2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第07讲函数的图象(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第07讲函数的图象(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，多选题等内容，欢迎下载使用。

A夯实基础
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数，，则的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·云南迪庆·高一统考期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·山西吕梁·高一校联考阶段练习）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C．D．
5．（2024·四川·校联考模拟预测）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023上·山东泰安·高一校考阶段练习）已知函数（为常数），则的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2023上·上海静安·高三上海市新中高级中学校考阶段练习）定义在实数集R上的函数满足，，且当时，，则满足的取值范围为 .
12．（2023上·上海·高一曹杨二中校考期末）已知，设函数在区间上的最大值为.若，则正实数的最大值为 .
四、解答题
13．（2024上·湖南郴州·高一统考期末）已知函数
(1)完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数的简图；
(2)根据（1）的结果，若（），试猜想的值，并证明你的结论.
14．（2023上·江西新余·高一校考期中）已知是定义在上的偶函数，当时，是二次函数，其图象与轴交于，两点，与轴交于．
(1)求的解析式；
(2)若方程有四个不同的实数根，求的取值范围．
B能力提升
1．（2024上·安徽淮南·高一深圳市高级中学校联考期末）若函数与函数的图象有两个不同的交点，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·山东德州·高一统考期末）已知函数，函数与有四个交点，横坐标依次为，，，且，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 .
C综合素养
5．（2019上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）设集合表示具有下列性质的函数的集合：①的定义域为；②对任意，都有
（1）若函数，证明是奇函数；并当，，求，的值；
（2）设函数（a为常数）是奇函数，判断是否属于，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，讨论函数的零点个数.
1
2
4
第07讲函数的图象 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解.
【详解】因为，所以当时，，故排除ABC，
又的图象可由函数的图象向右平移一个单位得到，则D正确.
故选：D.
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数，，则的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用时的解析式的图象即可得到选项.
【详解】令，则，
所以，
，
则在轴右侧为部分抛物线，
对称轴为，时，或，
且处为空心，，
排除ACD.
故选：B
3．（2024上·云南迪庆·高一统考期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意取特值点分析判断.
【详解】由题意可知：，排除CD；，排除B.
故选：A.
4．（2023上·山西吕梁·高一校联考阶段练习）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数零点判断即可.
【详解】令，得，所以函数的零点为，又，或，D选项符合
故选：D
5．（2024·四川·校联考模拟预测）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性的判断可排除CD，根据以及时的函数值的正负，即可排除B.
【详解】因为，定义域为，
又
，可知为偶函数，排除CD；
当时，，
当时，，则，
当时，，则，B不符题意，
故选：A.
6．（2022·全国·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得为偶函数，再利用导数求得函数的单调区间，结合选项，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，
且，所以函数为偶函数，
当时，，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
故选：C.
7．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分析函数的性质，作出函数图象，再逐项判断即可.
【详解】函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
方程的根是直线与函数图象交点的横坐标，
方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，，，AD正确；
显然，而，则，即，，
，B正确；
显然，，C错误.
故选：C
8．（2024上·贵州黔西·高一统考期末）函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合图象，根据定义域与特殊值应用排除法得到答案.
【详解】由图象可知，的定义域为，
对于C，D选项，，定义域为，排除C，D；
对于B选项，，定义域为，
当时，，排除B，
对于A，的定义域为，且其在上单调递减，在上单调递增，故A正确.
故选：A.
二、多选题
9．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知定义域为的函数，若对任意的且，有，则称函数为“定义域上的凹函数”．例如，就是上的凹函数．以下函数是“定义域上的凹函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】画出选项ABCD的图象，根据函数图象上任意两点连线的中点都在图象的上方，逐一验证即可求解．
【详解】分别作出ABCD的图象，如图
A B
C D
根据可知定义域上的凹函数是函数图象上任意两点连线的中点都在图象的上方,故CD符合，AB不符合，
故选:CD
10．（2023上·山东泰安·高一校考阶段练习）已知函数（为常数），则的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据分段函数的性质，结合分类讨论即可与二次函数的性质求解.
【详解】当时，函数选项符合题意；
当时，函数故选项C符合；
当时，函数故选项B符合.
故选:BCD.
三、填空题
11．（2023上·上海静安·高三上海市新中高级中学校考阶段练习）定义在实数集R上的函数满足，，且当时，，则满足的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意得周期为4，关于对称，作出函数在上图象，结合周期性得出答案.
【详解】由，可得函数周期为4，当时，，又得关于对称，
作出函数在上图象，
由图像可得，在上满足的取值范围是，又函数周期为4，
所以函数满足的取值范围是.
故答案为：.
12．（2023上·上海·高一曹杨二中校考期末）已知，设函数在区间上的最大值为.若，则正实数的最大值为 .
【答案】
【分析】画出函数图象，数形结合得到当时，取得最小值，最小值为，并得到，从而得到不等式，求解解集，得到答案.
【详解】画出的图象如下：
故，
由图象可知，当时，取得最小值，最小值为，
此时，，
则①，
故只需要②，
将①代入②得，
化简得，解得，
故正实数的最大值为.
故答案为：
四、解答题
13．（2024上·湖南郴州·高一统考期末）已知函数
(1)完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数的简图；
(2)根据（1）的结果，若（），试猜想的值，并证明你的结论.
【答案】(1)答案见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据列表描点连线即可求解函数图象，
（2）根据对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）完成下列表格；

（2）猜想，证明如下：
∵，∴，
∴或，
∵，∴，
即，∴，∴.
14．（2023上·江西新余·高一校考期中）已知是定义在上的偶函数，当时，是二次函数，其图象与轴交于，两点，与轴交于．
(1)求的解析式；
(2)若方程有四个不同的实数根，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，由二次函数的图象与坐标轴的交点，求出解析式，由是偶函数，求出时解析式，可得的解析式；
（2）问题等价于函数与在同一坐标系中的图象有四个不同的交点，作出函数图象，列不等式求的取值范围．
【详解】（1）当时，是二次函数，其图象与轴交于，两点，
由题意可设，由，得，即，
所以．
又是偶函数，
当时，，则，
所以.
（2）依题意有四个不同的实数根，
即与在同一坐标系中的图象有四个不同的交点．
作出函数的图象，如图所示，函数，
由图可知只需满足条件，
解得，
即实数a的取值范围是.
B能力提升
1．（2024上·安徽淮南·高一深圳市高级中学校联考期末）若函数与函数的图象有两个不同的交点，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意方程有两个不同的解，利用韦达定理得，则转化为求的范围即可.
【详解】，作出函数图象如图：

因为函数与函数的图像有两个不同的交点，所以或，
且方程即有两个不同的解.
故，所以，
因为或，所以或，
所以.
故选：B
2．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得函数与有四个不同的交点，作出函数与的图象如图所示，然后结合图象逐个分析判断即可.
【详解】因为函数有四个不同的零点，
所以有四个不同的解，即函数与有四个不同的交点，
作出函数与的图象如图所示：
又时，，由图象可得，故B不正确，
由，得或，所以由图象可得，故A正确；
由图象可得，所以，即，
即，所以，故C错误；
又，关于对称，故，故D错误，
故选：A.
关键点点睛：此题考查对数函数图象的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是将问题转化为函数与有四个不同的交点，然后作出函数图象，结合图象分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题.
3．（2024上·山东德州·高一统考期末）已知函数，函数与有四个交点，横坐标依次为，，，且，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出函数图象，数形结合得到，，，变形后得到，求出值域.
【详解】画出的图象如下：
由题意得，，
令得，或4，故，
其中，
故，
，所以.
故选：D
【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
（1）若函数，证明是奇函数；并当，，求，的值；
（2）设函数（a为常数）是奇函数，判断是否属于，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，讨论函数的零点个数.
【答案】（1）见解析，，
（2），证明见解析
（3）或时，3个零点；或时，1个零点；时，5个零点.
【分析】（1）利用赋值法和奇函数的定义证明函数是奇函数，由题得的方程组，解方程组即得解；（2）先求出a的值，再利用的定义证明；（3）令h(x)=t,则h(t)=2，再分类讨论数形结合分析得解.
【详解】（1）令得.
令，，所以函数是奇函数.
,
解上面关于的方程组得，.
（2）因为函数（a为常数）是奇函数，
所以.满足函数g(x)是奇函数.
设，所以，
因为，
所以.
（3）令.
令h(x)=t,则h(t)=2，
所以函数
当k=0时，，则，此时只有一个解，一个零点；
当时，只有一个，对应三个零点；
当时，，此时，
，
所以在，，三个t各对应一个零点，共三个零点；
当，，三个t各对应一个，一个，三个零点，共五个零点；
当时，h(t)=2只有一个解，，对应一个零点.
综合得或时，3个零点；或时，1个零点；时，5个零点.
【点睛】本题主要考查新定义，考查函数的奇偶性的判断，考查零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题.
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