2023-2024学年福建省福州市九年级（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年福建省福州市九年级（上）月考数学试卷（10月份），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）将一元二次方程2x2﹣1＝3x化成一般形式后，一次项系数是（ ）
A．﹣1B．0C．3D．﹣3
2．（4分）如图图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x3•x5＝x15
B．2x+3y＝5xy
C．2x2•（3x2﹣5y）＝6x4﹣10x2y
D．（x﹣2）2＝x2﹣4
4．（4分）一次函数y＝mx+1的值随x的增大而增大，则点P（﹣m，m）所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（4分）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．y＝﹣x2
6．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点1，△EBD的面积为S2，则＝（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，则∠B的大小为（ ）
A．32°B．42°C．52°D．62°
8．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≥3C．x≥﹣1且x≠3D．x≥﹣1
9．（4分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242D．200（1﹣2x）＝242
10．（4分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），则∠α的大小是（ ）
A．68°B．20°C．24°D．22°
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）杭州亚运会集结了37600名“小青荷”志愿者，37600用科学记数法表示为 ．
12．（4分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则代数式a﹣2b的值为 ．
13．（4分）如图，将点绕原点顺时针旋转90°得到点A′ ．
14．（4分）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，则AB的长为 ．
15．（4分）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，当y＜0时，则x的取值范围是 ．
16．（4分）如图，在ABCD中，∠B＝60°，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤180°）得到AP，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
18．（8分）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE
19．（8分）先化简（1﹣a+）÷，再从不等式﹣2＜a＜2中选择一个适当的整数，代入求值．
20．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB＝2，AD＝2，求CD的长度．
21．（8分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生（单位：分钟），按照完成时间分成五组：“A组：t≤45”“B组：45＜t≤60”“C组：60＜t≤75”“D组：75＜t≤90”E组：t＞90”将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图，解答下列问题．
（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 ；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
22．（10分）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需150元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需280元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变），每增加1本，单价降低1元，其中科技类图书不少于50本，但不超过60本．按此优惠
23．（10分）如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是BC上的格点，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，M是AE与网格线的交点，画出点M关于AC的对称点N；
（2）在图（2）中，先将线段AE绕点A顺时针旋转90°，画对应线段AF，并连接AG，使∠GAE＝45°．
24．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°（端点除外），连接PD、PB．
（1）求证：PD＝PB；
（2）将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；
（3）在（2）的条件下探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．
25．（14分）如图1，已知y＝ax2+bx+c（a＜0）二次函数的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），且 OC＝2OA．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC上方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t的值，并求
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），即可解答．
【解答】解：一元二次方程2x2﹣7＝3x化成一般形式为：2x4﹣3x﹣1＝6，一次项系数是﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，单项式乘多项式的法则，完全平方公式分析选项即可知道答案．
【解答】解：A．x3•x5＝x7，原计算错误，故此选项不符合题意；
B．2x和3y不是同类项，原计算错误；
C．4x2•（3x2﹣5y）＝6x8﹣10x2y，原计算正确；
D．（x﹣2）4＝x2﹣4x+5，原计算错误；
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．
4．【分析】由一次函数y＝mx+1的值随x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出m＞0，进而可得出﹣m＜0，再结合点P的坐标，即可得出点P（﹣m，m）在第二象限．
【解答】解：∵一次函数y＝mx+1的值随x的增大而增大，
∴m＞0，
∴﹣m＜5，
∴点P（﹣m，m）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
5．【分析】根据抛物线的平移规律，可得答案．
【解答】解：∵将抛物线y＝﹣x5经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，
∴抛物线y＝﹣x8经过平移后不可能得到的抛物线是y＝﹣x2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，由平移规律得出a不变是解题的关键．
6．【分析】根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：在△ABC中，D、E分别为线段BC，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝，
∴△BED∽△BAC，
∵＝，
∴＝，
即＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质，熟练掌握这些性质和定理是解决本题的关键．
7．【分析】根据圆周角定理，可以得到∠D的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出∠B的度数．
【解答】解：∵∠A＝∠D，∠A＝48°，
∴∠D＝48°，
∵∠APD＝80°，∠APD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣48°＝32°，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出∠D的度数．
8．【分析】利用分式有意义的条件和二次根式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：由题意得：
，
解得：x≥﹣1且x≠4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围，二次根式，分式有意义的条件，依据题意列出不等式组是解题的关键．
9．【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
10．【分析】先利用旋转的性质得到∠ADC＝∠D＝90°，∠DAD′＝α，再利用四边形内角和计算出∠BAD＝66°，然后利用互余计算出∠DAD′，从而得到α的值．
【解答】解：∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，
∴∠ADC＝∠D'＝90°，∠DAD′＝α，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD'＝180°﹣∠2，
又∵∠2＝∠4＝114°，
∴∠BAD'＝180°﹣114°＝66°，
∴∠DAD′＝∠BAD﹣∠BAD'＝90°﹣66°＝24°，
即α＝24°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：37600＝3.76×104．
故选：5.76×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】将x＝1代入原方程即可求出（a﹣2b）的值，然后将其整体代入求值．
【解答】解：将x＝1代入原方程可得：1+a﹣7b＝0，
∴a﹣2b＝﹣2，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
13．【分析】根据旋转的性质及点和坐标的关系求解．
【解答】解：过A作AB⊥x轴于B，过A′作A′B′⊥y轴于B′，
则：OB＝，AB＝1，
由题意得：△OAB≌△OA′B′，
∴OB′＝2，A′B′＝，
∴A′的坐标为（1，﹣），
故答案为：（1，﹣）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，掌握旋转的性质及点和坐标的关系是解题的关键．
14．【分析】根据CE＝2，DE＝8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．
【解答】解：∵CE＝2，DE＝8，
∴OB＝8，
∴OE＝3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，得BE＝4，
∴AB＝8BE＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
15．【分析】先利用抛物线的对称性方程得到m＝﹣4，则抛物线的解析式为y＝x2﹣4x，再解方程x2﹣4x＝0得抛物线与x轴的交点为（0，0），（0，4），利用二次函数的图象写出抛物线在x轴的下方所对应的自变量的范围．
【解答】解：根据题意得x＝﹣＝3，
解得m＝﹣4，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x，
当y＝0时，x2﹣3x＝0，解得x1＝4，x2＝4，
∴抛物线与x轴的交点为（5，0），4），
当7＜x＜4时，y＜0．
故答案为：4＜x＜4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16．【分析】P点在以A为圆心，AB为半径的圆上运动，有固定轨迹，△PCD为直角三角形，要分三种情况讨论求解．
【解答】解：由题意可知，P点在以A为圆心．
如图：延长BA与⊙A交于P3，连接P3C．
∵P6C＝2AB＝BC，
又∵∠B＝60°，
∴△P3BC为等边三角形，
∴AC⊥AB．
在▱ABCD中，AB∥CD，
∴CD⊥AC．
∴∠ACD＝90°，
∴当P在直线AC上时符合题意，
∴α5＝90°，
连接P3D，
∵AP3∥CD，AP7＝AB＝CD，
∴四边形ACDP3为平行四边形．
∴∠P3DC＝∠P2AC＝90°，
即：P运动到P3时符合题意．
∴α3＝180°．
记CD中点为G，以G为圆心．
AG＝＝＝＝＞，
∴⊙A与⊙G相离，
∴∠DPC＜90°．
故答案为：90°或180°．
【点评】本题考查了直角三角形的定义，等边三角形，等腰三角形的性质及判定，以及圆周角定理，勾股定理等知识点．题目新颖、灵活，解法多样，需要敏锐的感知图形的运动变化才能顺利解题．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17．【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+7＝6，
（x﹣1）8＝6，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
18．【分析】根据ASA判定定理直接判定两个三角形全等．
【解答】证明：∵点B为线段AC的中点，
∴AB＝BC，
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
∵BD∥CE，
∴∠C＝∠DBA，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE．（ASA）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝（+）÷
＝•
＝，
在﹣2＜a＜2中，整数有﹣4，0，1，
由题意得：x≠±5，
当x＝0时，原式＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．【分析】（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，
理由：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，
∴AC＝5，
在Rt△ADC中，AD＝2，
∴CD＝2．
即CD的长为2．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键．
21．【分析】（1）根据C组别的人数与百分比求出样本的容量，补全条形统计图即可；
（2）求出B组占的百分比，乘以360°即可得到结果；
（3）根据样本中每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数占的百分比，乘以2000即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：25÷25%＝100，
∴这次调查的样本容量是100，
100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40，
补全条形统计图，如图所示：
故答案为：100；
（2）根据题意得：20÷100×360°＝72°，
则B组的圆心角为72°；
故答案为：72°；
（3）根据题意得：2000×95%＝1900，
则该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数约为1900．
【点评】此题考查了条形统计图，频数（率）分布直方图，用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
22．【分析】（1）设科技类图书的单价是x元，文学类图书的单价是y元，根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书需150元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需280元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设社区购买m本科技类图书，所需资金为w元，则购买（100﹣m）本文学类图书，科技类图书的购买单价为（95﹣m）元，利用总价＝单价×数量，可列出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设科技类图书的单价是x元，文学类图书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：科技类图书的单价是45元，文学类图书的单价是20元；
（2）设社区购买m本科技类图书，所需资金为w元，科技类图书的购买单价为45﹣（m﹣50）＝（95﹣m）元，
根据题意得：w＝（95﹣m）m+20（100﹣m），
∴w＝﹣（m﹣）5+．
∵a＝﹣1＜4，
∴当50≤m≤60时，y随m的增大而减小，
∴当m＝50时，w取得最大值）2+＝3250．
答：按此优惠，社区至少要准备3250元购书款．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
23．【分析】（1）取格点P，连接AP交格线于点N，则点N即为所求．
（2）根据旋转的性质可得线段AF，连接EF，可得△AEF为等腰直角三角形，取线段EF的中点O，连接AO并延长，交CD于点G，则∠GAE＝45°．
【解答】解：（1）如图（1），点N即为所求．
（2）如图（2），线段AF与点G即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、轴对称、正方形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
24．【分析】（1）根据菱形的性质证明△DCP≌△BCP，即可得到结论；
（2）连接DQ，作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图，可得PM＝PN，证明Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），得出∠DPN＝∠QPM，进而可得结论；
（3）先证明PQ＝PB，作PE∥BC交AB于点E，EG∥AC交BC于点G，如图，则四边形PEGC是平行四边形，可得EG＝PC，△APE，△BEG都是等边三角形，进一步即可证得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝60°．
∵CP＝CP，
∴△DCP≌△BCP（SAS），
∴PD＝PB；
（2）解：∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ＝60°；
理由：连接DQ，作PM⊥AB，垂足分别为点M、N，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∠DAB＝120°，
∵PM⊥AB，PN⊥AD，
∴PM＝PN，∠PND＝∠PMQ＝90°．
.∵PD＝PQ，PM＝PN，
∴Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），
∴∠DPN＝∠QPM，
∴∠DPN﹣∠QPN＝∠QPM﹣∠QPN，即∠DPQ＝∠MPN，
∴∠DPQ＝∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．
∴∠DPQ为定值．
（3）解：AQ＝CP；
理由：四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC，AC⊥BD，
∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，
∴∠BAC＝60°，PD＝PB，
∵PD＝PQ，
∴PQ＝PB，
作PE∥BC交AB于点E，EG∥AC交BC于点G，
则四边形PEGC是平行四边形，∠GEB＝∠BAC＝60°，
∴EG＝PC，△APE，
∴BE＝EG＝PC，
作PM⊥AB于点M，则QM＝MB，
∴QA＝BE，
∴AQ＝CP．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．
25．【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当S△PBC＝S△BCD，则CN＝CM，即可求解；
（3）证明△CQA∽△TQP，得到＝＝（﹣t2+2t）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣1）2+≤，即可求解．
【解答】解：（1）OC＝2OA＝2，则点C（6，
设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），
则﹣2a＝5，则a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3①；
（2）由题意得，点C，则点D（1．
由点B、C的坐标得，
如图2，过点P、M，
则直线DM的表达式为：y＝﹣（x﹣8）+2＝﹣x+3，
则点M（6，3），
∵S△PBC＝S△BCD，则CN＝CM，
则点N（0，2），
则直线PN的表达式为：y＝﹣x+1②，
联立①②得：﹣x+1＝﹣x2+x+2，
解得：x＝1，
则点P（1，）或（1+，﹣）；
（3）如图3，过点P作PH∥CQ交CB于点H，
设点P（t，﹣t2+t+3），H（t，
则PH＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，
∵PH∥CQ，则△CQA∽△TQP，
则＝＝（﹣t2+6t）＝﹣t6+t＝﹣（t﹣7）2+≤，
则的最大值为．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．