浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1.在等差数列中，已知，，则等于（ ）
A.11B.13C.15D.16
2.若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ）
A.1B.3C.4D.5
3.若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）
A.B.C.D.
4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ）
A.4720B.4722C.4723D.4725
5.已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则时，以下说法正确的是（ ）
A.B.
C.D.
6.若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
7.已知，，，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知椭圆，左焦点为，在椭圆上取三个不同点，，，且，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列选项正确的是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
10.已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A.若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为3
B.若直线过焦点，则以为直径的圆与相切
C.若直线过焦点，当时，则
D.设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关
11.数列满足，，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，，则__________.
13.已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为_____.
14.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数.
（1）求的最小值；
（2）求在点处的切线方程.
16.设等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式.
（2）求数列的前项和.
17.已知双曲线
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）已知点，，直线与双曲线交于，两点，，，求的值.
18.已知函数，，其中在
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
19.在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newtn，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点的近似值，取.
（1）求和；
（2）求和的关系并证明；
（3）证明：.