2025年高频考点归纳与方法总结(新高考通用)思维拓展06三次函数的图像与性质(精讲+精练)(学生版+解析)

这是一份2025年高频考点归纳与方法总结(新高考通用)思维拓展06三次函数的图像与性质(精讲+精练)(学生版+解析)，共23页。试卷主要包含了必备知识整合，三次函数的图像及单调性，三次函数的零点个数，三次函数的韦达定理，三次函数的对称性等内容，欢迎下载使用。

一、必备知识整合
一、三次函数概念
定义：形如fx=ax3+bx2+cx+da≠0叫做三次函敞
f'x=3ax2+2bx+c，把Δ=4b2−12ac叫做三次函数导函数的判别式
当Δ>0时，令f'x=0，记两根为x1=−b−b2−3ac3a，x2=−b+b2−3ac3a
二、三次函数的图像及单调性
注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！
三、三次函数的零点个数
若三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下：
四、三次函数的韦达定理
设fx=ax3+bx2+cx+da≠0的三个零点分别为x1，x2，x3，则
(1)x1+x2+x3=−ba
(2)x1x2+x2x3+x3x1=ca
(3)x1x2x3=−da
(4)1x1+1x2+1x3=−cd
五、三次函数的对称性
结论1 三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的图象关于点−b3a，f−b3a中心对称
结论2 已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0中心对称点的横坐标为x0，两个极值点分别为x1，x2，则fx1−fx2x1−x2=23f'x0=−a2x1−x22
结论3 若y=fx图像关于点m，n对称，则y=f'x图像关于轴x=m对称
点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
二、考点分类精讲
【典例1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数下列结论中正确的是（ ）
A．若，则是的极值点
B．，使得
C．若是的极小值点，则在区间上单调递减
D．函数的图象是中心对称图形
【典例2】（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数使得B．方程有唯一正实数解
C．方程有唯一负实数解D．有负实数解
1．（2023·广西·模拟预测）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，则（ ）
A．有一个极值点
B．有两个零点
C．点（0，1）是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
3．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知函数，则以下正确的个数有（ ）
（1）有两个极值点；（2）的驻点为和；（3）有3个零点；（4）直线是曲线的切线.
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（23-24高三上·云南·阶段练习）关于函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．当时，函数在上恒成立
C．当或时，函数有2个零点
D．当时，函数有3个零点，记为，则
5．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数的导函数的极值点同时也是的零点，则（ ）
A．
B．在R上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．过坐标原点只有两条直线与曲线相切
二、多选题
6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，B．函数的极大值与极小值之和为6
C．函数有三个零点D．函数在区间上的最小值为1
7．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（ ）
A．
B．若成等差数列，则
C．若恰有两个不同的零点，则
D．若有三个不同的零点，则
8．（2024·贵州毕节·一模）已知，函数有两个极值点，则（ ）
A．
B．时，函数的图象在处的切线方程为
C．为定值
D．时，函数在上的值域是
9．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．的极大值点为
B．函数的零点个数为3
C．函数的零点个数为7
D．的解集为
系数关系式
fx的图像
f'x的图像
fx的性质
a>0Δ≤0⇒a>0b2≤3ac
f'x≥0恒成立
fx在R上递增
fx无极值点
a<0Δ≤0⇒a<0b2≤3ac
f'x≤0恒成立
fx在R上递减
fx无极值
a>0Δ>0⇒a>0b2>3ac
增区间−∞，x1，x2，+∞
减区间x1，x2
fx有两个极值点
极大值fx1，极小值fx2
a<0Δ>0⇒a<0b2>3ac
增区间x1，x2
减区间−∞，x1，x2，+∞
fx有两个极值点
极大值fx2，极小值fx1
性质
三次函数图像
说明
a＞0
a＜0
零点个数
三个
b2−3ac>0
fx1⋅fx2<0
两个极值异与
图像与x轴有三个交点
两个
b2−3ac>0
fx1⋅fx2=0
有一个极值为0
图像与x轴有两个交点
存在极值时
一个
b2−3ac>0
fx1⋅fx2>0
不存在极值时，
函数单调，与x轴有一个交点
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展06 三次函数的图像与性质（精讲+精练）
一、必备知识整合
一、三次函数概念
定义：形如fx=ax3+bx2+cx+da≠0叫做三次函敞
f'x=3ax2+2bx+c，把Δ=4b2−12ac叫做三次函数导函数的判别式
当Δ>0时，令f'x=0，记两根为x1=−b−b2−3ac3a，x2=−b+b2−3ac3a
二、三次函数的图像及单调性
注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！
三、三次函数的零点个数
若三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下：
四、三次函数的韦达定理
设fx=ax3+bx2+cx+da≠0的三个零点分别为x1，x2，x3，则
(1)x1+x2+x3=−ba
(2)x1x2+x2x3+x3x1=ca
(3)x1x2x3=−da
(4)1x1+1x2+1x3=−cd
五、三次函数的对称性
结论1 三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的图象关于点−b3a，f−b3a中心对称
结论2 已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0中心对称点的横坐标为x0，两个极值点分别为x1，x2，则fx1−fx2x1−x2=23f'x0=−a2x1−x22
结论3 若y=fx图像关于点m，n对称，则y=f'x图像关于轴x=m对称
点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
二、考点分类精讲
【典例1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数下列结论中正确的是（ ）
A．若，则是的极值点
B．，使得
C．若是的极小值点，则在区间上单调递减
D．函数的图象是中心对称图形
【答案】BD
【分析】求出函数的导数，当时，有两解，列表表示出导数值的正负以及函数的单调情况，当时，，即可判断A，B，C；证明等式成立即可判断D.
【详解】A：因为，所以，
当时，，则在R上单调递增，不是极值点，故A错误；
B：由选项A的分析知，函数的值域为，所以，使得，故B正确；
C：由选项A的分析知，当时，在上单调单调递增，在上单调递减，
所以若为的极小值点时，在上先递增再递减，故C错误；
D：，
而，
则，
所以点为的对称中心，即函数的图象是中心对称图形，故D正确.
故选：BD．
【典例2】（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数使得B．方程有唯一正实数解
C．方程有唯一负实数解D．有负实数解
【答案】ABC
【分析】求导，分析函数的图象与性质，对个选项逐一验证即可.
【详解】因为，.
由，
设，因为函数定义域为，且，，
可知方程一定有实数根，故A正确；
由或.
所以函数在，上单调递增，在上单调递减.
且为极大值，为极小值.
做出函数草图如下：

观察图象可知：方程有唯一正实数解，有唯一负实数解，
故BC正确；
又，结合函数的单调性，当 时，，所以无负实数解.故D错误.
故选：ABC
【题型训练-刷真题】
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：B.
二、多选题
2．（2024·全国·高考真题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】ACD
【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
3．（2024·全国·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
4．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
5．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1．（2023·广西·模拟预测）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用极大值点的定义和三次函数的性质求解即可.
【详解】由三次函数的性质可知，要使为函数的极大值点，则：
当时，函数大致图象如图（1）所示，则，此时；
当时，函数大致图象如图（2）所示，则，此时.
综上：.
故选：C.
2．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，则（ ）
A．有一个极值点
B．有两个零点
C．点（0，1）是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】C
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A错误；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：C.
3．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知函数，则以下正确的个数有（ ）
（1）有两个极值点；（2）的驻点为和；（3）有3个零点；（4）直线是曲线的切线.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据函数的解析式，求得，从而判断函数的单调性，利用极值点和驻点的定义，可判断（1）（2），
根据单调性和零点存在性定理可判断（3），求出函数的斜率为的切线方程可判断（4）.
【详解】对于（1），因为，令，得，
当，或，当时，，
则的增区间为，，
的减区间为，所以有两个极值点为与，
故（1）正确；
对于（2），因为，，所以的驻点为和，故（2）正确；
对于（3），因为的增区间，，
减区间为，又因为，，，所以有个零点，故（3）错误；
对于（4），，得，又，
则曲线的切线在点和的切线方程为和，
则直线不是曲线的切线，故（4）错误；
所以正确的个数是个.
故选：C.
4．（23-24高三上·云南·阶段练习）关于函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．当时，函数在上恒成立
C．当或时，函数有2个零点
D．当时，函数有3个零点，记为，则
【答案】D
【分析】利用导数求出函数单调性可得A错误；画出函数的图象可求得BC错误，根据零点个数可求得，令再利用三角函数值域以及倍角公式即可求得D正确.
【详解】对于A，因为函数，令，则；
当或时，，此时函数单调递增，
当时，；此时函数单调递减，
作出函数的大致图象如图，故A错；
对于B，由A选项可知，易知，
又易知时，函数单调递减，时，函数单调递增；
当时，若，不一定成立，例如当时，，
所以当，不一定成立，故B错；
对于C，方程的根即为与函数的交点横坐标，
由A可知，函数在时取得极大值1，在时取得极小值；
作出函数的图象如图，
当或时，函数有1个零点，故C错；
对于D，函数有3个零点，则可得，且；
记，
令，则，所以，
于是
，
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数有3个零点的范围限定在上，再利用倍角公式即可得出结论.
5．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数的导函数的极值点同时也是的零点，则（ ）
A．
B．在R上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．过坐标原点只有两条直线与曲线相切
【答案】BCD
【分析】利用二次导数可求得的极值点为，结合该极值点为的零点可构造方程求得的值；利用的正负可确定的单调性；关于点对称，则需要验证是否成立；利用过某一点横坐标表示切线方程，再由切线方程过原点得到关于的方程，通过这个方程解的个数可以判断切线方程的条数.
【详解】由题意知：，
设，则，
当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；
是的极小值点，即是的极小值点，
由于的极值点同时也是的零点，
，解得：，即选项A错误.
；
即，又在上不恒为，
在上单调递增，即选项B正确；
又，
，
的图象关于点中心对称，即选项C正确；
又设过坐标原点的直线与曲线相切于点，
，切线方程为：，
即切线方程为：，
代入点得：，即，
解得：或，
即得到切线方程为或，
过坐标原点有两条不同的直线与相切，即选项D是正确的.
故选：BCD
二、多选题
6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，B．函数的极大值与极小值之和为6
C．函数有三个零点D．函数在区间上的最小值为1
【答案】AB
【分析】根据函数对称中心的定义求出，的值，可判断A的真假；用导数分析函数的单调性，求出极值，可判断B的真假；结合函数极值的符号，判断函数零点的个数，判断C的真假；求函数在区间端点处的函数值，与极值点的函数值比较，得到函数的最小值，判断D的真假.
【详解】由题意，点在函数的图象上，故；
又.
由，即.故A正确；
所以，所以.
由或.
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；极小值为，
所以极大值与极小值之和为：，故B正确；
因为函数的极小值，所以三次函数只有一个零点，故C错误；
又，，
所以函数在上的最小值为，故D错.
故选：AB
7．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（ ）
A．
B．若成等差数列，则
C．若恰有两个不同的零点，则
D．若有三个不同的零点，则
【答案】ABD
【分析】对于A，由题意可得有两个不同实根，则由即可判断；对于B，若成等差数列，则，从而结合即可判断；对于C，若恰有两个零点，则或必为极值点，分类讨论即可判断；对于D，由韦达定理即可判断.
【详解】，，，对称中心为，对A：因为有三个零
选项：由导数求出极值，再求出区间端点的值，即可得到函数在闭区间上的值域.
【详解】对于A，由题意，当时，，无极值点，
当时，，
时，，函数单调递减，无极值点，
当时，令，得，解得，
当，解得或，上单调递增，
当，解得，上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
所以当时，函数有两个极值点，故正确；
对于B，若，则，则，则，，
所以函数在处的切线方程为，即，故正确；
对于C，因为，
当时，由，得，则，
所以为定值，故C正确；
对于D，当时，则，则，
令，解得或，
所以当时，，
，，
上的值域是，故错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：对含参的问题，要注意对参数的讨论；利用导数求切线方程问题要注意是“在”某处还是“过”某处；利用导数求函数在闭区间上的最值或值域问题，要注意舍去不在区间内的极值.
9．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．的极大值点为
B．函数的零点个数为3
C．函数的零点个数为7
D．的解集为
【答案】ABC
【分析】利用导函数求出单调区间，根据极值定义和奇偶性可判断A；数形结合判断B、C；赋值方法判断D
【详解】由题意得，
当时，，得，
令，得，
令，得；
所以在单调递减，在单调递增，
所以的极小值点为1，
又是定义在上的奇函数，所以的极大值点为，故A对；
当时，则，所以，
又是定义在上的奇函数，所以，所以

分别画出和的图象，
得函数的零点个数为3，B对；
令，得或或，
令，得，或，
如图，分别画出的图象，

由图可知：函数的零点个数为7， C 对；
令，则，
故D错；
故选：ABC
【点睛】方法点睛：
对于零点个数的求法：一是通过解方程求出零点，二是数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
系数关系式
fx的图像
f'x的图像
fx的性质
a>0Δ≤0⇒a>0b2≤3ac
f'x≥0恒成立
fx在R上递增
fx无极值点
a<0Δ≤0⇒a<0b2≤3ac
f'x≤0恒成立
fx在R上递减
fx无极值
a>0Δ>0⇒a>0b2>3ac
增区间−∞，x1，x2，+∞
减区间x1，x2
fx有两个极值点
极大值fx1，极小值fx2
a<0Δ>0⇒a<0b2>3ac
增区间x1，x2
减区间−∞，x1，x2，+∞
fx有两个极值点
极大值fx2，极小值fx1
性质
三次函数图像
说明
a＞0
a＜0
零点个数
三个
b2−3ac>0
fx1⋅fx2<0
两个极值异与
图像与x轴有三个交点
两个
b2−3ac>0
fx1⋅fx2=0
有一个极值为0
图像与x轴有两个交点
存在极值时
一个
b2−3ac>0
fx1⋅fx2>0
不存在极值时，
函数单调，与x轴有一个交点