2023-2024学年北京市昌平区融合学区（第一组）八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市昌平区融合学区（第一组）八年级（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）16的平方根是（ ）
A．4B．±4C．±2D．±8
2．（2分）下列各式中，分式是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）下列分式中最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）将分式中的x，y的值都扩大为原来的2倍（ ）
A．扩大为原来的2倍B．扩大为原来的4倍
C．缩小为原来的一半D．不变
5．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2B．x≠2C．x≤2D．x≥2
6．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．B．＝0
C．1÷D．＝x+y
7．（2分）如图，数轴上A，B，C，D四点中对应的点距离最近的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
8．（2分）生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”．设有一杯b克的糖水里含有a克糖，如果在这杯糖水里再加入m克糖（仍不饱和），b＞a＞0，则糖水更甜了．根据这一现象，下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）27的立方根为 ．
10．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．（2分）化简：＝ ．
12．（2分）计算：＝ ．
13．（2分）化简：＝ ．
14．（2分）若m＜1，则可化简为 ．
15．（2分）小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟 ．
16．（2分）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：当时，移项得，所以a2﹣2a+1＝3，即得到整系数方程：a2﹣2a﹣2＝0．
仿照上述操作方法，完成下面的问题：当时，
①得到的整系数方程为 ；
②计算a3﹣2a+2015＝ ．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）当x取什么值时，分式的值为零？
19．（5分）计算：．
20．（5分）计算：．
21．（5分）解方程：+1＝．
22．（5分）解方程：﹣＝0
23．（6分）先化简，再求值：，其中．
24．（6分）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：．
25．（6分）几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话：根据对话的内容，请求演出票价为多少元．
​
26．（6分）如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点
（1）图1中正方形ABCD的面积为 ，边长为 ；
（2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求：
Ⅰ．所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上；
Ⅱ．所作的正方形的边长为．
②请在图2中的数轴上标出表示实数的点，保留作图痕迹．
27．（7分）对于“分子为1，分母可以写作两个正因数乘积的分数”，可以进行“裂项”转化，
例如：；
；
；
；
…
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）；＝ ×；
（2）若将裂项变形，则＝ ；
（3）应用上述变形，化简：．
28．（7分）阅读理解
材料：为了研究分式与分母x的关系，小明制作了表格
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，，并无限接近0；当x＜0时，的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形．
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的增大，的值 （增大或减小）；
当x＜0时，随着x的增大，的值 （增大或减小）；
（2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数；
（3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围．
2023-2024学年北京市昌平区融合学区（第一组）八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．【分析】根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根为±5，
即＝±4，
故选：B．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键．
2．【分析】根据分式的定义进行解答即可．
【解答】解：A、分母中不含未知数，故本选项错误；
B、分母中不含未知数，故本选项错误；
C、分母中含未知数，故本选项正确；
D、+y分母中不含未知数，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是分式的定义，熟知分式的分母必须含有字母是解答此题的关键．
3．【分析】根据一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式解答即可．
【解答】解：A、，不是最简分式；
B、，不是最简分式；
C、是最简分式；
D、，不是最简分式；
故选：C．
【点评】此题考查最简分式，关键是根据分式的性质计算解答．
4．【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：＝＝，
∴将分式中的x，则分式的值不变，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴7﹣2x≥0，
解得x≤6．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
6．【分析】分别根据分式运算法则判断即可．
【解答】解：A、+＝，本选项不符合题意；
B、﹣＝+＝，本选项不符合题意；
C、1÷××＝，本选项符合题意；
D、不能化简．
故选：C．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
7．【分析】根据﹣≈﹣1.732，找到与﹣的差的绝对值最小的点即为所求．
【解答】解：∵|﹣3﹣（﹣）|≈4.268，
|﹣2﹣（﹣）|≈4.268，
|﹣1﹣（﹣）|≈6.732，
|2﹣（﹣）|≈2.732，
其中0.268最小，
∴与表示﹣的点距离最近的点是B．
故选：B．
【点评】此题考查了实数与数轴，利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
8．【分析】先求出b克的糖水里含有a克糖，糖占糖水的百分比和加入m克糖后糖占糖水的百分比，再列出算式﹣，根据分式的减法法则进行计算，再根据求出的结果的正负比较大小即可．
【解答】解：根据题意得：b克的糖水里含有a克糖，糖占糖水的百分比是，
∵﹣
＝﹣
＝
＝
＝，
∵b＞a＞0，m＞0，
∴a﹣b＜7，b+m＞0，
∴﹣＜0，
∴＜，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能根据题意列出算式是解此题的关键．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．【分析】找到立方等于27的数即可．
【解答】解：∵33＝27，
∴27的立方根是8，
故答案为：3．
【点评】考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．
10．【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，求解即可．
【解答】解：由题意，得：x﹣4≠0；
故答案为：x≠4．
【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
11．【分析】直接将分式的分子与分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：原式＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了约分，正确分解因式是解题关键．
12．【分析】根据二次根式和立方根进行计算即可得．
【解答】解：
＝4+（﹣2）
＝4﹣2
＝6．
故答案为：2．
【点评】本题考查了实数的加法，解题的关键是掌握二次根式，立方根．
13．【分析】根据分式的乘方运算，化简即可．
【解答】解：．
故答案为：
【点评】本题考查分式得乘方运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键．
14．【分析】直接利用m的取值范围，结合二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：∵m＜1，
∴
＝
＝1﹣m．
故答案为：1﹣m．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
15．【分析】设小明打字速度为x个/分钟，根据小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，可列出方程．
【解答】解：设小明打字速度为x个/分钟，
＝．
故答案为：＝．
【点评】本题考查理解题意的能力，设出打字速度，以时间作为等量关系列方程．
16．【分析】①根据题干中给定的方法，转化为整系数方程即可；②根据①中得到的结论，将代数式进行转化后，即可得出结果．
【解答】解：①，
∴，
∴，
∴（2a+1）4＝5，
整理得：4a7+4a﹣4＝7，即：a2+a﹣1＝5；
故答案为：a2+a﹣1＝3；
②∵a2+a﹣1＝2，
∴a2＝1﹣a，
∴a2﹣2a+2015＝a⋅a2﹣7a+2015
＝a⋅（1﹣a）﹣2a+2015
＝a﹣a7﹣2a+2015
＝a﹣（1﹣a）﹣7a+2015
＝a﹣1+a﹣2a+2015
＝2014；
故答案为：2014．
【点评】本题考查无理数的转化．理解并掌握题目中给出的解题方法，是解题的关键．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．【分析】根据分式的乘除法法则进行计算即可．
【解答】解：×＝．
【点评】本题考查分式的乘除法，掌握分式的乘法法则是解题的关键．
18．【分析】根据分子为零，分母不为零，则分式的值为零，即可求解．
【解答】解：由题意得：x2﹣1＝7，且x﹣1≠0，
∴x＝﹣8，
即当x＝﹣1时，分式．
【点评】本题考查了分式值为零的条件，特别注意当分子为零时，还要考虑分母不为零．
19．【分析】先通分，再把分子相加减即可．
【解答】解：原式＝+﹣
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查的是分式的加减法，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
20．【分析】先将括号内的部分通分，然后将除法转化为乘法，再约分．
【解答】解：原式＝（﹣）×＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4x+2x+2＝7，
移项合并得：6x＝7，
解得：x＝，
经检验，x＝．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1后即可得到方程的解．
【解答】解：去分母得：6x﹣（x+5）＝5，
去括号得：6x﹣x﹣5＝5，
合并同类项移项得：5x＝5，
系数化为5得：x＝1，
检验：把x＝1代入x（x﹣5）＝0，
所以原方程无解．
【点评】考查了分式方程的解法，解答完毕后必须要检验，难度不大．
23．【分析】先通分计算括号内，将除法转化为乘法，约分化简后，再代值计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝a﹣4；
当时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，实数的混合运算．熟练掌握分式的运算法则，正确的化简，是解题的关键．
24．【分析】根据数轴分析出a、b、c的大小关系，再根据二次根式的性质进行化简计算即可．
【解答】解：由数轴可知，
c＜b＜0＜a，且|c|＞|b|＞|a|，
原式＝（﹣b）﹣（a﹣b）+a﹣c＝﹣b﹣a+b+a﹣c＝﹣c．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，能够根据数轴分析出a、b、c的大小关系是解题的关键．
25．【分析】设演出票价为x元，则“十一国庆节”期间演出票价为0.6x元，利用数量＝总价÷单价，结合360元钱在“十一国庆节”期间可多购买2张票，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设演出票价为x元，则“十一国庆节”期间演出票价为0.6x元，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是所列方程的解．
答：演出票价为120元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26．【分析】（1）利用勾股定理可求得正方形的边长，面积等于边长的平方；
（2）①为直角边长为2，2的直角三角形的斜边，据此作正方形即可．
（3）根据题意画出面积为8的格点正方形，根据算术平方根得到，尺规作图即可．
【解答】解：（1）正方形的边长为：，面积为：，
故答案为：10，；
（2）①如图所示的正方形即为所作；
②如图6中，正方形EFGH是所画的面积为8的格点正方形，
以点E为圆心、EF为半径画弧，则点P的坐标为实数．
【点评】本题考查的是实数与数轴、算术平方根的概念，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
27．【分析】（1）由即可确定所填数；
（2）根据即可完成“裂项”转化；
（3）把每一个分式进行“裂项”，再相加即可．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的运算及有理数的运算，理解题中“裂项”变形是解题的关键．
28．【分析】（1）由、的变化情况，判断1+、1+的变化情况即可；
（2）由＝2+，即可求解；
（3）由＝2+，再结合x的取值范围即可求解．
【解答】解：（1）∵当x＞0时随着x的增大而减小，
∴随着x的增大，2+；
∵当x＜0时随着x的增大而减小，
∵＝1+，
∴随着x的增大，的值减小，
故答案为：减小，减小．
（2）∵＝＝3+，
∵当x＞7时，的值无限接近2，
∴的值无限接近2．
（3）∵＝＝5+，
又∵0≤x≤2，
∴﹣13≤≤﹣，
∴﹣8≤≤．
【点评】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．如果今天看演出，我们每人一张票，则会差两张票的钱．
过几天就是“十一国庆节”了，那时候来看演出，票价会打六折
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
…
﹣0.25
﹣0.
﹣0.5
﹣1
无意义
1
0.5
0.
0.25
…