（2）解：当时，，
所以不等式恒成立等价于对任意的恒成立，
等价于在恒成立．
由可得，所以，，
则，
于是实数的取值范围是．
练透核心考点
1．（2024上·广东清远·高一统考期末）已知幂函数在上是增函数.
(1)求的解析式；
(2)设函数，求在上的最小值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得，进而求得.
（2）根据复合函数的单调性求得在上的最小值.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，
解得或.
又在上是增函数，则，即，
所以，则.
（2）由（1）得，所以.
令，当时，单调递减.
又函数在其定义域内单调递增，
由复合函数的单调性可得在上单调递减，
所以.
2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数（且）为奇函数.
(1)求函数的定义域及解析式；
(2)若，函数的最大值比最小值大2，求的值.
【答案】(1)定义域为，
(2)或
【分析】（1）根据对数函数的定义域、函数的奇偶性
（2）对进行分类讨论，结合函数的单调性以及最值求得.
【详解】（1）要使函数有意义，则，可得：，
因为为奇函数，所以，即，所以的定义域为，
由可得：，所以，
此时，是奇函数，符合题意.
（2），
①当时，函数单调递减，
所以，
，
所以，
解得.
②当时，函数单调递增，
所以，，
所以，
解得.
综上，或.
3．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）（1）已知，求的值；
（2）已知函数在区间上的最大值为2，求实数的值.
【答案】（1） ；（2）或
【分析】（1）根据完全平方公式和立方和公式，分别求出分子、分母的值，再求出分式的值.
（2）结合函数的单调性，求函数在给定区间上的最大值，从而确定参数的取值.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以.
所以.
（2）函数在区间上的最大值为2，
由复合函数的单调性可知函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为中较大的数.
若，则，解得或，
又且，即，所以，符合题意；
若，则，又，
所以，解得，符合题意.
综上，实数的值为或
4．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）已知函数，（，且）．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)存在，或
【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性即可求解；
（2）先令，并求值域，再分别对进行分类求的最大值，进而求的值.
【详解】（1）由题意可得，即函数的定义域为.
当时，，
令，则，易知函数在上单调递增.
函数图象的对称轴为直线，
当，函数在上递增，在上递减．
所以，由复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），（，且）.
令，由，得，
则的值域为.
（ⅰ）时，在上单调递减，
所以函数在上的最大值为，
则，，满足题意.
（ⅱ）时，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，
则，满足题意．
综上所述：的值为或.
5．（2024上·河南商丘·高一统考期末）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的单调性转化为指数不等式，换元后由一元二次不等式求解；
（2）分离参数后，求的最小值，对数的真数换元后求出取值范围，即可由对数函数单调性求对数函数值域，即可得解.
【详解】（1）由题意可知，即.
令，则有，解得，所以，即.
所以不等式的解集为.
所以在上单调递增等价于在上单调递减且恒成立，
即，解得.
故答案为：
备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较
1．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性，分类讨论求参数范围即可.
【详解】若在上单调递增，则，解得．
若在上单调递减，则,解得．
故的取值范围是．
故选：B
2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得函数在R上单调递增，再利用分段函数及对数函数单调性列出不等式求解即得.
【详解】函数的定义域为R，
由对任意，都有，得函数在R上单调递增，
于是，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·江苏苏州·高一校考期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数” .
(1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.
【答案】(1)是，
(2)
【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；
（2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得；
【详解】（1）由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数，
使得（其中），
即，
由，
故当时，，此时不存在使成立，
当时，，且在上单调递增，
故对于任意，都有唯一一个，使得，
综上所述，对于任意，都有唯一一个，使得，
是的“重覆盖函数”，且；
（2）由可得，故，
，
即，存在2个不同的实数，使得，其中，
由时，，故，即，
故，故对任意，，
，
即对任意，都有2个实根，
当时，，且在上递增，
故时，都有唯一确定的实根，
故当时，亦有且有一个实根，
当时，，且在上单调递减，符合题意，
当时， 为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去。
当时，则需对称轴，且，
即，且，即，
综上，实数的取值范围是.
图象
性质
定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数
在上是单调减函数
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc4432" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc4432 \h 2
\l "_Tc4756" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc4756 \h 4
\l "_Tc10411" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc10411 \h 4
\l "_Tc28462" 高频考点一：对数的运算 PAGEREF _Tc28462 \h 4
\l "_Tc15871" 高频考点二：换底公式 PAGEREF _Tc15871 \h 5
\l "_Tc29807" 高频考点三：对数函数的概念 PAGEREF _Tc29807 \h 5
\l "_Tc2726" 高频考点四：对数函数的定义域 PAGEREF _Tc2726 \h 6
\l "_Tc29914" 高频考点五：对数函数的值域 PAGEREF _Tc29914 \h 6
\l "_Tc25443" 角度1：求对数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc25443 \h 6
\l "_Tc13641" 角度2：求对数型复合函数的值域 PAGEREF _Tc13641 \h 6
\l "_Tc14400" 角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围 PAGEREF _Tc14400 \h 7
\l "_Tc4563" 高频考点六：对数函数的图象 PAGEREF _Tc4563 \h 8
\l "_Tc14436" 角度1：对数（型）函数与其它函数的图象 PAGEREF _Tc14436 \h 8
\l "_Tc23232" 角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数 PAGEREF _Tc23232 \h 9
\l "_Tc25009" 角度3：对数（型）函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc25009 \h 10
\l "_Tc12864" 高频考点七：对数函数的单调性 PAGEREF _Tc12864 \h 11
\l "_Tc16929" 角度1：对数函数（型）函数的单调性 PAGEREF _Tc16929 \h 11
\l "_Tc14530" 角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc14530 \h 12
\l "_Tc8511" 角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式 PAGEREF _Tc8511 \h 12
\l "_Tc1311" 角度4：对数（指数）综合比较大小 PAGEREF _Tc1311 \h 13
\l "_Tc14890" 高频考点八：对数函数的最值 PAGEREF _Tc14890 \h 14
\l "_Tc3826" 角度1：求对数（型）函数的最值 PAGEREF _Tc3826 \h 14
\l "_Tc13070" 角度2：根据对数（型）函数的最值求参数 PAGEREF _Tc13070 \h 14
\l "_Tc9425" 角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用 PAGEREF _Tc9425 \h 15
\l "_Tc9456" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc9456 \h 17
\l "_Tc5453" 备注：对数型复合函数容易忽略定义域 PAGEREF _Tc5453 \h 17
\l "_Tc24378" 备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较 PAGEREF _Tc24378 \h 17
\l "_Tc10457" 第五部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc10457 \h 18
第一部分：基础知识
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
第二部分：高考真题回顾
1．（2022·全国·（新高考Ⅰ卷））设，则（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2023·全国·（新高考Ⅰ卷））噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：对数的运算
典型例题
例题1．（2024上·福建龙岩·高一校联考期末）已知，则 ．
例题2．（2024上·江苏盐城·高一校考期末）计算下列各式的值：
(1)；
(2).
练透核心考点
1．（2024上·安徽蚌埠·高一统考期末）计算 ．
2．（2024上·广西百色·高一统考期末）计算下列各式的值：
(1)
(2)
高频考点二：换底公式
典型例题
例题1．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）（ ）
A．2B．1C．D．0
例题2．（2024上·山东菏泽·高一校联考期末）已知，则 .
练透核心考点
1．（2024上·陕西咸阳·高一统考期末）若，则的值约为（ ）
A．1.322B．1.410C．1.507D．1.669
2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）计算： ．
高频考点三：对数函数的概念
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一假期作业）下列函数，其中为对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数是对数函数，则 ．
高频考点四：对数函数的定义域
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数的定义域为（ ）
A．且B．C．D．
例题2．（2024上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
练透核心考点
1．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）函数的定义域是 ．
2．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
高频考点五：对数函数的值域
角度1：求对数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（2023上·高一课时练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023上·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的值域是 ．
角度2：求对数型复合函数的值域
典型例题
1．（2024下·河南周口·高一周口恒大中学校考开学考试）函数的值域为 ．
2．（2024上·上海青浦·高一统考期末）函数的值域为 .
角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围
典型例题
例题1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）已知函数的定义域和值域都是，则 .
例题2．（2024上·江西上饶·高一婺源县天佑中学校考阶段练习）已知函数．若的值域是，则实数的取值范围是 ．
练透核心考点
1．（2024·上海·高一假期作业）函数的值域是 ．
2．（2024上·湖南株洲·高一校考期末）若函数在上的最大值为2，则实数 ．
3．（2024·全国·高三专题练习）已知，设，则函数的值域为 ．
4．（2024上·河北唐山·高一统考期末）已知定义在上的函数为偶函数.当时，.
(1)求；
(2)求函数的解析式；
(3)若，求函数的值域.
5．（2024·全国·高一假期作业）已知函数且.
(1)当时，若，求的取值范围；
(2)若的最大值为2，求在区间上的值域.
6．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
(1)若的定义域为，求的取值范围.
(2)若的值域为，求的取值范围.
高频考点六：对数函数的图象
角度1：对数（型）函数与其它函数的图象
典型例题
例题1．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）已知，则，且与，且的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023上·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（ ）
A．B．
C．D．
角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数
典型例题
例题1．（2022下·湖南·高一校联考期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例题2．（2021·江苏·高一专题练习）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞a
C．c＞a＞bD．a＞c＞b
角度3：对数（型）函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2024上·湖北武汉·高一校联考期末）若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024上·山东滨州·高一校考期末）函数且的图象恒过定点，且点在直线上，，则的最小值为（ ）
A．B．10C．D．8
练透核心考点
1．（2022上·江西上饶·高一统考期末）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·山东潍坊·高三校考期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·全国·高三专题练习）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
4．（多选）（2022上·辽宁·高一凤城市第一中学校联考阶段练习）已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选）（2024上·湖南张家界·高一慈利县第一中学期末）已知函数且的图象过定点，正数满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）（2021下·河北邢台·高一统考开学考试）若，则下列选项可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
高频考点七：对数函数的单调性
角度1：对数函数（型）函数的单调性
典型例题
例题1．（2024上·河北石家庄·高一石家庄外国语学校校考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2024上·广东广州·高一华南师大附中校考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2024上·河南商丘·高一睢县回族高级中学校联考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024上·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数是上的单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023上·北京海淀·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023上·安徽·高一校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
角度4：对数（指数）综合比较大小
典型例题
例题1．（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）若，则（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2024·山西临汾·统考一模）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（2024上·河北石家庄·高一石家庄一中校考期末）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·高一专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
5．（2024上·河北沧州·高一统考期末）函数的单调递增区间是 ．
6．（2024上·广西·高一校联考期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是 .
7．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）已知函数
(1)求函数的定义域并用定义法判断函数的奇偶性；
(2)求不等式的解集
高频考点八：对数函数的最值
角度1：求对数（型）函数的最值
典型例题
例题1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数（且，为常数）的图象经过点，.
(1)求的值；
(2)设函数，求在上的值域.
例题2．（2024下·上海·高一开学考试）已知函数，.
（1）设集合，求集合A；
（2）当时，求的最大值和最小值.
角度2：根据对数（型）函数的最值求参数
典型例题
例题1．（2024上·江西抚州·高一统考期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）
A．4或B．4或
C．2或D．2或
2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数（且）为奇函数.
(1)求函数的定义域及解析式；
(2)若，函数的最大值比最小值大2，求的值.
3．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）（1）已知，求的值；
（2）已知函数在区间上的最大值为2，求实数的值.
4．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）已知函数，（，且）．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
5．（2024上·河南商丘·高一统考期末）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.
第四部分：典型易错题型
备注：对数型复合函数容易忽略定义域
1．（2024上·湖北·高一校联考期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·全国·高一专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较
1．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·江苏苏州·高一校考期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数” .
(1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.
图象
性质
定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数
在上是单调减函数
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
第06讲 对数与对数函数
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc4432" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc4432 \h 1
\l "_Tc4756" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc4756 \h 3
\l "_Tc10411" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc10411 \h 5
\l "_Tc28462" 高频考点一：对数的运算 PAGEREF _Tc28462 \h 5
\l "_Tc15871" 高频考点二：换底公式 PAGEREF _Tc15871 \h 7
\l "_Tc29807" 高频考点三：对数函数的概念 PAGEREF _Tc29807 \h 8
\l "_Tc2726" 高频考点四：对数函数的定义域 PAGEREF _Tc2726 \h 9
\l "_Tc29914" 高频考点五：对数函数的值域 PAGEREF _Tc29914 \h 10
\l "_Tc25443" 角度1：求对数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc25443 \h 10
\l "_Tc13641" 角度2：求对数型复合函数的值域 PAGEREF _Tc13641 \h 11
\l "_Tc14400" 角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围 PAGEREF _Tc14400 \h 11
\l "_Tc4563" 高频考点六：对数函数的图象 PAGEREF _Tc4563 \h 15
\l "_Tc14436" 角度1：对数（型）函数与其它函数的图象 PAGEREF _Tc14436 \h 15
\l "_Tc23232" 角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数 PAGEREF _Tc23232 \h 17
\l "_Tc25009" 角度3：对数（型）函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc25009 \h 18
\l "_Tc12864" 高频考点七：对数函数的单调性 PAGEREF _Tc12864 \h 22
\l "_Tc16929" 角度1：对数函数（型）函数的单调性 PAGEREF _Tc16929 \h 22
\l "_Tc14530" 角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc14530 \h 23
\l "_Tc8511" 角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式 PAGEREF _Tc8511 \h 24
\l "_Tc1311" 角度4：对数（指数）综合比较大小 PAGEREF _Tc1311 \h 25
\l "_Tc14890" 高频考点八：对数函数的最值 PAGEREF _Tc14890 \h 29
\l "_Tc3826" 角度1：求对数（型）函数的最值 PAGEREF _Tc3826 \h 29
\l "_Tc13070" 角度2：根据对数（型）函数的最值求参数 PAGEREF _Tc13070 \h 31
\l "_Tc9425" 角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用 PAGEREF _Tc9425 \h 32
\l "_Tc9456" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc9456 \h 38
\l "_Tc5453" 备注：对数型复合函数容易忽略定义域 PAGEREF _Tc5453 \h 38
\l "_Tc24378" 备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较 PAGEREF _Tc24378 \h 39
\l "_Tc10457" 第五部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc10457 \h 40
第一部分：基础知识
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
第二部分：高考真题回顾
1．（2022·全国·（新高考Ⅰ卷））设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
2．（多选）（2023·全国·（新高考Ⅰ卷））噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：对数的运算
典型例题
例题1．（2024上·福建龙岩·高一校联考期末）已知，则 ．
【答案】5
【分析】设，再用表达求解即可.
【详解】设，则，，，
故.
故答案为：5
例题2．（2024上·江苏盐城·高一校考期末）计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算法则求解即可；
（2）根据对数的运算法则，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）原式
（2）原式
练透核心考点
1．（2024上·安徽蚌埠·高一统考期末）计算 ．
【答案】/
【分析】利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
2．（2024上·广西百色·高一统考期末）计算下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)15
(2)3
【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.
（2）利用对数性质及运算法则计算即得.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
高频考点二：换底公式
典型例题
例题1．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）（ ）
A．2B．1C．D．0
【答案】C
【分析】利用换底公式和指对数运算公式即可.
【详解】，
故选：C．
例题2．（2024上·山东菏泽·高一校联考期末）已知，则 .
【答案】/
【分析】由对数式与指数式的互化可得出，再利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值.
【详解】因为，则，
所以，
.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2024上·陕西咸阳·高一统考期末）若，则的值约为（ ）
A．1.322B．1.410C．1.507D．1.669
【答案】A
【分析】利用指对互化与换底公式即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）计算： ．
【答案】5
【分析】根据对数的定义和运算分析求解.
【详解】由题意可得：原式
.
故答案为：5.
高频考点三：对数函数的概念
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一假期作业）下列函数，其中为对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答.
【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；
函数是对数函数，C是；
函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.
故选：C
练透核心考点
1．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数是对数函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据对数函数的定义即可得到答案.
【详解】因为函数是对数函数，
则，解得．
故答案为：1.
高频考点四：对数函数的定义域
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数的定义域为（ ）
A．且B．C．D．
【答案】C
【分析】可直接求出函数的定义域进行判断.
【详解】由题得，解得，即函数的定义域为.
故选：
例题2．（2024上·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知可得对任意的，，可得出，即可解得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，对任意的，，则，解得.
所以，实数的取值范围是.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】结合对数函数定义域解不等式即可求解.
【详解】由题意结合对数函数定义域可知，解不等式得，
因此函数的定义域是.
故答案为：.
2．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，将问题转化为恒成立求参数，再结合二次函数性质即求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以在上恒成立，
则当时，满足题意；
当时，，解得.
综上所述，，即.
故答案为：.
高频考点五：对数函数的值域
角度1：求对数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（2023上·高一课时练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质，先求函数的范围，再求函数的值域.
【详解】由知，，值域是．
故选：C
例题2．（2023上·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的值域是 ．
【答案】
【分析】由对数函数的单调性，根据定义域求出函数的值域.
【详解】∵，∴，即，
即，则函数的值域为.
故答案为：
角度2：求对数型复合函数的值域
典型例题
1．（2024下·河南周口·高一周口恒大中学校考开学考试）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】求出的取值范围，利用对数函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】因为，所以，，
因此，，故函数的值域为.
故答案为：.
2．（2024上·上海青浦·高一统考期末）函数的值域为 .
【答案】
【分析】由题意利用对数的的运算法则、对数函数的定义域、值域并通过换元法即可得解.
【详解】由题意函数的定义域为，而，
不妨设，所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围
典型例题
例题1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）已知函数的定义域和值域都是，则 .
【答案】或
【分析】分类讨论的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解.
【详解】当时，易知函数单调递减，由定义域和值域都是，
所以解得所以.
当时，易知函数单调递增，由定义域和值域都是，
所以解得所以.
故答案为：或.
例题2．（2024上·江西上饶·高一婺源县天佑中学校考阶段练习）已知函数．若的值域是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】复合函数求值域，先求真数范围大于零，再求二次函数大于零，求出即可.
【详解】因为函数的值域是，则为二次函数值域的子集．
当时，内层函数为，不合题意；
当时，则有，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：
练透核心考点
1．（2024·上海·高一假期作业）函数的值域是 ．
【答案】
【分析】先确定的定义域，再由复合函数的单调性确定出的单调性，则的值域可求.
【详解】由题意得，即，所以的定义域为，
因为对称轴为，且开口向下，且在定义域内单调递增，
由复合函数的单调性可知：在上单调递增，在上单调递减，
当（或）时，，当时，，
所以，
故答案为：．
2．（2024上·湖南株洲·高一校考期末）若函数在上的最大值为2，则实数 ．
【答案】
【分析】由题意易知，分类讨论，时，根据复合函数的单调性建立方程，解之即可求解.
【详解】令，因为时，，所以；
若，则在上为减函数，所以，此时a无解；
若．则在上为增函数，所以，此时
故．
故答案为：
3．（2024·全国·高三专题练习）已知，设，则函数的值域为 ．
【答案】
【分析】确定函数的定义域，化简可得的表达式，换元令，可得，结合二次函数的性质即得答案.
【详解】由题意得，则，即的定义域为，
故，
令，则，
函数在上单调递增，故，
故函数的值域为，
故答案为：
4．（2024上·河北唐山·高一统考期末）已知定义在上的函数为偶函数.当时，.
(1)求；
(2)求函数的解析式；
(3)若，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，由奇偶性得到；
（2）根据函数的奇偶性得到时的函数解析式，进而得到答案；
（3）分两种情况，根据函数的单调性求出函数在时的值域.
【详解】（1），
因为为上的偶函数，所以；
（2）当时，，
故，
又为上的偶函数，故，
所以，
所以；
（3）当时，由复合函数单调性可知单调递减，因为，
故，
由函数为偶函数可知，当时，单调递增，，
则，
综上，的值域为
5．（2024·全国·高一假期作业）已知函数且.
(1)当时，若，求的取值范围；
(2)若的最大值为2，求在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合对数函数的定义域及单调性即可得；
（2）先结合题意计算出，再根据对数函数的单调性即可得.
【详解】（1）当时，是上的减函数，
因为，所以，解得．
（2）因为，且有最大值2，
所以，且，解得，
因为是上的减函数，
所以，，
所以在区间上的值域为．
6．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
(1)若的定义域为，求的取值范围.
(2)若的值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据对数函数的性质，转化为恒成立，列出不等式组，即可求解；
（2）设，根据题意转化为，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
要使得的定义域为，即恒成立，
则满足，解得，所以实数的取值范围为.
（2）解：设，要使得的值域为，即，
当时，的值域为，此时，
所以函数的值域为，符合题意.
当时，要使得，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
高频考点六：对数函数的图象
角度1：对数（型）函数与其它函数的图象
典型例题
例题1．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）已知，则，且与，且的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用对数运算得到，再结合指数函数与对数函数的性质即可判断选项.
【详解】因为，
所以，，
若，则，排除C，
若，则，排除AB.
故选：D
例题2．（2023上·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的图象易得，结合指对数函数性质判断函数图象.
【详解】由幂函数图象知：，
所以与在各自定义域内都递减，显然只有D满足.
故选：D
角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数
典型例题
例题1．（2022下·湖南·高一校联考期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
例题2．（2021·江苏·高一专题练习）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞a
C．c＞a＞bD．a＞c＞b
【答案】D
【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．
【详解】y＝lgax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝lgbx，y＝lgcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.
故选：D．
角度3：对数（型）函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2024上·湖北武汉·高一校联考期末）若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先得，进一步结合三角函数定义即可求解.
【详解】由题意令，得，而此时，
所以，角的终边经过定点，
所以，
所以.
故选：C.
例题2．（2024上·山东滨州·高一校考期末）函数且的图象恒过定点，且点在直线上，，则的最小值为（ ）
A．B．10C．D．8
【答案】B
【分析】先得出，再由基本不等式得出答案.
【详解】当时，，即函数的图象恒过定点，
因为在直线上，所以，
当且仅当时，取等号，即的最小值为10.
故选：B
练透核心考点
1．（2022上·江西上饶·高一统考期末）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】以函数的定义域、奇偶性去排除错误选项即可.
【详解】函数的定义域为，可以排除选项B、C；
由，
可知函数为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D.
故选：A
2．（2023上·山东潍坊·高三校考期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到的范围，从而得到结果.
【详解】由图象可得，指数函数为减函数，
对数函数为增函数，
所以，
即.
故选：B
3．（2024·全国·高三专题练习）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
【答案】B
【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以，
,
,当且仅当，即等号成立
故选：B.
4．（多选）（2022上·辽宁·高一凤城市第一中学校联考阶段练习）已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】结合指数函数、对数函数的图像按和分类讨论．
【详解】由，，且，，
所以过点，
而过点；
选项A，B：由图可知单调递增，则此时，
所以有，故在单调递增，
故A选项错误，选项B正确；
选项C，D：由图可知单调递减，则此时，
所以有，故在单调递减，
故C选项不正确，选项D正确；
故选：BD.
5．（多选）（2024上·湖南张家界·高一慈利县第一中学期末）已知函数且的图象过定点，正数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】求出函数所过定点的坐标，可得出，可判断A；利用不等式可判断B；利用基本不等式可判断C；利用“1”的妙用，结合基本不等式可判断D.
【详解】在函数的解析式中，令可得，且，
则函数的图象过定点，，所以，故A错误；
由不等式，可得，故，当且仅当时取等号，故B正确；
由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，故C错误；
，当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：BD.
6．（多选）（2021下·河北邢台·高一统考开学考试）若，则下列选项可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】在同一直角坐标系中，作出y=lnx，y=lgx的图像，数形结合能求出结果．
【详解】在同一直角坐标系中，作出，的图像．
由图可知，当时，有，故A正确；当时，显然有，故B正确；当时，显然有，故C错误，D正确．
故选：ABD.
高频考点七：对数函数的单调性
角度1：对数函数（型）函数的单调性
典型例题
例题1．（2024上·河北石家庄·高一石家庄外国语学校校考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．
【详解】函数的定义域为：，
函数在定义域内是增函数，
函数，图像抛物线开口向上，对称轴是轴，时，是增函数，
由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为．
故选：C．
例题2．（2024上·广东广州·高一华南师大附中校考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，即，解得或，
又由函数在单调递减，在单调递增，
因为在定义域上为单调递增函数，
结合复合函数单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为.
故选：D.
角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2024上·河南商丘·高一睢县回族高级中学校联考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质求解．
【详解】由题意，解得．
故选：C．
例题2．（2024上·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数是上的单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分段函数在上单调递减，需满足每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，从而得到不等式，求出答案.
【详解】时，，要想单调递减，需，
要想在上单调递减，需，
解得.
故选：A
角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023上·北京海淀·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集.
【详解】的定义域为，
因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，所以，
所以不等式解集为，
故选：B.
例题2．（2023上·安徽·高一校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为，令，结合一元二次不等式的解法，即可求解；
解法2：根据题意，得到，设，得到为偶函数，求得关于对称，且在上单调递增，把不等式转化为，即可求解.
【详解】解法1：由函数，
则不等式，即为，
可得，即，
令，则，即，
解得，即，解得，
所以不等式的解集为.
解法2：由函数，
可得，
设，则，
所以函数为偶函数，即为偶函数，
可得关于对称，且在上单调递增，
所以不等式，即为，
可得，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
角度4：对数（指数）综合比较大小
典型例题
例题1．（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】计算得到，，得到大小关系.
【详解】，.
故.
故选：A
例题2．（2024·山西临汾·统考一模）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数以及幂函数单调性结合中间变量比大小即可.
【详解】易知，，
因为，则，故得，显然B正确.
故选：B
练透核心考点
1．（2024上·河北石家庄·高一石家庄一中校考期末）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件得到，，即可判断出，再利用不等式的性质及对数的单调性，即可判断出，从而得出结果.
【详解】因为，，所以，
又因为，所以，得到，即，所以，
故选：A.
2．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知结合对数函数的单调性即可比较大小．
【详解】因为，
所以，即，
所以，
因为，
所以，即，
所以，
同时，
所以，
而，
所以．
故选：D．
3．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由对数函数的单调性结合复合函数的同增异减即可得答案.
【详解】由题意得，解得，
开口向下，对称轴为，
所以在上递增，在上递减；
因为是定义域上的递增函数，
利用复合函数的同增异减可得的单调递增区间为，
故选：B.
4．（2024·全国·高一专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令，则在上单调递增且恒大于，从而得到，解得即可.
【详解】因为函数在上单调递减，
令，
则在上单调递增且恒大于，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
5．（2024上·河北沧州·高一统考期末）函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】结合函数定义域，利用复合函数的单调性求函数的单调递增区间.
【详解】函数，由，解得，
所以函数的定义域为，
设函数，则函数的图象是开口向下且以为对称轴的抛物线，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在定义域内单调递减，
由复合函数的单调性可知的单调递增区间为（写成也正确）．
故答案为：
6．（2024上·广西·高一校联考期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由复合函数的单调性和对数函数定义域，求的取值范围.
【详解】当时，在上是增函数；
当时，由函数在定义域内单调递增，
则函数在上单调递增且大于0恒成立，
有解得.
综上，的取值范围是.
故答案为：
7．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）已知函数
(1)求函数的定义域并用定义法判断函数的奇偶性；
(2)求不等式的解集
【答案】(1)定义域为，奇函数
(2)
【分析】（1）根据对数的真数大于零求函数的函数的定义域即可，再根据函数奇偶性的定义判断处的关系即可判断处函数的奇偶性；
（2）根据对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】（1）由，
得，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为奇函数；
（2），
由，
得，解得，
所以不等式的解集为.
高频考点八：对数函数的最值
角度1：求对数（型）函数的最值
典型例题
例题1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数（且，为常数）的图象经过点，.
(1)求的值；
(2)设函数，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.
【详解】（1）因为的图象经过点，，
所以，两式相减得，
又且，解得或（舍去），则.
（2）由（1）得，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，
，
故在上的值域为.
例题2．（2024下·上海·高一开学考试）已知函数，.
（1）设集合，求集合A；
（2）当时，求的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1）由可得，利用指数函数的单调性求解指数不等式即可求得集合；
（2）把变形，再由的范围求得的范围，结合二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）由，
得，
即，则，
求得．
，；
（2）
．
，，，
当时，，
当时，．
故的最大值为，最小值为．
【点睛】关键点点睛：解答（1）的关键是求出，解答（2）的关键是先求出，再利用配方法求解.
角度2：根据对数（型）函数的最值求参数
典型例题
例题1．（2024上·江西抚州·高一统考期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）
A．4或B．4或
C．2或D．2或
【答案】A
【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值.
【详解】由题意解得或（舍去），
①当时，函数在定义域内为增函数，
则由题意得，
所以即，解得或（舍去）；
②当时，函数在定义域内为减函数，
则由题意得，
所以即，解得；
综上可得：或．
故选：A.
例题2．（2024·全国·高三专题练习）若函数有最小值，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数的不等式组，由此可解出实数的取值范围.
【详解】当时，外层函数为减函数，对于内层函数，，则对任意的实数恒成立，
由于二次函数有最小值，此时函数没有最小值；
当时，外层函数为增函数，对于内层函数，
函数有最小值，若使得函数有最小值，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用
典型例题
例题1．（2024上·黑龙江佳木斯·高一校联考期末）已知函数．
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)当时，恒成立．求实数的取值范围．
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域,然后利用函数的奇偶性的定义进行判断即可.
（2）该题参数已经分离，所以只需要利用对数函数的性质求出取值范围，从而可求出的取值范围，由于不等式左侧的最小值取不到，则可以取该值.
【详解】（1）由函数，得，
即，解得或，
所以函数的定义域为，关于原点对称．
又，
，
所以是奇函数；
（2）恒成立，则，
即在恒成立，
令，
因为在上单调递增，
当时，，
所以时，，
则实数的取值范围是．
例题2．（2024上·浙江嘉兴·高一统考期末）已知函数．
(1)求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数；
(2)若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)定义域为，证明见解析
(2)
【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）分析可知，，由可得出，结合参变量分离法可得出，利用指数函数的单调性可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：对于函数，则，可得，
所以，函数的定义域为，
证明单调性：设，
则有，
，
由于，所以，，，
并且
，则，
于是，
所以，即：，
所以函数在定义域上单调递增．
（2）解：当时，，
所以不等式恒成立等价于对任意的恒成立，
等价于在恒成立．
由可得，所以，，
则，
于是实数的取值范围是．
练透核心考点
1．（2024上·广东清远·高一统考期末）已知幂函数在上是增函数.
(1)求的解析式；
(2)设函数，求在上的最小值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得，进而求得.
（2）根据复合函数的单调性求得在上的最小值.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，
解得或.
又在上是增函数，则，即，
所以，则.
（2）由（1）得，所以.
令，当时，单调递减.
又函数在其定义域内单调递增，
由复合函数的单调性可得在上单调递减，
所以.
2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数（且）为奇函数.
(1)求函数的定义域及解析式；
(2)若，函数的最大值比最小值大2，求的值.
【答案】(1)定义域为，
(2)或
【分析】（1）根据对数函数的定义域、函数的奇偶性
（2）对进行分类讨论，结合函数的单调性以及最值求得.
【详解】（1）要使函数有意义，则，可得：，
因为为奇函数，所以，即，所以的定义域为，
由可得：，所以，
此时，是奇函数，符合题意.
（2），
①当时，函数单调递减，
所以，
，
所以，
解得.
②当时，函数单调递增，
所以，，
所以，
解得.
综上，或.
3．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）（1）已知，求的值；
（2）已知函数在区间上的最大值为2，求实数的值.
【答案】（1） ；（2）或
【分析】（1）根据完全平方公式和立方和公式，分别求出分子、分母的值，再求出分式的值.
（2）结合函数的单调性，求函数在给定区间上的最大值，从而确定参数的取值.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以.
所以.
（2）函数在区间上的最大值为2，
由复合函数的单调性可知函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为中较大的数.
若，则，解得或，
又且，即，所以，符合题意；
若，则，又，
所以，解得，符合题意.
综上，实数的值为或
4．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）已知函数，（，且）．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)存在，或
【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性即可求解；
（2）先令，并求值域，再分别对进行分类求的最大值，进而求的值.
【详解】（1）由题意可得，即函数的定义域为.
当时，，
令，则，易知函数在上单调递增.
函数图象的对称轴为直线，
当，函数在上递增，在上递减．
所以，由复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），（，且）.
令，由，得，
则的值域为.
（ⅰ）时，在上单调递减，
所以函数在上的最大值为，
则，，满足题意.
（ⅱ）时，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，
则，满足题意．
综上所述：的值为或.
5．（2024上·河南商丘·高一统考期末）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的单调性转化为指数不等式，换元后由一元二次不等式求解；
（2）分离参数后，求的最小值，对数的真数换元后求出取值范围，即可由对数函数单调性求对数函数值域，即可得解.
【详解】（1）由题意可知，即.
令，则有，解得，所以，即.
所以不等式的解集为.
所以在上单调递增等价于在上单调递减且恒成立，
即，解得.
故答案为：
备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较
1．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性，分类讨论求参数范围即可.
【详解】若在上单调递增，则，解得．
若在上单调递减，则,解得．
故的取值范围是．
故选：B
2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得函数在R上单调递增，再利用分段函数及对数函数单调性列出不等式求解即得.
【详解】函数的定义域为R，
由对任意，都有，得函数在R上单调递增，
于是，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·江苏苏州·高一校考期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数” .
(1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.
【答案】(1)是，
(2)
【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；
（2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得；
【详解】（1）由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数，
使得（其中），
即，
由，
故当时，，此时不存在使成立，
当时，，且在上单调递增，
故对于任意，都有唯一一个，使得，
综上所述，对于任意，都有唯一一个，使得，
是的“重覆盖函数”，且；
（2）由可得，故，
，
即，存在2个不同的实数，使得，其中，
由时，，故，即，
故，故对任意，，
，
即对任意，都有2个实根，
当时，，且在上递增，
故时，都有唯一确定的实根，
故当时，亦有且有一个实根，
当时，，且在上单调递减，符合题意，
当时， 为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去。
当时，则需对称轴，且，
即，且，即，
综上，实数的取值范围是.
图象
性质
定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数
在上是单调减函数
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
相关试卷
2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第08讲函数与方程(知识+真题+7类高频考点)(精讲)(学生版+解析)： 这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第08讲函数与方程(知识+真题+7类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共34页。试卷主要包含了函数的零点，函数的零点与方程的根之间的联系，零点存在性定理，二分法，高频考点技巧等内容，欢迎下载使用。
2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第06讲函数y=Asin(wx+ψ)的图象及其应用(知识+真题+6类高频考点)(精讲)(学生版+解析)： 这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第06讲函数y=Asin(wx+ψ)的图象及其应用(知识+真题+6类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共74页。
2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第05讲复数(知识+真题+7类高频考点)(精讲)(学生版+解析)： 这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第05讲复数(知识+真题+7类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共30页。试卷主要包含了复数的概念，复数相等，复数的分类，复数的几何意义，复数的模，共轭复数，复数代数形式的加法运算等内容，欢迎下载使用。
