2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第08讲拓展三：三角形中面积(定值，最值，取值范围)问题(精讲)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第08讲拓展三：三角形中面积(定值，最值，取值范围)问题(精讲)(学生版+解析)，共34页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc2389" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc2389 \h 1
\l "_Tc20260" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc20260 \h 2
\l "_Tc20659" 高频考点一：求三角形面积（定值问题） PAGEREF _Tc20659 \h 2
\l "_Tc15169" 高频考点二：根据三角形面积求其它元素 PAGEREF _Tc15169 \h 4
\l "_Tc13653" 高频考点三：求三角形面积最值 PAGEREF _Tc13653 \h 6
\l "_Tc17293" 高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围） PAGEREF _Tc17293 \h 7
\l "_Tc26235" 高频考点五：求三角形面积取值范围（锐角三角形面积取值范围） PAGEREF _Tc26235 \h 8
第一部分：基础知识
1、三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
典型例题
例题1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，已知．
(1)求边；
(2)若为上一点，且，求的面积．
例题2．（2024·陕西商洛·三模）在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积．
例题3．（2024·全国·模拟预测）已知中，角、、的对边分别是．
(1)求角的大小；
(2)若，为边上一点，，，求的面积．
练透核心考点
1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）在中，分别是角的对边，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若为的中点且，求的面积．
2．（2024·湖南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且．
(1)证明：是锐角三角形；
(2)若，求的面积．
3．（2024·北京海淀·一模）在中，.
(1)求；
(2)若，求的面积.
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
典型例题
例题1．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
(1)求；
(2)若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.
例题2．（2024·陕西西安·一模）已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，．
(1)求的值；
(2)若△ABC的面积为，求c的最小值．
例题3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求C；
(2)若面积为，，求AB边上中线的长度．
练透核心考点
1．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)在中，、、分别是角、、的对边长，若，，的面积为，求的值.
2．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，角的平分线与交于点，且，求边的值．
3．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若的面积为，周长为18，求a.
高频考点三：求三角形面积最值
典型例题
例题1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在中，分别是上的点，且与相交于点.
(1)用表示；
(2)若，求面积的最大值.
例题2．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
练透核心考点
1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
练透核心考点
1．（22-23高三下·四川雅安·阶段练习）在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若，且，求面积的取值范围．
2．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）在中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量，，且.
(1)求角C的大小；
(2)若，求面积的取值范围.
高频考点五：求三角形面积取值范围（锐角三角形面积取值范围）
典型例题
例题1．（2023·江西·二模）在中，角所对的边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
例题2．（2023·河北石家庄·一模）已知内角所对的边长分别为.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
例题3．（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且．
(1)求的取值范围；
(2)若，求面积的取值范围．
练透核心考点
1．（23-24高二上·河北秦皇岛·开学考试）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小和边长b的值；
(2)求面积的取值范围．
2．（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求的外接圆的周长和面积.
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
3．（22-23高三下·安徽池州·阶段练习）的内角的对边分别为，已知.
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
第08讲 拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc2389" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc2389 \h 1
\l "_Tc20260" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc20260 \h 1
\l "_Tc20659" 高频考点一：求三角形面积（定值问题） PAGEREF _Tc20659 \h 1
\l "_Tc15169" 高频考点二：根据三角形面积求其它元素 PAGEREF _Tc15169 \h 7
\l "_Tc13653" 高频考点三：求三角形面积最值 PAGEREF _Tc13653 \h 12
\l "_Tc17293" 高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围） PAGEREF _Tc17293 \h 16
\l "_Tc26235" 高频考点五：求三角形面积取值范围（锐角三角形面积取值范围） PAGEREF _Tc26235 \h 19
第一部分：基础知识
1、三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
典型例题
例题1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，已知．
(1)求边；
(2)若为上一点，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理即可求得答案；
（2）求出，即可求出的值，即可得，结合三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）依题意知，在中，，
故
，
故；
（2）由于，，故，
故，
则.
例题2．（2024·陕西商洛·三模）在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再利用辅助角公式即可得解；
（2）先利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）在中，因为，
由正弦定理得，
即，即，即，
又，所以，所以，即；
（2）在中，，
由余弦定理得，即，，
所以．
例题3．（2024·全国·模拟预测）已知中，角、、的对边分别是．
(1)求角的大小；
(2)若，为边上一点，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及诱导公式、恒等变换公式得到的正切值，进而求解即可；
（2）解法一利用已知条件和向量的知识得到，进而实数化得到和的一个关系式，再由三角形余弦定理结合角的互补关系得出和的另一个关系式，联立方程求解即可；解法二直接由第一问的结果结合余弦定理得出和的一个关系式，再由三角形余弦定理结合角的互补关系得出和的另一个关系式，联立方程求解即可.
【详解】（1）由正弦定理得，
因为
故，
即，
即．
而，故，
又因为所以．
而，故．
（2）解法一：由知，
两边同时平方得，
即，化简得．①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得．
所以的面积为．
解法二：在中，由余弦定理可得，
整理得，①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得，
所以的面积为．
练透核心考点
1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）在中，分别是角的对边，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若为的中点且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理及正弦的和角公式化简计算即可；
（2）由余弦定理及三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得．
又因为在中，有，
所以，
化简得．
因为，所以，
所以，于是．
因为，所以．
（2）由为的中点，可得．
又，所以，
在和中，
根据余弦定理从而可得．
又，所以，
可得．
2．（2024·湖南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且．
(1)证明：是锐角三角形；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）由两角和的正弦公式求出，再由正弦定理和三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）证明：因为，
所以由正弦定理得，整理得．
则，因为，所以，
因为，所以，因为，
所以，所以是锐角三角形．
（2）因为，所以，
所以．
在中，由正弦定理得，即，所以，
所以的面积为．
3．（2024·北京海淀·一模）在中，.
(1)求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；
（2）根据（1）中及条件，由余弦定理得到，再结合，即可求出，再利用三角形面积公式，即可求出结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又，所以，得到，即，
所以，又因为，所以，得到.
（2）由（1）知，所以，又，得到①，
又，得到代入①式，得到，
所以的面积为.
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
典型例题
例题1．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
(1)求；
(2)若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系结合正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得即可求解；
（2）由面积得，结合余弦定理和基本不等式求最值.
【详解】（1）若选择①：，
由正弦定理可得，
因，,故，，
则有，因,故.
若选择②：，
则，
由正弦定理可得，
故，
因,故.
若选择③ ；
由正弦定理可得，，
再由余弦定理得，，即，
，．
（2），又，
在三角形BCD中，，
，
当且仅当时取等号，
的最小值为．
例题2．（2024·陕西西安·一模）已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，．
(1)求的值；
(2)若△ABC的面积为，求c的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换化简可得，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解；
（2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解.
【详解】（1）因为
，
因为，所以，
由△ABC为钝角三角形且，知，为钝角，
所以，即，
所以.
（2）因为，
所以，
由余弦定理，，
当且仅当时，等号成立，
此时的最小值为，所以c的最小值为.
例题3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求C；
(2)若面积为，，求AB边上中线的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变化和的公式，得到，求得，即可求解；
（2）根据三角形的面积公式，求得，再由，求得，得到，结合正弦定理得到，联立方程组求得，结合余弦定，即可求解.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，
因为，可得，又因为，可得，
所以，即，
又因为，可得，所以，所以，可得.
（2）解：由（1）知，，
因为面积为，可得，可得，
又因为，可得，
所以，
又由正弦定理，即，解得，
联立方程组，解得，
如图所示，设边的中点为，延长到点，使得，

可知AEBC为平行四边形，在中，且，
由余弦定理得，
所以上的中线长为.
练透核心考点
1．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)在中，、、分别是角、、的对边长，若，，的面积为，求的值.
【答案】(1)最小正周期为，递增区间为,
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数，即可求解；
（2）根据题意和角的范围求出角，再由三角形面积公式求出，最后利用余弦定理求解.
【详解】（1）
，
即，故最小正周期为，
令，
故，递增区间为,.
（2）由得，
因为，故，故.
又，故.
故，故
2．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，角的平分线与交于点，且，求边的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得，可得结果；
（2）由三角形面积公式并利用可得，再由余弦定理即可求得.
【详解】（1）由，得，
由正弦定理可得，
即；
因为，所以可得，又因为，
所以．
（2）易知，所以；
如下图所示：
因为为角平分线，所以，
即，即
而，
所以．
3．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若的面积为，周长为18，求a.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可根据辅助角公式求解；
（2）根据面积公式可得，结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得，
又，得，
由辅助角公式可得.
图为中，
所以，则，故.
（2），
而由余弦定理得，即，
则，
解得.
高频考点三：求三角形面积最值
典型例题
例题1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在中，分别是上的点，且与相交于点.
(1)用表示；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，求出，表达出；
（2）根据题意求解，求出的最大值，进而求出的最大值.
【详解】（1）设，
，
因此解得，
因此.

（2）由（1）得，，因此，
又因为，因此，
由，当时，最大为，
因此的最大值为.
例题2．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得
，
因为、，则，可得，
所以，，故.
（2）解：由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，
故，
因此，面积的最大值为.
练透核心考点
1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
（2）利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知中，，
故，即,
即,
所以，而，
故，即，
又，故；
（2）由于点是上的点，平分，且，
则，
由，得，
即，则，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号，
所以，
即面积的最小值为.
2．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，得到，利用正弦定理角转边，得到，再利用余弦定理即可求出结果；
（2）利用条件，结合，得到，再利用基本不等式，得到，从而求出结果.
【详解】（1）由已知，得，
在中，由正弦定理得，即．
再由余弦定理得．
又，所以.
（2）因为是角的平分线，则，
又，
又，所以，得到，
又因为，得到，解得，即，
当且仅当时等号成立，所以，
即面积的最小值是．
高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围）
典型例题
例题1．（2024·山西·一模）中角所对的边分别为，其面积为，且.
(1)求；
(2)已知，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解，进而可求解，
（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.
【详解】（1）
因为三角形的面积为，
则，
所以，又，则；
（2）由于，所以，
即，取等号，
故，
故
例题2．（23-24高二上·福建福州·期中）已知在，角所对的边分别是，且．
(1)求的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角得到，知值由范围求角即可；
（2）由（1），已知，由一组对边角已知可得，借助这一常数利用正弦定理化边为角，再由三角恒等变换化简面积表达式求解最值.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
整理可得，又，所以．
（2）因为，所以由正弦定理得，
所以，
又，所以，
所以
又因为，可得，
所以（当且仅当时，等号成立），
可得，
由，,
即面积的取值范围是．
练透核心考点
1．（22-23高三下·四川雅安·阶段练习）在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系将切化弦得到，即可得解；
（2）利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出，由对数的运算性质及诱导公式得到，即可求出的取值范围，在结合三角形面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，所以．
在中，，所以，则．
因为，所以．
（2）由及正弦定理得，
所以．
由余弦定理得，
所以，当且仅当时，等号成立．
因为，所以，则，
所以，因为的面积为，
所以面积的取值范围是．
2．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）在中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量，，且.
(1)求角C的大小；
(2)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量平行坐标表示、正弦边角关系得，由余弦定理求，即可得结果．
（2）由三角形面积公式有，由及基本不等式求范围，即可得面积的范围．
【详解】（1）由，，且，
所以，
由正弦定理得：，化为：，
由余弦定理得：，，故.
（2）由，又，即，
当且仅当时等号成立，所以，
综上，.
高频考点五：求三角形面积取值范围（锐角三角形面积取值范围）
典型例题
例题1．（2023·江西·二模）在中，角所对的边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理角化边，余弦定理求解即可；
（2）由题知，进而结合正弦定理得，再根据面积公式，结合三角恒等变换求解即可.
【详解】（1）解：因为
所以
整理可得，
所以，由正弦定理可得：.
由余弦定理知，，
因为，所以
（2）解：由（1）知，，所以，
又是锐角三角形，
所以，且，解得，
因为，由正弦定理知：，，
所以
所以
因为，
所以，所以
所以，面积的取值范围为.
例题2．（2023·河北石家庄·一模）已知内角所对的边长分别为.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小；
（2）法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围.
【详解】（1）由余弦定理得，即，
所以，又，则.
（2）法一：为锐角三角形，，则，
所以，可得，
又，则，故
由，即而，
所以，故面积的取值范围为.
法二：由，画出如图所示三角形，
为锐角三角形，
点落在线段（端点除外）上，
当时，，
当时，，
.
例题3．（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且．
(1)求的取值范围；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得.根据三角形是锐角三角形求得的取值范围，利用正弦定理化简，通过的取值范围求得的取值范围.
（2）利用正弦定理表示出，由此求得三角形面积的表达式，结合的取值范围求得的取值范围，对分成和两者情况，结合同角三角函数的基本关系式、函数的单调性进行分类讨论，由此求得三角形面积的最小值.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得：
，则，
所以或，即或，
所以，
因为为锐角三角形，可得，即，
解得：，所以，，，
故的取值范围为.
（2）在中，由正弦定理可得
，又，
，
，
因为，
当时，，
当时，，
，
又，在上单调递增，
∴，
，
∵，，∴，
∴，∴，
∴
2．（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求的外接圆的周长和面积.
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)的外接圆的周长为，的外接圆的面积为；
(2)面积的取值范围为.
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合内角和关系和三角恒等变换公式化简求，再由正弦定理求外接圆半径，由此可得结论；
（2）由条件结合三角形面积公式可得的面积，结合正弦定理将其转化为角的解析式，结合的范围，由此可求面积的取值范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为，，
所以，又，
所以，故，
所以，
又，所以，
所以，因为，
所以，故，
设的外接圆半径为，
由正弦定理可得，又，
所以，
所以的外接圆的周长为，的外接圆的面积为；
（2）由三角形面积公式可得，的面积，
又，，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以，，
所以，
所以，所以，
所以，
故面积的取值范围为.
3．（22-23高三下·安徽池州·阶段练习）的内角的对边分别为，已知.
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）切化弦，利用正弦定理将已知等式统一用角表示，再利用两角和与差的正、余弦公式整理可得角.
（2）把的面积表示为的形式，代入已知量利用正弦定理将面积统一用角、表示，再利用角、的关系消元转化为求一元函数的值域.
【详解】（1）解：根据题意，
由正弦定理得，
，
，故，
.
（2）因为是锐角三角形，由（1）知得到，
故，解得.
又由正弦定理得：
又，
故.故的取值范围是